新教材人教A版高中数学必修第一册第二章测试题及答案

新教材人教A版高中数学必修第一册第二章测试题及答案

第二章测试（满分150分）

一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）

9

1.函数y=2x2—3x-\-的零点个数是（）

8

A.OB.lC.2D.无法确定

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图⑴所示，则不等式ax2+bx+c^Q的解集为（）

A.{x0}B.0

C.{x|xWx。}D.R

4

3.代数式X?+-7取得最小值时对应的X值为（）

A.2C.±2D.±/2

4.用一段长为/的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），菜园

的面积最大时（）

A.菜园为正方形

B.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边长

C.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边短

D.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边和邻边无法比较长短

5.Vx€R,2x2+5x+6>x2+3x+m,m的值可以为（）

A.7B.6C.5D.4

6.下列命题中，真命题的个数是（）

①若a>b>Q,则ac2>bc2②若a>b>Q,则a2>b2

③若o<b<0,则02>/m2④若a<b<0,则二〉二

ab

A.lB.2C.3D.4

7.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|—2<x<5},对于函数y=W+bx+c有下列说法:

①图象开口朝下；②零点确定；③o、b、c的值确定；④对称轴确定

正确说法的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

8.已知非负实数°,6满足a+b=l,则」一+二一的最小值（）

。+1b+2

A.1B.2C.3D.4

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9.已知则下列不等式中恒成立的是（）

A.已知〃，匕为正数，则a+b+—^h22/I

Jab

B.已知〃，beR,则〃2+62+222〃+2。

,）*）

C.已知。，6为正数，则1-22J前

Jab

2ab

D.已知〃，匕为正数，贝！J二—>ab

a+b

10.下列不等式中无解的是（）

A.x2+2x+4<0B.X2-8X+16^0

9

C.—x2—3x——>0D.2x2+ax—3a2^0

4

IL下列结论正确的是（）

A.若函数片ox2+bx+c（a#0）对应的方程没有根，则不等式ax2+bx+c>0的解集R；

B.不等式ax2+bx+c^0在R上恒成立的充要条件是a<0,且△=炉一4ocW0；

C.若关于％的不等式ox2+x—1W0的解集为R,则oW-----；

4

D.不等式的解集为{x|0vxvl}.

I

12已知Rt^ABC的斜边长为2,则下列关于AABC的说法中，错误的是（）

A,周长的最大值为2+2/1B.周长的最小值为2+2/5

C.面积的最大值为2D.面积的最小值为1

三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.已知集合A={x|?<4},B={x|x2-4x+3>0},则APIB=；

14.Vx€R,J——勿x+1有意义,。的取值构成的集合为;

15.若正实数％,y满足2x+y+6=xy.设t=2x+y,t的取值范围构成集合A.

3t£A,tWm,则m的最小值等于.

16.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：

设三角形的三条边长分别为。，b,c,则三角形的面积S可由公式S=-6）S—c）求得,其

中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6,b

+c=8,则此三角形面积的最大值为

四、解答题（共6题，17题10分，其余各题每题12分，共70分）

17.已知集合A={x|-^―^->0},集合B={x|ax>l}.若x£A是的充分不必要条件，求a的取值范围.

T-7

18.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，若单价每提高0.1元，

销售量就可能相应减少2000本.要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价有什么限制？销售

的总收入最高时，定价多少？

19.对于一元二次方程ox2+bx+c=0,写出满足下列条件的关于a、b、c的不等式组.

（1）有两个不等正根；

（2）有两个不等负根；

（3）两根异号；

（4）两根一个比1大，一个比1小.

20.⑴设a,b,cGR,a+b+c=l,证明:ab+bc+ac<—；

3

114

(2)已矢口o>b>c,求证：----+----2------.

a~bb-ca-c

21.⑴若不等式ax2+2x+l>0的解集为{x|bvx<l},求a,b的值;

⑵求关于x的不等式ox2+2x+l>—ax—l（a>0）的解集.

