新教材人教A版高中数学必修第一册第2课时集合的表示

第2课时集合的表示

L课前自主预习

学习目标

1.掌握用列举法表示有限集.

2.理解描述法格式及其适用情形.

3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.

要点梳理

1.列举法

把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举

法.

温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定义：一般地，设/表示一个集合，把集合力中所有具有共同特征户(x)的元素x所

组成的集合表示为{XG/INX)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代

替竖线.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号.如数或点等.

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等.

(3)不能出现未被说明的字母.

思考诊断

i.观察下列集合：

①方程/-4=0的根；

②20的所有正因数组成的集合.

(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？

(2)如何表示上述两个集合？

［答案］⑴能.①中的元素为一2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20

(2)用列举法表示

2.观察下列集合：

①不等式x—223的解集；

②函数尸1的图象上的所有点.

(1)这两个集合能用列举法表示吗？

(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？

［答案］(1)不能(2)利用描述法

3.判断正误(正确的打，错误的打“X”)

(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为｛1,1,2,3｝.()

(2)集合｛(1,2)｝中的元素是1和2.()

(3)集合力=｛x1x—1=0｝与集合6=｛1｝表示同一个集合.()

(4)集合34〈水5｝可用列举法表示.()

［答案］⑴X(2)X(3)V(4)X

B课堂互动探究■

题型一用列举法表示集合

【典例1】用列举法表示下列集合：

(1)方程X(X—1)2=0的所有实数根组成的集合；

(2)不大于10的非负偶数集；

(3)一次函数y=x与y=2x—1图象的交点组成的集合.

［思路导引］用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的

元素个数.

［解］(1)方程x(x—1y=0的实数根为0,1,

故其实数根组成的集合为｛0,1｝.

(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为

｛0,2,4,6,8,10).

x=l,

⑶由,尸21，解得

故一次函数尸X与P=2x—1图象的交点组成的集合为｛(1,1)｝.

用列举法表示集合的3个步骤

［针对训练］

1.用列举法表示下列集合：

⑴我国现有的所有直辖市；

(2)绝对值小于3的整数集合;

94

(3)一次函数y=x-l与尸一可X+鼻的图象交点组成的集合.

［解］(1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市，故我国现有的所有

直辖市组成的集合为｛北京市，天津市，上海市，重庆市｝.

(2)绝对值小于3的整数有一2,-1,0,1,2,故绝对值小于3的整数集合为｛—2,-

1,0,1,2).

，y=x-1,

⑶由《

24解得j之

尸一铲

故一次函数y=x—1与y=—■|x+g的图象交点组成的集合为|jj.

题型二用描述法表示集合

【典例2】用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；

(4)不等式3x—2〈4的解集.

［思路导引］用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征.

［解］(1)偶数可用式子X=2A,表示，但此题要求为正偶数，故限定A£N*,所以

正偶数集可表示为｛x|x=2〃，〃GN*｝.

(2)设被3除余2的数为x,则x=3〃+2,〃ez,但元素为正整数，故x=3〃+2,〃eN,

所以被3除余2的正整数集合可表示为｛x|x=3〃+2,〃GN｝.

(3)坐标轴上的点(x,力的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即灯=0,故坐标轴上

的点的集合可表示为｛(%0|盯=0｝.

(4)不等式3x—2<4可化简为x<2,

所以不等式3x-2<4的解集为{x|X2}.

用描述法表示集合应注意的3点

(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一

般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示.

(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含

义或取值范围.

(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.

［针对训练］

2.用描述法表示下列集合：

(1)所有被5整除的数；

(2)方程6/—5x+l=0的实数解集；

(3)直线尸x上去掉原点的点的集合.

［解］(1)被5整除的数可用式子x=5〃，表示，所以所有被5整除的数的集合可

表示为{x|x=5〃，〃eZ}.

⑵由6Y—5x+1=0解得或x=:，所以方程6x?—5x+l=0的实数解集为

乙O

(3)直线尸x上除去原点，即xWO,所以直线y=x上去掉原点的点的集合为{(x,y)|y

=x,且xWO}.

