集合-高中数学

集合

考纲导读

（-）集合的含义与表示

1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语，言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（三）集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3.能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在

选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的

有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；

二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简

易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

第1课时集合的概念

基础过关

一、集合

1.集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个

集合，简称.集合中的每一个对象叫做这个集合的.

2.集合中的元素属性具有：

(1)确定性；(2)；(3).

3.集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常

用,无限集常用,图示法常用于表示集合之间的相互关系.

二、元素与集合的关系

4.元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A的元素，记作,

若a不是集合B的元素，记作.但是要注意元素与集合是相对而言的.

三、集合与集合的关系

5.集合与集合的关系用符号表示.

6.子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B(或集合B

包含集合A),记作.

7.相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合

A的元素，就说集合A等于集合B,记作.

8.真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作.

9.若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空

真子集有个.

10.空集°是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，0是任何集合的，

0是任何非空集合的，解题时不可忽视。.

典型例题

例1.已知集合4=(xeNI一日一WN},试求集合A的所有子集.

解：由题意可知6-x是8的正约数，所以6—尤可以是1,2,4,8；相应的x为

2,4,5,即A={2,4,5卜

.••♦的所有子集为血{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}.

变式训练1.若a,b€R,集合{i,“+6,a}=求b-a的值.

解：由{1,0+Z>,a}=[o,2,b|可知a#0，则只能a+b=O,则有以下对应关系:

a+b=0

a+b=O

b

--a①或.h=a②

a

b=\噎

a

a=-1

由①得5,，符合题意；②无解.所以b-a=2.

b=l

例2.设集合U={2,3,Y+2a_3},A={\2a-1\,2),C"={5},求实数a的值.

解：此时只可能。2+2。-3=5,易得。=2或一4。

当a=2时，A={2,3}符合题意。

当a=-4时，A={9,3}不符合题意，舍去。

故a=2。

变式训练2：(1)P={x|x2-2x-3=0}>S={x|ax+2=0},S=P,求a取值？

(2)A={-2WxW5},B={x[m+lWxW2m-1},B±A,求m。

解：(l)a=O,S=0,0=P成立a^O,S*0,由S^P,P={3,-1}

22

得3a+2=0,a=——或-a+2=0,a=2；；.a值为0或一一或2.

33

(2)B=0,HPm+l>2m-l,m<2；.0UA成立.

m+l<2m-1

BK0,由题意得\-2<m+\得2WmW3；厂“蹴

5>2m-1

或2WmW3即mW3为取值范围.

注：（1）特殊集合0作用，常易漏掉

例3.已知集合人=收|0«2-2*+3=0,meR）.

（1）若A是空集，求m的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求m的值；

(3)若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.

解：集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.

(1)VA是空集，...方程mx2-2x+3=0无解.

A=4-12m<0,即m>l.

3

(2)；A中只有一个元素，

二方程mx2-2x+3=0只有一个解.

若m=0,方程为-2x+3=0,只有一解x=3;

2

若m#0,则A=0,即4T2m=0,m=J..

3

m=0或m=_L.

3

(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据(1)、(2)的

结果，得m=0或m2L

3

变式训练3.(1)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}且1GA,求实数a的值;

(2)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N,求a,b的值.

解：(1)由题意知：

a+2=l或(a+l)2=l或a2+3a+3=l,

.•.a=T或-2或0,根据元素的互异性排除-1,-2,.•.a=0即为所求.

1

=-

(2)由题意如，卜=2“或K==Ja=O或卜=0或4

[b=b2[b=2a[fe=lp=01

=-

2

根据元素的互异性得卜=°或即为所求.

标=1

b=-

2

例4.若集合A={2,4,/—2〃~—4+7},B={1,a+1,矿―2Q+2,—(。-―3Q—8)、

2

/+/+3〃+7},且AGB72,5},试求实数〃的值.

解：・.・AGB={2,5},・・・2£人且5£人，

则〃-2a2-a+1=5=(a—2)(a—1)(a+1)=0,

/.a=-1或a=l或a=2.

当a=-l时，B={1,0,5,2,4),与AAB={2,5}矛盾，Aa^-1..

当a=l时，B={1,2,1,5,12),与集合中元素互异性矛盾，.•.aWL

当a=2时,B={1,3,2,5,25},满足AAB={2,5}.故所求a的值为2.

变式训练4.已知集合A={a,a+d,a+2d},B={a,aq,aq*1}，其中aWO,若A=B,求

q的值

解：：A=B

\a+d=aqa+d=aq2

...⑴[a+2d="/或（n）a+2d=aq

由（I）得q=l,由（ID得q=l或q=-5.

当q=l时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾,

1

归纳小结

1.本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，

确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集

和数集混淆.

2.利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检

验.

3.注意空集中的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性.

4.要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法

在解题中的应用.

第2课时集合的运算

基础过关

一、集合的运算

1.交集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作ACB,即ACB

2.并集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作AUB,即AUB

3.补集：集合A是集合S的子集，由的元素组成的集合，叫做S中子集A的

补集，记作C.sA,即CsA=.

