第21讲 双曲线及其标准方程7种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第21讲双曲线及其标准方程7种常见考法归类1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)－eq\r(x－c2＋y2)＝±2a，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．②设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==1、双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．2、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．3、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.4、双曲线的焦点三角形解题注意点在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．5、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．2023年07月07日数学作业考点一：双曲线定义的理解例1．（2023秋·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（

）A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线【答案】D【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.【详解】因为，，故的轨迹是已、为端点的两条射线，故选：D.变式1．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【答案】B【分析】直接分析即可得结果.【详解】如图：设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，则若在线段（不包含两端点）上，有；若在直线外，有；若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），则有.故选：B变式2．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线【答案】C【分析】根据表示动点到点与的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解.【详解】解：因为的几何意义是动点到点与的距离之差为2，又因为，所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．故选：C变式3．（2023秋·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条直线上 D．双曲线的一支上【答案】D【分析】根据题意，分别画出两个圆的图形，然后结合图形和双曲线定义即可判断.【详解】由，得，画出圆与的图像如图，设圆P的半径为r，

∵圆P与圆O和圆M都外切，∴，，则，∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选：D变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______．【答案】12【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线的定义，即可求得.【详解】设双曲线的实半轴长为，则，设双曲线的左右焦点分别为，设的中点为，连接.∵是的中点，是的中点，∴是的中位线，∴.同理，∴，∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：，∴.故答案为：12.考点二：双曲线标准方程的辨识例2．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（

）充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：可整理成，当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，故选：C变式1．（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.【详解】由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.变式2．（2023秋·高二课时练习）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C变式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（

）A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为C．若，则C是圆，其半径是D．若，则C是两条直线【答案】C【分析】把化成椭圆的标准方程并求其焦点所在轴，判断选项A的正误；把化成双曲线的标准方程并求其渐近线，判断选项B的正误；把化成圆的标准方程并求其半径，判断选项C的正误；把化成直线的方程，判断选项D的正误.【详解】选项A:时，可化为，此时，C是椭圆，其焦点在y轴上，判断正确；选项B:时分为两种情况：①时，可化为此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确；②时，可化为此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确；选项C:时，可化为此时C是圆，其半径是，不是，判断错误；选项D:时，可化为即或，此时C是两条直线，判断正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可.【详解】曲线表示双曲线，所以即可.解得或，所以实数k的取值范围是：.故选：B.变式5．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，因为由可推出或，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.变式6．（2023秋·高二课时练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，因为由可推出或，但是由或不能推出，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A变式7．（2023秋·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根据焦点在轴上的双曲线方程的特征可得答案.【详解】由题意得，解得，即.故选：A.变式8．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（

）A．10 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】根据方程表示双曲线或椭圆的类型，确定参数的取值，确定m和n的值，即可得答案.【详解】由题意表示焦点在轴上的双曲线，则，故b的取值可取，a可取，故，表示焦点在轴上的椭圆，则，则可取，即，故，故选：D变式9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点在x轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以，解得.故选：D.变式10．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（

）A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1【答案】A【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值【详解】解：由题意在双曲线中，焦距即当即时，解得：（舍）或当即时，解得：（舍）或（舍）综上，故选：A.考点三：求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；【答案】【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解；【详解】依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．即，根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点的双曲线，其中，所以，则，所以轨迹的方程为．变式1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由点，，可得，又由，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，且，可得，则，所以点的轨迹方程为.故选：C.变式2．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解.【详解】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.变式3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程.【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B.变式4．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，若将点代入，得①，又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，综上所述，双曲线的标准方程为或.故选：C.变式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解.【详解】椭圆焦点为，双曲线焦点为，且，将代入双曲线，得，又，解得，，故双曲线的方程为，故选：D.变式6．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合双曲线的焦距的概念和双曲线的定义列方程求，可得双曲线方程.【详解】设双曲线的半焦距为，因为，所以，由双曲线定义可得，又，所以，所以，所以，，双曲线的方程为故选：D.变式7．（2023·河南安阳·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程.【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即．因为的中点为Q，为等边三角形，所以，所以，，故，所以，，所以，所以，所以，．所以双曲线C的方程为．故选：A考点四：双曲线的焦点三角形例4．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8【答案】B【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.【详解】对于，，所以P点在双曲线的左支，则有；故选：B.变式1．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（

