浅谈中国古代数学成就

浅谈中国古代数学成就中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国。中国古代的四大创造曾经极大地推动了世界文明的进步。同样，作为中国文化的一个重要组成局部，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的开展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学开展的历史长河中的一支不容无视的源头。数学是中国古代最为兴旺的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”。中国古代数学所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著。本文将按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学开展的状况。一、先秦时期————中国古代数学的萌芽中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一。数学作为中国文化的重要组成局部，他的起源可以追溯到遥远的古代。根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：1、结绳记事中国古代记数方法的起源是很早的。据《易.系辞传》称：“上古结绳而治。”《易.九家义》明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方法是很古老的。据《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。”这说明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳记事”了。2、规矩的使用规矩是中国传统的几何工具。至于它们的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩。”说明它们分别用于圆与方的问题。它们的起源也是很早的，据《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，又规矩，载四时，以开九州，通九道”。甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手执规、女娲手执矩”的造像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲。规与矩的使用，对于后来几何学的产生和开展有着重要的意义，中国传统几何学大局部内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规与矩的关系是十分密切的。3、十进位制记数法、分数的应用及筹算我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。商代的甲骨文和西周的钟鼎文，都是用“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”等字的合文来记10万以内的自然数。这种记数法已含有明显的位值制意义，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字样取消，便和位值制记数法根本一样了。十进位值制记数法的创造，早于第二创造者印度1000多年，是我们祖先对人类文明的一项不可磨灭的、最伟大的奉献。马克思称赞它是“最妙的创造之一”。英国著名科技史专家李约瑟博士评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”而这一点又是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。中国古代对分数概念的认识也比拟早，分数的概念及应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。算筹是中国古代的计算工具。筹即小竹棍或小木棍〔也有用骨、金属材料或象牙制成的〕。从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。用算筹表示数有纵横两种摆法。如下列图：记数时与十进位制相配合，采用从左到右〔或从上到下〕纵横相间的摆法。如6728表示为；如遇零时那么空一格，如6708，表示为。即使这种空位很小，也会由纵横相间的法那么看出。与巴比伦相比，他们虽然也早有位值制的思想，但由于没有零的记号，区分一个具体的数时，往往令人难以琢磨。4、最早的几何概念〔早于第二创造者欧几里德〔公元前330~前275〕100多年。〕公元前２５００年，我国战国时期的诸子百家和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如“平，同高也”〔即两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行〕；“中，同长也”〔即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心〔球的球心〕到圆周〔球外表〕的距离相等〕；“圜，一中同长也”〔即圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球外表上任一点到中心的距离相等〕；............这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也.”名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。据《庄子》记载，名家的代表人物惠施曾提出：“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一.”这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思。此外，《庄子》中还记载了许多著名的论断：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”〔即一尺长的木棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永远都不会截取完的〕；“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时.”〔即天上飞行的鸟不一定就是动的；飞速射来的箭既不是运动的，也不是静止的〕；............这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光芒的数学思想之一。二、汉唐时期————中国传统数学体系的形成从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的开展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质根底，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的开展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。1、《周髀算经》和勾股定理《周髀算经》原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周〔公元前11世纪——公元前8世纪〕。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，并改名为《周髀算经》。严格地讲，它并不是一本数学专著，而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。该书卷首记述了一段精彩的对话：“昔者周公问于商高曰：......古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。......故禹之所以治天下者，此数之所生也。”