高中数学-数学归纳法及应用教学设计学情分析教材分析课后反思

考虑到高中学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1、知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。

2、过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能

力。

3、情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受

数学内在美，激发学习热情。

教学重点：一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的步骤及其作用.

教学难点：正确理解第二步递推思想的实质，特别是证明不等式

数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，

此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过

本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学

生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。但考虑实验

班学生能力较强，本节还讲了数学归纳法的应用。第二课时再练几个高考题，练一下综合应

用。

教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤，及其应用

教学难点：正确理解第二步递推思想的实质，特别是证明不等式

我校进行课堂教学改革已经两年多，大胆进行“疑探展导练”教学。特别是我们探究

班是我校改革先锋,改革比较有成效,学生也非常满意，是学生能力得到很好地提升和锻炼。

由于我组织授课的对象探究班的学生，学生学习能力比较强，学生基础较好。另外，

此前学生刚学习了合情推理，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过

创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律,

掌握数学方法，突出学生的主体地位.并且不仅要求学生掌握用数学归纳法基本步骤而且还

掌握初步应用。

一、教材内容解析

由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题，难以对n进行一一的验证，从

而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法

产生的根源.

数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限

个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：(1)证明p(l)为真；(2)证

明若p(k)为真，则p(k+l)为真；有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：

P⑴真P(2)真->P(3)M->...->P(k)真->P(k+1)真->...

因此得到对于任何正整数n,命题p(n)都为真.

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任

意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第

一步确定了n=l时命题成立，n=l成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二

步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无

限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，

没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.

在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0),那么由第二步，就

可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳

跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.

数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法”这个名字是

随便起的””归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，

是一种似真结构；而数学归纳法是--种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷

的三段论纳入唯一的公式中"(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数

公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最

小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程

中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法

的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数

学补充川，即“观察”+“归纳”+“证明”="发现”.

二、教学目标

1、知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。

2、过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能

力。

3、情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受

数学内在美，激发学习热情。

三、教学重难点

重点：一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的步骤及其作用.

难点：正确理解第二步递推思想的实质，特别是证明不等式

四、难点突破：

由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题

的解决，提炼出方法的一般模式。在经历问题的提出、思考的过程，通过具体的事例、直观

的模型中加以抽象概括，从而逐步加深对数学归纳法原理的理解。

(1)借助递推数列

递推数列通过相邻两项的关系以及首项来确定数列，与数学归纳法的思想有着天然的联

系.

(2)构建直观视频模型

既有多米诺骨牌的形象又有数学的形式，加上命题式的推出符号更易理解若k则k+1

的递推语句，整体上又具有流程图的程序结构，能较好地反映出数学归纳法的本质，可以使

学生的思考有较形象直观的载体.

用最少的步骤可概括为

第一步，P(1)真：

第二步以后各步都可归纳为一个命题的证明：P(k)真?P(k+1)真；即若P(k)真，则P(k+1)

真.

同以上两步，就可证得对任意的正整数n,都有P(n)为真.

对于这种抽象概括，学生在数列的学习以及算法的学习中是有经验的和能力的。

五、教学过程：

设置悬念，引入新课。

引例：在数列｛4“｝中，&=1,%+]=—%—,(〃wN*),计算a2,a3,&的值，猜测｛““｝的通项

1+4

公式.

学生熟悉的数列入手提出问题，如何解决？

借助视频描述数学归纳法(设计趣例，激发学生学习兴趣)

观看视频，让学生直观感受多米诺骨牌效应。总结游戏特点。

思考1：所有骨牌都倒下需要满足哪两个条件？

(1)；(2)»

思考2：你认为这些条件中缺少其中一个可以吗?条件(2)的作用是什么？

学生自己思考2分钟，然后讨论3分钟，然后学生代表小组发言。给小组加分!

教师引导，学生归纳：(师生共同总结)

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题可按下列步骤进行

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n。时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n=k(k>nO,keN*)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成

立。

格式：主要有两个步骤、一个结论：

(1)验证当n取第一个值n。(如n0=l或2等)时结论正确；验证初始条件

(2)假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+l时结论也正确；假设推理

(3)由(1)、(2)得出结论.点题

热身练习：(让学生自己自动抢答，体现学生思维，给小组加分)