）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案.【详解】双曲线C：，则，，由双曲线的定义知：，，，所以.故选：C.变式2．（2023·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；【答案】【分析】由得为直角三角形，由可求出；根据双曲线的定义以及勾股定理可求出.【详解】因为，所以，则为直角三角形，所以(为原点)，又，，所以，，所以.不妨设点在双曲线的右支上，则，①又，②联立①②解得，，所以.故答案为：；.变式3．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________．【答案】/【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.【详解】因为双曲线，则，，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为：变式4．（2023秋·高二课时练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________.【答案】16【分析】根据条件首先可得，然后可得，即可求出周长.【详解】双曲线的标准方程为，所以，因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则，所以，所以的周长为6+6+10=16故答案为：.变式5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有，在中，由余弦定理得，即有，因此，解得，所以的面积为.故答案为：

变式6．（2023秋·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.【答案】16【分析】由双曲线的定义可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，从而求出△的面积．【详解】双曲线，所以，，所以，，

是双曲线左支上的点，，，在△中，由余弦定理得，，△的面积为.故答案为：.变式7．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，所以在中，，所以，故选：B.变式8．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（

）A． B．点的横坐标为C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是【答案】BCD【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D；【详解】解：如图所示，由题意知，解得，故A不正确；在中，由等面积法知，解得，代入双曲线方程得，又因为点在双曲右支上，故，故B正确；由图知，，由对称性可知，若点在第四象限，则，故C正确；的内切圆半径，故D正确．故选：BCD．变式9．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．【答案】BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．【详解】设点．因为双曲线，所以．又，所以，故A错误．将代入得，得．由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．由双曲线的定义得，所以，故B正确．在中，，且，则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．由余弦定理得，所以，故D错误．故选：BC．变式10．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（

）A．P的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的面积为4【答案】ABD【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，因为，所以.由双曲线的定义可得①，两边平方得，即，解得，故的面积为，D正确.设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.，解得②，的周长为，C错误.①＋②可得，B正确.故选：ABD考点五：双曲线定义的应用例5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.变式1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.变式2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.【详解】设，则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，将圆的方程代入双曲线方程得，即，判别式，解得，当时，，且，∴等号能成立．∴．故选：B变式3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用双曲线定义及三角形三边关系判断最大时的位置关系，即可得结果.【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,而，仅当共线且在之间时等号成立，所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D变式4．（2023·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.【详解】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A变式5．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（

）A．16 B．18 C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值.【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立；因为，所以，所以成立，的最小值为16.故选：A.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．【详解】记双曲线的右焦点为，所以，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是________．【答案】【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得.【详解】因为，双曲线，又，所以，，又，解得，即a的取值范围是.故答案为：.变式8．（2023·青海西宁·统考二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A．- B．-1 C．- D．-2【答案】B【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，即可得解.【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=3，b=4，c=5，设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，由PF与圆x2+y2=9相切于点N，则△ONF为直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，则丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1，∴|MN|﹣|MO|=-1，故选：B．考点六：双曲线的轨迹方程例6．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，根据题意有，化简得∴顶点的轨迹方程为.

变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程；【答案】【分析】数形结合，由双曲线定义可得.【详解】由题知，所以由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程变式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由圆，得，该圆的半径，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，所以，，可得，所以，所以点的轨迹方程为.故选：B．变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______.【答案】，【分析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为，，即，.故答案为：，变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程【答案】【分析】根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解.【详解】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以，所以点的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为.变式5．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（