后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是我国有关勾股定理的最早记录，这里表达了勾股定理的一个特例。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”，早于第二创造者毕达哥拉斯〔公元前580---公元前500〕550多年。另外，在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”如图：日高图即给出公式邪至日〔弦〕=中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括三方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演；三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实一，亦成弦实。”即如图：勾股圆方图局部以勾股作为长方形的二边，其面积是朱色直角三角形面积的二倍。以勾股差为边作中间的黄色正方形，加上四个朱色三角形与以弦为边长的正方形面积相等。这样，赵爽就利用面积割补的方法证明了勾股定理。此外，该书还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等。同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的。2、《九章算术》标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初。后魏晋时人刘徽为《九章算术》做了注释，书名叫《九章算术注》，此书于魏景元4年〔公元263年〕成书，共9卷，现在有传本可据，是我国最可贵的数学遗产之一。中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功。也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。《九章算术》全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法那么，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术，全书内容丰富，且密切联系实际，《九章算术》全书共有246个应用题，根本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈缺乏、方程和勾股九章。对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明。解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。第一章“方田”.讲述有关平面图形〔土地田亩〕面积的计算方法，包括分数算法。第二章“粟米”.讲述有关粮食交换中的比例问题。第三章“衰分”.讲述配分比例和等差、等比等问题。第四章“少广”.讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法那么的记载。第五章“商功”.讲述各种土木工程中的体积计算。第六章“均输”.讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比拟复杂的比例计算问题。第七章“盈缺乏”.讲述算术中盈亏问题的解法。第八章“方程”.讲述线性方程组的解法，其根本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数〔包括常数〕别离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学开展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，故《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法那么。在该书的实际问题中已涉及正负数的乘除运算，但《九章算术》和刘徽注中都没有明确给出其运算法那么。这是世界上最早关于正负数应用的记载。第九章“勾股”.在《周髀算经》中勾股定理的根底上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的开展有着极其深刻的影响。其成书后便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定，该书成为“算经十书”中的重要一部，成为后来的数学家们演习、研究和著述的依据。日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的开展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原本》东西辉映，各具特色。3、刘徽和祖氏父子〔1〕、刘徽的数学成就刘徽，公元3世纪魏晋时人，于公元263年撰《九章算术注》，该书包含了刘徽本人的许多理论和创造。事实上，刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，开展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的奉献。数学史界的一个普遍观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》，那么很难深入理解《九章算术》的精髓。在算数方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论。他的分数的意义、表示方法、运算法那么等代表了当时世界上的最高水平，早于第二创造者印度500多年，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看作比，由此开展出“率”的概念，又在“率”的根底上提出了算数中的比例理论、“盈缺乏”方法等，成为中国传统算法理论开展的重要根底，并传人印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的开展产生了较大的影响。在代数方面，《九章算术》中的线性方程组的解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就，前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给出这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的。他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法要早出1300多年。在几何方面，刘徽的奉献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图形割补法。割圆术：《九章算术》“圆田术”给出了圆面积的计算公式：“半周半径相乘得积步”。即圆田积步=〔其中为圆周长，为圆的半径〕。可见，在《九章算术》的作者看来，圆与一个长为圆周的一半、高为半径长方形，或以圆周为底边、半径为高的三角形面积相等。为了证明这一公式，刘徽创造了著名的“割圆术”，其根本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法。首先，刘徽以“割圆为六觚图”来指出古率“径一周三”实际上是六觚〔如图“六面之觚”，即“正六边形”〕的周长〔〕与直径比。然后从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次计算得到正多边形的周长和面积。〔如图“十二面之觚”，即“正十二边形”〕六面之觚十二面之觚“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂”。即有。“假设又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，那么得二十四面之幂”。即有。