题型三集合表示方法的应用

【典例3】⑴若集合/={x|af―8x+16=0,aGR}中只有一个元素，则a的值为

()

A.1B.4

C.0D.0或1

⑵已知A={x|Ax+2〉0,AGR},若一2C4则A的取值范围是.

［思路导引］借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征.

［解析］⑴①当a=O时，原方程为16—8x=0.

；.x=2,此时/={2}；

②当aWO时，由集合力中只有一个元素，

方程ax-8矛+16=0有两个相等实根，

则A=64—64a=0,即a=l.

从而AI=X2=4,...集合/={4}.

综上所述，实数a的值为0或1.故选D.

(2)--2©4.•.一2什2>0,得K1.

［答案］(1)D(2)A<1

［变式］(1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a

的取值范围.

(2)本例(2)中条件“一2GN”改为“-244',其他条件不变，求"的取值范围.

［解］⑴由题意可知方程ax?—8x+16=0有两个不等实根.

aWO,

解得a〈l,且aWO.

/=64—64a〉0,

⑵•；一2阵4.,.—2A+2W0,得

集合表示方法的应用的注意点

(1)若己知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.

(2)与方程a/—8x+16=0的根有关问题易忽视a=0的情况.

［针对训练］

3.已知集合/={x|f—ax+6=0},若{=⑵3},求a,6的值.

［解］由/={2,3}知，方程f—ax+6=0的两根为2,3,由根与系数的关系得,

2+3=a,

因此a=5,6=6.

2X3=6,

4.设集合8=［xGN

(1)试判断元素1,2与集合B的关系；

(2)用列举法表示集合6.

［解］⑴当x=l时，注7=2WN.

乙I-L

当x=2时，表=飘所以1eq2新.

6

(2)V--eN,xGN,；.2+x只能取2,3,6.

2十x

••.X只能取0,1,4.."={0,1,4}*

课堂归纳小结

1.表示集合的要求

(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数

无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.

2.在用描述法表示集合时应注意的问题

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集

合或其他形式？

(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪

存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

B随堂巩固验收■

I.用列举法表示集合2牙+1=0}为()

A.{1,1}B.{1}

C.{x=1}D.{/—2JT+1=0}

［解析］VY—2x+l=0,即(x—1)2=0,选B.

［答案］B

2.已知集合/={xGN*|—则必有()

A.—1^-AB.0£/

C./wdD.lej

［解析］：xGN*,一乖W后乖，：.x=l,2,即/={1,2},.•.1G4选D.

［答案］D

3.一次函数y=x—3与尸一2x的图象的交点组成的集合是()

A.{1,—2}B.{%=1,y=—2}

C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}

交点为(1,—2),故选D.

［答案］D

4.若2={—2,2,3,4},B={x\x=t2,t^A},用列举法表示集合8为

［解析］当t=-2时，x=4；

当t=2时，x=4；

当t—3时，x=9；

当t=4时，x=16；

：.B={4,9,16).

［答案］{4,9,16)

5.选择适当的方法表示下列集合：

(1)绝对值不大于2的整数组成的集合；

(2)方程(3x—5)(x+2)=0的实数解组成的集合；

(3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.

［解］(1)绝对值不大于2的整数是一2,-1,0,1,2,共有5个元素，则用列举法表示

为{—2,—1,0,1,2).

(2)方程(3x—5)(x+2)=0的实数解仅有两个,分别是*—2,用列举法表示为《，一

(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x,力|y=x+6}.

课内拓展课外探究

集合的表示方法

1.有限集、无限集

根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时，

称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集.

当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和

无限集，一般采用描述法表示集合.

对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，

也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

【典例1】用列举法表示下列集合：

(1)正整数集；

(2)被3整除的数组成的集合.

［解］(1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4,…}.

(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，-6,-3,0,3,6,•••},

［点评］(1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…};

(2)此题中的省略号不能漏掉.

2.集合含义的正确识别

集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的.对于已知集合必须弄清集合元素的

形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如

表示数集、点集等).