22.已知不等式x2—ax+o—2>0(a>2)的解集为｛x|x<xi,或x>xz).

⑴求xi+xzH---------的最小值M；

—

J/K/，

⑵若正数〃，b,。满足a+b+c=一，求证：—+—+—>2

2abc

第二章测试解析（满分150分）

一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）

9

1.函数y=2x2—3x-\-的零点个数是（）

8

A.OB.lC.2D.无法确定

【答案】B

9

解析：零点就是y=0时，方程2X2-3X+—=0的根.

8

9

0=（—3）2—4x2x—=0,方程两根相同，函数有1个零点，故选B.

8

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图⑴所示，则不等式ax2+bx+c^0的解集为（）

A.{x0}B.0

C.{x|xWx。}D.R

【答案】A

解析：ax2+bx+c>0,即y>0.

根据图像可知，只有在X-Xo时，片0.x取其它任何实数时,y都是负值，故

选A.

4图（1）

3.代数式x2+—取得最小值时对应的x值为（）

A.2C.±2D.tn

【答案】D

解析：X2在分母的位置，则x2>0.

4

x2H—x'-7-=4,当且仅当x2==，即/=4,x2=2,x=±/^时，取等号，故选D,

x~x

4.用一段长为/的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），菜园的面积最大时（）

A.菜园为正方形

B.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边长

C.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边短

D.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边和邻边无法比较长短

【答案】B

解析：设菜园的相邻两边长分别为x（靠墙的边），y,则x+2y=/.

/,•

/

，X—

[x402V「1=2v2

菜园面积S=xy二一・x・2vV—（■—―）2=一,当且仅当V,即y时，取等号，故选B.

2.228x+2y=//

、V=—

X.4

5.Vx£R,2x2+5x+6>x2+3x+m,m的值可以为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

解析：VxGR,2x2+5x+6>x2+3x+m<=>x2+2x+6—m>0.

0=22—4(6-m)<0,m<5,故选D.

6.下列命题中，真命题的个数是()

①若a>b>0,则ac2>bc2②若a>b>Q,则a2>b2

③若o<b<0,则02>/m2④若a<b<0,则一>二

ab

A.lB.2C.3D.4

【答案】C

解析：对于①，c=0时，ac2=bc2,是假命题；

对于②，根据正数同向不等式可乘方的原则可知，是真命题；

22

对于③，a<0,a>ab;*/a<b,b<0,ab>bf根据不等式的传递性可知，此选项为真

命题；

^22116一。

对于④，——一一=2(-------)=2-------.

ababab

22b-a

Vo<b<Ob—a>0,ob>0----------=2------->0,—>一.此选项为真命题.

f9ababab

综上，选项为C.

7.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x—2<x<5},对于函数y=ax2+bx+c有下列说法:

①图象开口朝下；②零点确定；③a、b、c的值确定；④对称轴确定

正确说法的个数为（）

A.lB,2C.3D.4

【答案】C

解析：不等式大于0,取中间，可断定a<0,函数图像开口朝下，①正确;

-2,5是对应方程的根，也是对应函数的零点，②正确;

b

-2+5=-----

b=-3a

根据韦达定理，Y即Y所以a、b、c的值不确定，对称轴方程为x二一

Cc——10a

-2X5=—

y-=一一^-=y.所以③不正确，④正确.

综上，选C.

8.已知非负实数a,6满足a+b=l,则二一+」一的最小值（）

G+1H2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

解析：a+b=l,（a+l）+（b+2）=4.

-7-)=7[(a+l)+(fa+2)](----H-4-)=Y(2+-^-^a+1、1

--------1=-*4(----)2_

a+1----i+24a+1b+24a+1b+24a+1i+24

(2+2/­)=1.