假设令，如即是圆除去其内接“十二觚”的小弓形面积总和，这些小弓形面积在割圆术“化圆为方”的过程中是要舍弃的。所以刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，那么与圆合体而无所失矣”。即随着分割的不断细密，的值不断变小。当分割至“不可割”的极限状态时，内接正多边形与圆重合，而“无所失”了。刘徽还注意到，如果在圆的内接正边形的每一边上作一高为“余径”〔半径与边心距之差〕的矩形，就可得到这样就不需要计算圆的外切正多边形的面积来得到圆面积的上限和下限了。这一公式可以称之为“刘徽不等式”。刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为一尺，一直推算到圆的内接正192边形。得到圆周率的近似值为，化为分数就是，这就是著名的“徽率”。刘徽还进一步声明：“此率尚微少”，沿用这一方法可得到更为精确的近似值。〔2〕、祖氏父子的数学奉献祖冲之〔429---500〕,字文远，南北朝时人，祖籍范阳遒县〔今河北涞水县〕，是一位博学多才的天文学家、机械制造专家、文学家。他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。父子俩都对《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作《缀术》在唐代被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是对圆周率值的推算。《隋书·律历志》记载着他对圆周率的研究成果π≈3.1415926。由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为355／113；约率为22／7.其中密率在欧洲由德国数学家奥托〔1550——1605〕于1573年得到，这比祖冲之要晚1100年之久。密率是一个很好的分数近似值，如果用它来计算半径为10公里的圆的面积，其误差仅几个平方毫米，可见其精确度是很高的。祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索。经父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算。祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无懈可击；同时，祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，那么积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假设所得截面总相等，那么此二几何体体积相等。它被称为“祖暅原理”，这实际上也就是西方数学界所谓的“卡瓦列利原理”。这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了1100多年，为了纪念祖冲之的奉献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之的名字命名。三、宋元时期————中国传统数学的兴盛中国数学的开展在宋元时期到达顶峰，这一时期包括宋元二代〔即公元900年—公元1368年〕，其显著标志是数学家及其数学著作的大批涌现。据不完全统计，著名的数学家就有数十人，有记载的数学专著就有百余种。数学研究内容也有了明显变化，在宋元顶峰时期根本上是以代数为中心的时期，这一时期关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式〔组〕的解法等，都到达了当时世界的最高水平。1、高次方程的数值解法1050年前后，北宋数学家贾宪撰写了一部《黄帝九章算术细草》的著作，给出了用“增乘开方”来解形如“Xn=A”的方程的方法，迈出了将传统数学的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的重要一步。贾宪的著作早已失传，但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘录在他自己的著作《详解九章算法》中。由此我们可以看出，贾宪的高次开方法是以“开方作法根源”图为根底的。“开方作法根源”图这张图在西方称之为“帕斯卡三角”(如下列图)，但就创造时间而言，中国至少要比帕斯卡早半个世纪。“开方作法根源”图中数字排列成一个三角形，该三角形的每n横行恰好是二项展开式中的各项系数，，，...，，。图下注文为：“左乃积数,右乃隅算,中藏者皆廉，以廉乘商方，命实以除之。”前两句是指三角形最外边的两列数字分别对应各次开方之积与隅算，第三句是说中间的数字分别对应开方过程中所出现的各廉，后两句是对开方算法的概括。贾宪的解法大体上可用现代语言解释如下：对于方程“Xn=A”，假设X仅为一位数字，不难通过试验确定其值；假设x有2位有效数字时，令〔其中的位值是的10倍〕，那么有即。在估算出以后作减法，然后利用上述关系就可以求出来。如果的有效数字的个数多于2时，在求出第二位有效数字以后又可依照同样的方法继续计算后面的有效数字。期间，贾宪提出了“增乘开方法”，尽管其已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开方问题，而且在他以及以前的中国数学家的论述中，由开方引出的方程其系数都是正数。虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突破，并在他所著的《议古根源》一书中允许方程的系数为负数，但由于该书的亡失，其方法并没有流传下来。将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳〔今四川安岳〕，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。其方法是先列出相当于的方程，其中可正可负，而常数项那么总是负的(“实常为负”)。假设试商为，作减根变换，那么将方程变形为然后利用类似于贾宪的“增乘开方法”的迭代程序来计算变换后所得到的新方程的各项系数。他的程序与贾宪方法的区别于：由于规定了“实常为负”，整个程序便统一用加法，真正实现了随乘随加的机械操作。这个由北宋贾宪首先提出、而由13世纪上半叶南宋的秦九韶最后完成的解高次方程的方法，被称为“秦九韶程序”。在欧洲，直到1819年英国人霍纳才创造了类似的方法，比秦九韶晚572年，而比贾宪晚了700多年。2、中国剩余定理《孙子算经》中记载了举世闻名的“孙子问题”，原文如下：“今有物不知其数。三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二；问物几何？”其意思是：有堆东西不知有多少，如果三个三个地数，最后余下两个；五个五个地数，最后余下三个；七个七个地数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？早在公元前2世纪时，我国就已研究过需要一次同余式才能解决的问题。这类问题在中国古代数学中是经常碰到的，不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等等。把上述问题用同余式组表示出来就是“x≡2〔mod3〕≡3〔mod5〕≡2〔mod7〕”，求x，这里a≡b〔mod〕表示a与b同时被P除所得的余数相同。《孙子算经》的解答原文如下：“答曰：二十三。术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，那么置七十；五五数之剩一，那么置二十一；七七数之剩一，那么置十五；一百五上，以一百五减之，即得。”这段原文隐晦难懂，但它却揭示了这类问题解法的关键是要找出70，21，15这三个常数，为什么呢？因为70不仅是5×7的倍数〔2倍〕，而且被3除余1；21不仅是3×7的倍数〔1倍〕，且被5除余1；15不仅是3×5的倍数〔1倍〕，且被7除也余1，即70=2×5×7≡1〔mod3〕≡0〔mod5〕≡0〔mod7〕，〔2.1〕21=3×7≡0〔mod3〕≡1〔mod5〕≡0〔mod7〕，〔2.2〕15=3×5≡0〔mod