二、集合的常用运算性质

1.ACA=,AO0=,AOB=A,AUA=,

AU0=,AUB=BUA

2.AoCuA—,A<JCJJA=,C（C^A）=.

3.Cy(AoB)=,

Cy(Ac8)=,

4.AUB=A=

ACB=A=_________

典型例题

例L设全集U=R,M={加1方程加/-1-1=0有实数根},N={〃l方程

x~-x+〃=0

有实数根},求(CuM)cN.

解：当加=0时，x=-l,即OEM；

当mW0时，△=1+4m>0,B[Jm>——，且机w0/.m>——，

44

*•-C(；M={mImv——j*

而对于N,△=1-4〃20,即〃4；,

.♦.(CuM)nN={xlx<_；)

变式训练1.已知集合A={x|-1^l,xeN，B=k"-2rf?<0},

(1)当m=3时，求Ac(C*)；

(2)若AnB={xl-l<x<4},求实数m的值.

解：打621,得'-5W0.，1VxW5,={元I-1<x<5}.

(1)当m=3时,B={xl-l<x<3},则C理={xlxW-l或％23},

/.Ac(C*)={尤I3<x<5}.

(2)VA={xl-l<x<5},AAS={xl-l<x<4},AW42-2X4-m=0,解得m=8.

此时B={xl-2<x<4},符合题意，故实数m的值为8.

例2.已知A={x\a<x<a+3},8={1|X<-1或］>5}.

(1)若anB=0,求Q的取值范围；

(2)若AUB=8,求Q的取值范围.

a之一1

解：(1)4。8=0,・・・《，解之得一1(。<2.

a+3<5

(2)A\JB=ByAB.，〃+3<-1或a〉5,。<-4或。>5

・•・若A。8=0,则。的取值范围是［—1,2］；若=8，则。的取值范围是

(-00,-4)U(5,4-00).

变式训练2：设集合A={xlx2-3x+2=0},B={xlx2+2(a+i)x+(a2—5)=0}.

(1)若AAB={2},求实数a的值；

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围；

(3)若1)=匕AH(G；B)=A.求实数a的取值范围.

解:由x2-3x+2=0得x=l或x=2,故集合A={1,2}.

(1)VAnB={2},/.2eB,代入B中的方程，

得a'+4a+3=0,.*.a=-l或a=-3;

当a=-l时，B={xl/-4=0}={-2,2},满足条件；

当a=-3时，B={尤|_4*+4=0}={2},满足条件；

综上，a的值为T或-3.

(2)对于集合B,

△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).

VAUB=A,AB^A,

①当AVO,即a<-3时，B=0,满足条件；

②当A=0,即a=-3时，B={2},,满足条件；

③当△>(),即a>-3时，B=A={1,2}.才能满足条件，

则由根叮系数的关系得

5

l+2=-2(a+l)Cl——

即＜2,矛盾；

1x2=/—5

G=7

综上，a的取值范围是aW-3.

(3)VAA(CyB)=A,:.A三5B,.*.AnB=0;

①若B=0,则A<0na<-3适合；

②若B¥0,则a=-3时，B={2},A「B={2},不合题意;

a>-3,此时需1史B且2eB,将2代入B的方程得a=-l或a=-3(舍去)；

将1代入B的方程得a2+2a-2=0=>a=-l±73.

.♦.aWT且a#-3且a#T±G.

综上，a的取值范围是aV-3或-3Va<-l-6或或T<a<T+方或a>

-1+V3.

例3.已知集合A={xI/+(2++1=0,xeR},B={xeRIx>0}，试问是否存在实数

a,使得ACB=0?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

解:方法一假设存在实数a满足条件AAB=0则有

(1)当AW0时，由ACB=0,B={xeRlx>0}.知集合A中的元素为非正数，

设方程x?+(2+a)x+l=0的两根为X,.x2,则由根与系数的关系，得

△=(2+4-420

■x,+x2=-(2+a)<0,解彳版20;

=1>0

(2)当A=0时,则有△=(2+a)2-4V0,解得-4VaV0.

综上(1),(2),知存在满足条件AnB=0的实数a,其取值范围是(-4,+8).

方法二假设存在实数a满足条件ACB#。，则方程/+(2+a)x+l=0的两实数根xi,xz至少

有一个为正，

因为x-X2=l>0,所以两根x“X2均为正数.

则由根与系数的关系，得卜=(2+4-420，解得产°或"WT即

xt+x2=-(2+a)>0[a<-2

又•集合{ala4-4}的补集为{“I”>-4},

，存在满足条件AAB=0的实数a,其取值范围是(-4,+8).

变式训练3.设集合A={(x,y)|y=2x-l,xSN*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,xGN*},问是否存在

非零整数a,使ADBW0?若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.

解：假设ADB#。，则方程组

y_2_|

v-有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+l=0.

y=ax^-ax+a

由△》(),有(a+2)2—4a(a+1)20,解•得一友友.因a为非零整数,Aa=±l,

3——3

当a=T时，代入(*),解得x=0或x=T,

而xCN*.故arT.当a=l时,代入(*),

解得x=l或x=2,符合题意.故存在a=l,使得AABW0,

此时ACB={(1,1),(2,3)).

