《特殊平行四边形的性质与判定》阶段专项练习

学而优·教有方20/20《特殊平行四边形的性质与判定》阶段专项练习类型1：菱形的性质【典例1】（2021·滁州期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD=50°，则∠OED的度数是（）A.35°B.30°C.25°D.20°【变式1】（2021·扬州期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，AH⊥BC于H，则AH等于（）A.B.4C.D.5【变式2】（2021·重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G.若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A.4B.8C.16D.16类型2：矩形的性质【典例2】（2021·合肥期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，若∠ADB=40°，则∠E的度数是（）A.20°B.25°B.30°D.35°【变式1】（2021·黄冈期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE=23cm，则OD=（）A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm【变式2】（2021·红河州模拟）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE=3，PF=9，则图中阴影部分的面积为（）A.12B.24C.27D.54【变式3】（2021·临汾期末）如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB=3，BC=4，则PE+PF的值为（）A.10B.9.6C.4.8D.2.4类型3：正方形的性质【典例3】（2021·蚌埠期末）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=25°，则∠AED=（）A.60°B.65°C.70°D.75°【变式1】（2021·绍兴期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC=MD=AD，则∠AMB的度数为（）A.120°B.135°C.145°D.150°【变式2】（2021·绍兴期末）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A.7B.3+C.8D.3+【变式3】（2021·沧州期末）正方形ABCD的边长为2，在其对角线AC上取一点E，使得AE=AB，以AE为边作正方形AEFG，如图所示，若以B为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴正半轴上，点C在x轴的正半轴上，则点G的坐标为（）A.B.C.D.类型4：菱形的判定【典例4】（2021·临沂期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AF=BD.（2）求证：四边形ADCF是菱形.【变式】（2021·泰安期中）如图，在□ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.求证：四边形AFBE是菱形.类型5：矩形的判定【典例5】（2021·南京期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.【变式】（2021·云浮期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF=DF.（1）求证：△AFE≌△DFB；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB，AC之间满足什么条件时，四边形ADCE是矩形.类型6：正方形的判定【典例6】（2021·防城港模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF（1）求证：△AEH≌△CGF.（2）若∠EFG=90°求证：四边形EFGH是正方形.【变式】（2021·青岛质检）已知：四边形ACDE为平行四边形，延长EA至点B，使EA=BA，连接BD交AC于点F，连接BC.（1）求证：AD=BC.（2）若BD=DE，当∠E=_______°时，四边形ABCD为正方形请说明理由.

答案解析【典例1】C【变式1】C【变式2】B【典例2】A【变式1】C【变式2】C【变式3】D【典例3】C【变式1】D【变式2】D【变式3】D【典例4】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD.（2）由（1）知，AF=BD，且BD=CD，∴AF=CD，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BC=DC∴四边形ADCF是菱形【变式】证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG∵，EF垂直平分AB，∴AG=BG，又∵∠ABG=∠BFG，∠AGE=∠BGF∴△AGE≌△BGF（AAS），∴AE=BF，∵AE∥BF，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形【典例5】解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=OB，DF=OD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形BGCF是矩形∴当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形【变式】解析：（1）∵AE∥BC∴∠AEF=∠DBF又∵∠AFE=∠DFB，AF=DF∴△AFE≌△DFB（AAS）；（2）∵△AFE≌△DFB，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形（3）当AB=AC时，四边形ADCE是矩形；∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC=，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形∴当AB=AC时，四边形ADCE是矩形【典例6】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C在△AEH与△CGF中，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D.∵AE=CG，AH=CF，∴EB=DG，HD=BF∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF=HG又∵△AEH≌△CGF，∴EH=GF∴四边形HEFG为平行四边形∴EH∥FG∴∠HEG=∠FGE.∵EG平分∠HEF∴∠HEG=∠FEG，∴∠FGE=∠FEG∴EF=GF，又∵∠EFG=90°，∴平行四边形EFGH是正方形【变式】解析：（1）∵四边形ACDE为平行四边形，∴AE∥CD，AE=CD∵EA=BA，E，A，B在一条直线上，∴AB∥CD，AB=