）A．（） B．C． D．（）【答案】A【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解.【详解】设，，所以，整理为：，，故选：A变式6．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果.【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点，所以直线与双曲线相切，联立，消去并整理得，所以，即，将代入，得，得，因为，，所以，所以，，即，由可知，所以过点且与垂直的直线为，令，得，令，得，则，，由，得，，代入，得，即，故选：D考点七：双曲线的实际应用例7．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设震中为，根据双曲线的定义以及可求出结果.【详解】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支，因为，当且仅当三点共线时，取等号，所以,所以，所以震中到地震台站的距离至少为.故选：A变式1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底，则该地标建筑的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是，由已知可得，将点坐标代入解得的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程解得的坐标即可求得地标建筑的高.【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为轴，双曲线的虚轴为轴，建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得：，，设，双曲线的方程是，则，解得，所以双曲线的方程是：，将点代入得，解得，所以该地标建筑的高为：.故选：.变式2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______．【答案】2【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长交延长线于点，因为点是的角平分线上的一点，且，所以点为的中点，所以，又点为的中点，且，所以．故答案为：2．1．已知方程表示双曲线，求m的取值范围．【答案】【分析】根据方程表示双曲线即可得到，解得即可；【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得或，即2．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.故选：A．3．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.故选：D4．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，即得.【详解】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.5．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________．【答案】【分析】设，，用的坐标表示的坐标，再代入双曲线方程即可得答案.【详解】设，，则，即，又，则，整理得，即点M的轨迹方程为.故答案为：一、单选题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】结合双曲线的定义来解决即可.【详解】双曲线的实半轴长，由双曲线的定义，可得所以，则三角形的周长为.故选：B2．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程.【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系，设，，，设M的坐标为，由题意可得，则，，，所以，，由，可得，整理可得：，所以，，故动点M的轨迹是双曲线.

故选：D.3．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆【答案】B【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的标准方程为，圆心为，半径为，设所求动圆圆心为，圆的半径为，

由于动圆与圆、圆均外切，则，所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.故选：B.4．（2023·全国·高三对口高考）已知两点及直线l：①；②；③；④，在直线l上存在点P满足的所有直线方程是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【分析】即，则将题意转化为双曲线右支与直线存在交点的问题即可.【详解】即，故点P满足的方程为以为焦点，的双曲线的右支，则，，即.其渐近线为，故①不满足，③满足；②过，在焦点右侧，故满足；④过，且斜率为，故不满足.综上有②③直线与相交，即直线上存在点P满足.故选：C5．（2023·全国·高三对口高考）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由焦点坐标计算即可.【详解】双曲线，化为标准方程为：，一个焦点是，所以焦点在轴上，.所以，，所以，所以，所以.故选：A.6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若方程表示双曲线，则，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据内切圆的性质以及双曲线的定义可得,进而根据斜率关系以及二倍角公式可得，进而得内切圆的半径的变化范围，由数量积的几何意义即可求解.【详解】设的内切圆与相切于,圆心为,由切线长的性质以及双曲线定义可得，又，因此，所以,设角,且为锐角，由于，所以，为内切圆的半径，不妨设，故在中，，,当共线时，此时，当方向相同时，，当方向相反时，，因此,故选：C【点睛】解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.8．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设双曲线方程为，由，可得，再代入点，求解即可.【详解】解：依题意，设双曲线方程为，因为，则，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是，解得，所以双曲线的方程为.故选：A二、多选题9．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示两条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】AC【分析】根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由时，曲线的方程可知C正确.【详解】对于A，当时，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，即实数的取值范围为，故选项B错误；对于，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，故选项C正确；对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．故选：AC．10．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（

）A． B． C．4 D．2【答案】AC【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解；【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.当时，将代入可得，所以的面积为.当时，由双曲线的定义可知，，由勾股定理可得.因为，所以，此时的面积为综上所述，的面积为4或.故选：.11．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（

）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个D．若，则【答案】BD【分析】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确．【详解】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；对于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正确；对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．对于D中，由，得，从而，所以D正确．故选：BD．三、填空题12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为______.【答案】【分析】根据条件求出双曲线方程再结合圆的方程，联立可解出点坐标，进一步计算即可.【详解】,,又一条渐近线的倾斜角为，所以，结合，可解的所以双曲线的方程为①，又线段为直径的圆的方程为②，联立①②，结合点在第一象限，可得,又,则故答案为：.13．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对.【答案】3【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，.再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案.【详解】由题意得，，是椭圆