例4.已知A={x|x2—2ax+(4a—3)=0,xGR},又B={xIx2—2行ax+a2+a+2=0,

xGR},是否存在实数a,使得AUB=0?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

解：l<a<2即实数”(1,2)时，A(jB=0.

变式训练4.设集合A为函数y=]n(—x2—2x+8)的定义域，集合6为函数y=x+—L的

X+1

值域，集合C为不等式(ax-L)(x+4)«0的解集.(1)求APIB；(2)若C=gA,求”的

a

取值范围.

解：⑴解得A=(-4,2),B=(-oo,-3]U[l,+oo)o所以。>8=(-4,—3]U[L2)

(2)a的范围为---<a<0

2

归纳小结

1.在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字

语言.

2.集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运

算中运用数形结合思想.

3.对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要

有分类讨论的意识.

集合单元测试题

一、选择题

1.设全集U=R,A={x€NUWxWlO},B={x6R|/+x—6=0},则下图中阴影表示的集合

为()

A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}

2.当xeR,下列四个集合中是空集的是()

A.{x|X2-3X+2=0}B.{XIx2<x}

C.{x|X2-2X+3=0}C.{xIsinx+cosx=[}

3.设集合4={5,log2(a+3)},集合8={a,b},若AnB={2},则AUB等于()

A.{1,2,5}B.{-1,2,5}

C.{2,5,7}D.{-7,2,5}

4.设集合A=b，|y=J》2-i卜B={xly=J7二1},贝ij下列关系中正确的是()

A.A=BB.A^BC.BQAD.4cB=[1,+OO)

5.设M,P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xeM且xep},则M-(M-P)等于

()

A.PB.Mp|PC.MUPD.M

6.已知4={#2_2》一3<0},B={x\x<a\,若A",则实数a的取值范围是()

A.(―1,4-oo)B.[3,4-oo)C.(3,4-oo)D.(—00,3]

7.集合M={xIx=sin?,nGZ},N={xlx=cos?,n£Z},MCN=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{0}D.0

8.已知集合M={xlx=-+-,ksZ},N={xIx=-+-,keZ},则()

2442

n

A.M=NB.M*N

u

C.M*ND.McN=6

9.设全集U={xllWx<9,x£N},则满足{1,3,5,7,8}c。,8={1,3,5,7}的所有集合B

的个数有（）

A.1个B.4个

C.5个D.8个

10.已知集合乂={,，y)|y—9-x2},N={(x,y)Iy=x+b},且MCN=0,则实数b应

满足的条件是

()

A.Ib|>36B.0<b<42

C.-3WbW如D.b>3拉或b<-3

二、填空题

11.设集合A={x|—3WxW2},8={》|2%—1(；1<2女+1},且71卫6,则实数上的取值范

围是.

12.设全集U=R,A={XI2JU-2)<l},5={xly=ln(l-x)},

则右图中阴影部分表示的集合为.

13.已知集合人={1,2,3,4},那么A的真子集的个数

是_______________.

14.若集合s='y|y=1,xeR卜T={yIy=log(x+l),x>-l}，则SAT等于.

15.满足{0,1,2声Ag{0,l,2,3,4,5}的集合A的个数是个.

11

16.已知集合尸={xl5«x<3},函数/(x)=log2(。——2x+2)的定义域为Q.

12

(1)若PnQ=',]),PUQ=(—2,3],则实数a的值为；

(2)若PDQ=。，则实数a的取值范围为.

三、解答题

17.已知函数/(x)—的定义域集合是A,函数g(x)=lg[x2-(2a+l)x+a2+a]的定

x-2

义域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AUB=B,求实数a的取值范围.

18.设U=H,集合A={xlx?+3x+2=。},5=Ix24-(m+l)x+m-0|；

若(CuA)nB=。，求机的值.

19.设集合A={x|l/3242-*44},B=[r|x2-3mx+2m'-w-1<o}.

(1)当xeZ时，求A的非空真子集的个数：

(2)若B=。，求m的取值范围；

(3)若A=求m的取值范围.

20.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点"，若"f(x))=x,则称x为

f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A=""(x)=x},

⑴求证：A-B

(2)若/(%)=加一1(。£氏%£/?),一且4=8。(|),求实数a的取值范围.

单元测试参考答案

一、选择题

1.答案：A

2.答案：C

3.答案：A

4.提示：A={yly20},5={xlx21或xW—1}.答案：D

5.答案：B

6.答案：B

7.由丝与空的终边位置知M={-3，0,丑},N={-1,0,1},故选C.

3222

8.C

9.D

10.D

11.提示：2k-l<2k+l,答案：一

2

12.答案：A=(0,2),B=(—oo,l),图中阴影部分表示的集合为4口68=[1,2),

13.答案：15

14.答案：{ylyN—1}

15.答案：7

3

16.答案：a=一一：ae(-oo,-4]

2

17.解：(1)A={xlx或2}......

B="Ix<a或x>4+1}..........

_a>—1

(2)由人1]13=8得人(313,因此4..........

a+