Va+1b+2

b+2a+1

a=1

当且仅当＜a门匕।2,即<时，取等号.

b=Q

a+5=1

综上，」一+^的最小值为1,选A.

a+1b+2

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9.已知则下列不等式中恒成立的是（）

A.已知〃，匕为正数，贝!Ja+b+—^2^2

Jab

B.已知〃，/?ER,贝！J〃2+扶+2224+2匕

・入一

C.已知a,6为正数，则=-22J前

J而

lab

D.已知。，人为正数，则^>加

a+b

【答案】ABC

解析：对于A选项，a+b+>2^fab+>2$0-^==2几正确;

对于B选项,(区+炉+2)—(24+2b)=(a2—2a+l)+(b2—2b+l)=(a—l)2+(b-l)2z0,正确;

a+b'2ab「

对于C选项，一产以一^二2J^},正确;

Jab"ab

对于D选项，一■—<—产=J^b,不正确.

a+b2Jab

综上，选项ABC.

10.下列不等式中无解的是（）

A.x2+2x+4<0B.x2-8x+16<0

D.2x2+ax—3a2^0

【答案】AC

解析：对于A选项，对应二次函数开口朝上，0<0,y值恒正，此不等式无解；

对于B选项，对应二次函数开口朝上，0=0,y值非负，此不等式有解（可以取等）；

对于C选项，对应二次函数开口朝下，0=0,y值非正，此不等式无解；

对于D选项，对应二次函数开口朝上，EI=25a2>0,y值不可能皆负，此不等式有解.

综上，选AC.

11.下列结论正确的是（）

A.若函数y=ax2+bx+c（aW0）对应的方程没有根，则不等式ax2+bx+c>0的解集R；

B.不等式ax2+bx+cW0在R上恒成立的充要条件是a<0,且△=按一4acW0；

C.若关于1的不等式ox2+x—1W0的解集为此则QW一工；

4

D.不等式二>1的解集为{x[O<x<l}.

I

【答案】CD

解析：对于A选项，。<0时，对应的方程没有根，ax2+bx+c>0的解集为0,不正确；

对于B选项，“ax2+bx+cM0在R上恒成立”推不出“a<0,且△=按一4。<:40'',

反例：0x2+0x—140在R上恒成立，但。=0.此选项不正确；

对于C选项，分两种情况考虑：

①当。=0时，x—BO的解集不是R;

X-Xfl<01

②当“0时，ax2+x—lS0的解集为R,所以1,即於-----.此选项正确；

l+4a〈04

.11l-x.

对v于D选项，一>1,——1>0,---->0,x（l—尤）>0,0<x<l.正确.

XXX

综上，选CD.

12已知Rt△ABC的斜边长为2,则下列关于△ABC的说法中，错误的是（）

A.周长的最大值为2+2几B.周长的最小值为2+2/5

C.面积的最大值为2D.面积的最小值为1

【答案】BCD

解析：设斜边为c,则c=2,a2+b2=4.

1]2j_L2a=b

先研究面积：S=-ab<--=1,当且仅当<,即时，取等号，所以面积

2221J+/=4

的最大值是1.C、D选项都是错误的；

再研究周长：a2+Z?2=4.,（0+力2一2必=4,3+加2―2（，^）2s4,（a+b）2<8,a+b<ljl,当且

a=b

仅当《,即a=b=vQ时，取等号，所以的最大值为2/5,周长的最大值为2+2/^.

a+y=4

综上，选BCD.

三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.已知集合A={x<4},B={x|x2—4x+3>0},则AC!B=；

【答案】{x|—2<x<l}.

解析：A={x|x"<4}={x|—2<x<2},B={x|x2—4x+3>0}={x|x<l或x>3}.

AnB={x|—2<x<l}.

14yxGR,JOT'-勿X+1有意义，a的取值构成的集合为

【答案】{alOWaWl}

解析：VxeR,Jar'_2/ix+l有意义,即ax?—2ax+120的解集为R.