判断下列证明的过程是否正确

1)已知a.=2n-l(nCN*),有一个同学发现一个令他感到苦恼的问题：他能用数学归纳法

证明必能被2整除。你能帮他解释这个问题吗？下面是他的证明过程

证明：假设当n=k时ak—2k-l能被2整除

则当n=k+l时，aM=2(k+1)-1=(2k-l)+2=ak+2,

所以当n=k+l时ak”能被2整除

因此对于任意的nGN*,a„=2nT都能被2整除

(2)用数学归纳法证明1+2+22+2、•••+2"T=2"-1

(nGN*)的过程如下：

①当n=l时，左边=2'T=1,右边=2'T=1,等式成立；

②假设n=k时，等式成立，

9QL-1

即1+2+2+2+•••+2=2-1

则当n=k+l时,

9QL-11/1-2^=2k+1-l

1+2+2+2+•・•+2+2=

1-2

所以n=k+l时等式成立

由此可知对任意自然数n,等式都成立

【拓展应用】

在本阶段教学中我选用了四道典型的题目，目的是初步明确数学归纳法的实质和用途,

并且掌握数学归纳法步骤。分别从证明等式，整除问题，不等式问题，证明几何问题四个方

面进行锻炼。

先让学生自探3分钟，提出自探要求：

①.用心思考，激情投入；

②.注意结合文本进行独立探究，将思考成果简单地标注整理，做好小组讨论的准备；

③.独立思考，不交谈，看谁先完成。

然后让学生合探10分钟，同时让学生展示。例1、例4投影，例2、例3爬黑板。

提出展示要求：

①、小组长认真负责，确保人人参与，用最准确精炼语言表达，用代表本组最高

智慧的解题方法或评价水平。

②、本组内若有其它个别问题，请一并解决。

③、激情投入，体验成功的快乐。

展示结束后，让学生分组点评。同时鼓励学生质疑。

1.证明等式问题

例1、用数学归纳法证明12+22+•••+/=〃(〃+1)(2"+1)(neN*)

6

2.证明整除问题

例2、求证:x3nT+x3n-2+i能被x2+x+1整除

3.证明不等式问题

例3已知/(〃)=1+工+」+—+1，求证：/(2")>叶^(〃>1)

23n2

4.证明几何问题：

例4、平面内有〃(应2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数

/(〃)为多少?并证明了(〃)=电二D

【编题练习】先给学生2分钟编题，然后征集。挑选出一两个投影让学生做。然后让学生做,

做出后投影加分。

【当堂检测】这部分一是检测效果，二是活跃课堂气氛，增加学生学习的热情。

【课堂小结】

知识总结

学情总结

这部分让学科代表，分别从学生课堂表现和知识上去总结。体现学生“主人公”地位。

最后教师补充总结。

当堂检测

1、用数学归纳法证明命题“当〃是正奇数时，能被x+y整除"，在第二步时，正

确的证法是()

A.假设”=A(AGN+),证明”=A+1命题成立

B.假设“=A(A是正奇数)，证明〃=4+1命题成立

C.假设”=2A+1(&GN+),证明“=A+1命题成立

D.假设〃=4(左是正奇数)，证明"=々+2命题成立

,111

2、用数学归纳法证明"1+/+§+…+]%<〃(nGN*)"时，由n=k(k>l)不等

式成立，推证n=k+l时，左边应增加的项数是()

k—1kkk

A.2K1B.2K-1C.2KD.2K+1

3、用数学归纳法证明"/2+("+l)3+(〃+2)J2("GN*)能被9整除”，要利用归纳假设证"

=«+1时的情况，只需展开()

33333

A.(A+3)B.(k+2)C.(A+l)D.(«+1)+(4+2)

4、对于不等式荷+〃<"+l(“GN*),某同学用数学归纳法的证明过程如

下：

(1)当”=1时，<i+],不等式成立.

(2)假设当〃=&(AGN*)时，不等式成立，即4+1,贝!|当"=A+1时，

y/Ck+lf+k+l=J后+34+2<J(左、+3左+2)+伏+2)=^l(k+2y

=(*+1)+1,

...当“=4+1时，不等式成立，则上述证法()

A.过程全部正确

B."=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到"=«+1的推理不正确

5、用数学归纳法证明：A“=5"+2-3"T+l(〃eN*)能被8整除

6、已知/(〃)=1+,+!+…+工，求证：/(2,,)>^^(n>l)

23n2

课本节课每一个教学环节的设计和方式、方法的选择都很引人入胜，大大调动了学生积

极性。引例中，求数列的通项公式，从学生熟悉的问题入手，学生已接受。并且以如何用“有

限”代替“无限”设置悬念，增加了学生的求知欲望。本节让学生充分动起来，以学生自探

为前提，以小组内互学、对学为主主阵地，以展示、点评为激情，以质疑、冲突为提高，让

每一问学生都以主人的姿态呈现给大家。

特别是四个例题，避开老师的一味说教,通过小组讨论，能给组内学生随时质疑的空间；

通过互学让每一位学生都能零距离学习.通过选择名人图片的当堂测试，学生眼前一亮。本

节起伏跌宕，高潮迭起，教学效果很好。

总之，本节课引导下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，智力好的学生吃得饱，中

等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现师生

平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学

的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教得轻松，学生学得愉快。

1、孟老师这节课教学思路清晰，结构安排合理，时间安排恰当。符合“课程标准”的规定

和学生的实际情况，能创造性的整合教材，目标明确，要求具体，坚持启发式教学等多种教

学方法，注重对学生的评价，使每个学生有不同程度的收获，体验到学习成功的快乐，学生

有积极的情感反应，课堂氛围良好，教学目标达成度高。建议采取更为灵活有效的课堂活动

培养学生的创新思维。

2、孟老师非常优秀地课上利用有效、实用的教学手段，增强了课堂的感染力，在提高学生

学习兴趣方面起到很好的作用；教学设计体现学生的主体作用，让学生有感而发，突出所学

知识的鲜活性：恰当地创设情境，充分体现本节课的教育作用；板书设计简明扼要，让学生

对本节课重要知识点一目了然。缺点:对问题的设定的层次性梯度更大些，教学效果会更好。

3、孟老师平时非常关注学生情感态度价值观的形成，注重培养学生的思维能力，学生有积

极的情感反应，有不同程度的收获，能创造性地使用