【典例2】已知下面三个集合：①{x［y=/+l}；②{y［y=V+l}；③{(x,y)\y=x

+1}.问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？

［解］...三个集合的代表元素互不相同，

它们是互不相同的集合.

集合①{x"=*+l}的代表元素是x,即满足条件jux'+l中的所有x,.・.{x［y=x2+

1}=R.

集合②{y|y=v+1}的代表元素是y,满足条件y=x+l的y的取值范围是1，,3y

=x+l}={y|y'l}.

集合③{（x,y）1y=/+l}的代表元素是（x,力，可认为是满足条件y=f+l的实数对

（x,力的集合，也可认为是坐标平面内的点（x,y）,且这些点的坐标满足y=V+L

...{（X,y）|尸\+1}=仍尸是抛物线尸）+1上的点}.

［点评］使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中

元素的属性都与y=V+l有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样.

课后作业（二）

复习巩固

一、选择题

1.已知〃中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

［解析］集合〃的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不

相等的，故选D.

［答案］D

2.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）

A.{x|x=l}B.{x|/=l}

C.{1}D.{y|（y—1）2=0}

［解析］{x|/=l}={—1,1},另外三个集合都是{1},选B.

［答案］B

3.已知后{x|x-K小},那么（）

A.2e#,-2e#B.一2（〃

C.2阵〃，一2（〃D.2（〃，-2e#

［解析］若x=2,则x—1=1〈镜，所以2G%若x=-2,则x—1=—3〈4，所以一

2任川故选A.

［答案］A

4.下列集合的表示方法正确的是（）

A.第二、四象限内的点集可表示为{（x,y）|xjW0，xGR,yGR}

B.不等式x—"4的解集为{x<5}

C.{全体整数}

D.实数集可表示为R

［解析］选项A中应是x/O；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规

范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复.

［答案］D

尸1,

5.方程组z2八的解集是()

［/-y=9

A.(-5,4)B.(5,-4)

C.{(一5,4)}D.{(5,-4)}

1x+尸1,1x=5,

［解析］解方程组L2得故解集为{(5,-4)},选D.

［x~y=9,g—4,

［答案］D

二、填空题

6.设集合/={1,-2,a2-l),6={1,a2—3a,0},若48相等，则实数a=.

fa2—1=0,

［解析］由集合相等的概念得20°解得a=L

［a—3a=—2,,

［答案］1

7.设一5G{x|x?—ax—5=0},则集合{x|x?+ax+3=0}=.

［解析］由题意知，-5是方程/—ax—5=0的一个根，

所以(-5)"+5a—5=0,得a=-4,

则方程x2+ax+3=0,即—4x+3=0,

解得x=l或x=3,

所以所I——4x+3=0}={1,3}.

［答案］{113}

8.若/={—2,0,2,3},8={(x,y),用列举法表示集合6为.

(X——2,1x=0,(x—2,1x—3,

［解析］由得集合B={(-2,4),(0,0),

〔了=4,［y=0,〔y=4,1y=9,

(2,4),(3,9)).

［答案］{(-2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}

三、解答题

9.用适当的方法表示下列集合：

(1)一年中有31天的月份的全体；

(2)由直线y=—x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

［解］(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2)用描述法表示该集合为4{(x,力卜=—x+4,xeN,yGN},或用列举法表示该

集合为｛(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)).

ba1,若06/且1G4求的值.

10.含有三个实数的集合4=才,

a

b

［解］由0G4”0不能做分母”可知a#0,故旨#0,所以一=0,即6=0.

a

又1G4可知J=1或a=l.

当a=l时，得£=1,由集合元素的互异性，知a=l不合题意.

当3=1时，得a=—1或a=1(舍).

故a=-1,6=0,所以a犯9+尸19的值为-1.

综合运用

11.集合/={引了=/+1},集合夕={(x,y)\y=x+l}(A,8中xGR,y£R).选项中

元素与集合的关系都正确的是()

A.26/,且2G夕

B.(1,2)ej,且(1,2)G6

C.2^A,且(3,10)QB

D.(3,10)G4,且2G8

［解析］集合/中元素y是实数，不是点，故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是

点而不是实数，2G8不正确，所以A错.