分情况讨论：

当0=0时，Ox?—2-0x+120的解集是R,符合题意；

a>0

当。时，<,，即0<a<l.

W—aWO

综上，a的取值构成的集合为{a|0"W1}.

15.若正实数x,y满足2x+y+6=xy.设t=2x+y,t的取值范围构成集合A.

3teA,tWm,则m的最小值等于.

【答案】12

12x+v

解析：2x+y+6=xy,2x+y+6=—•2x-y,(2x+y)+6<—(―~~—)2,(2x+y)2—8(2x+y)—48>8,(2x

??7

+y+4)(2x+y-12)>0,V2x+y+4>0,2x+y-12>0,2x+y>12.

7Y=v

当且仅当Jx=3

即《时，等号成立.

2x+y+6=xyy=6

综上，2x+y的最小值是12,即t的最小值为12,m的最小值是12.

16.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即己知三角形三边长求三角形面积的公式：

设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=J正二砺二J求得，其

中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6,b

+c=8,则此三角形面积的最大值为

【答案】3、/7

a+h+c

解析：P-=7,S=j7(7-(X7-6)(7-c)=/7(7-6X7-c).

2

o+b+c,a+cT…a+b+c,_皿

----------b=------->0,贝--------->b,b<7,7-b>0；同理7—c>0.

222

l-b=7-c

当且仅当4,即b=c=4时，取等号.

b+c=8

综上，三角形面积的最大值为3J7.

四、解答题(共6题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)

17.已知集合A={x-^―^->0},集合B={x|ax>l}.若xGA是xWB的充分不必要条件，求a的取值范围.

x-2

.,,1-1f(1—X)(A—2)0

解析：A={x——>0}={x<}={xl<x<2}.

x-21x—240

根据题意，AB,所以Bw0,“0,且a值不可能为负值(若。<0,则B中元素都是负数，而A中元

素都是正值，A不可能真包含于B).

a>0

综上，a>0,B={x|ax>l}=B={x|x>一},«]，即a>l.

a—<1

18.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，若单价每提高0.1元，

销售量就可能相应减少2000本.要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价有什么限制？销售

的总收入最高时，定价多少？

解析：设提价后的定价为每本x元.

v-25

(8--——X0.2)X>20,

0.1

[8-2(x-2.5)]x-20>0

(13-2x)x-20>0

13x-2x2-20>0

2x2-13x+20<0

2x2-13x+20=0的两根分别为*、4,・••不等式的解集为{x[：<x<4}.

7

综上，要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价即不低于2.5元，也不高于4元.

x-25

销售的总收入y=(8—-——二二X0.2)x

0.1

=-2x2+13x

13

对称轴方程为x=---.

4

所以定价为一元时，销售的总收入最高.

4

19.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,写出满足下列条件的关于a、b、c的不等式组.

（1）有两个不等正根；

（2）有两个不等负根；

（3）两根异号；

（4）两根一个比1大，一个比1小.

解析：设方程的两部不等根分别为修、X2,

ZT—4ac>0发-4ac>0

△>0"△>0

—>0—>0

(D-X]X)〉0Va；（2）＜XjX.>0,Ya，

>0-1>oXy+X,<0

L1-I1---<0

Ia

-4ac>0"△>

△>00b"^4ac>0

，Yc；(4)-<

x,x,<0—<0(X]-1Xx,-1)<0Xjx,—(X,+x,)+1<0

I_I__

d2—4ac>0

cb

—F—F1<0

aa

20.⑴设a,b,cGR,a+b+c=l,证明：ab+bc+ac<—；

114

(2)已知o>b>c,求证：----+----2-----

a-bb-ca-c

(1)证明:a+b+c=l

(a+b+c)2=l

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=l

a-\-b".V+c*..

-----+------+------+2ab+2bc+2ac=l

222

lab2bc+lac

2ab+2bc+2ac<l

222

3ab+3bc+3ac<l

ob-\-bc~\~oc<—,命题