高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷4

高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷4

第I卷（选择题）

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一、单选题

I.如图，若正方体的棱长为1,点M是正方体ABCO-A4G2的侧面AOAA上的一

个动点（含边界），p是棱CC,的中点，则下列结论正确的是（）

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为巫

2

B.若保持|PM|=夜，则点M在侧面内运动路径的长度为（

C.三棱锥B-GMQ的体积最大值为:

0

D.若M在平面4力。队内运动，且=点M的轨迹为抛物线

2.过点尸作抛物线C:x?=2y的切线人，/2,切点分别为M,N,若APMN的重心坐

标为（1,1）,且P在抛物线D：V=皿上，则。的焦点坐标为（）

A-（别B.（别0.件°）口.隹0,

3.在平面直角坐标系龙。了中，若抛物线C:y2=2*（2>0）的焦点为F,直线与抛物

线C交于A,B两点，|AF|=4,圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M,

点N在圆E上，则两.两的取值范围是（）

A.-去'与B.[—3,21]C.卷'121D.[3,27]

4.在平面直线坐标系中，定义以48）=0^{|芭721回一丫2|}为两点

A（x,,yj、8（孙％）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点Q,称。（尸，Q）的最

小值为点P到直线/的“切比雪夫距离”记作d（P,/），给出下列四个命题：（）

①对任意三点AQC,都有d（C,A）+d（C,B）＞J（AB）；

,4

②已知点尸（3,1）和直线/：2x-y-l=0,则d（P,/）=-；

③到原点的“切比雪夫距离'’等于1的点的轨迹是正方形；

④定点耳（―c,0）、玛（c,0）,动点P（x,y）满足卜（尸，4）-d（P,工）|=2a（2c＞加＞0）,则

点P的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

5.已知点A是抛物线V=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点尸在抛

物线上且满足|%|=，〃户目，若，“取最大值时，点P恰好在以A尸为焦点的双曲线上，

则双曲线的离心率为

A.73+1B.72+1C.D.2^111

22

6.过椭圆二+丁=1的左焦点作相互垂直的两条直线，分别交于椭圆A、B、C、。四

点，则四边形A88面积最大值与最小值之差为（）

18c19-21

AA.—B.—C.一D.—

2525525

二、多选题

92

7.已知椭圆C:三+汇=1上有一点尸，£、用分别为左、右焦点，/月尸生=。公2大用的

169

面积为S,则下列选项正确的是（）

A.若。=60。，贝”=3后B.若S=9,贝iJ6=90。

C.若6为钝角三角形，则Se[o,乎）D.椭圆C内接矩形的周长范围是（12,20]

L1LB1UULULILII

8.在棱长为1的正方体A8CO-AMCQ中，点p满足。p=2£@+〃D4,2elO,lJ,

0,1],则以下说法正确的是（）

A.当4=〃时，BP〃平面CBB

1-JI

B.当〃=5时，存在唯一点P使得。尸与直线C4的夹角为§

C.当4+4=1时，CP长度的最小值为直

2

D.当2+〃=1时，CP与平面BCC向所成的角不可能为?

试卷第2页，共4页

第n卷(非选择题)

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三、填空题

9.已知点尸(2,0)和圆。：/+/2=36上两个不同的点M,N,满足N/PN=90。，。是

弦的中点，

给出下列四个结论：

①IMPI的最小值是4；

②点。的轨迹是一个圆；

③若点A(5,3),点8(5,5),则存在点Q,使得NAQ8=90。；

④△何/W面积的最大值是18+2，万.

其中所有正确结论的序号是.

10.如图，过抛物线V=2px(p>0)的焦点尸作两条互相垂直的弦48、CD,若AACF

与ABDF面积之和的最小值为32,则抛物线的方程为.

11.将直角三角形A3C沿斜边上的高AD折成120的二面角，已知直角边

AB=6,AC=^,那么下面说法正确的是.

(1)平面>4BC_L平面ACD(2)四面体ABC的体积是逐

(3)二面角A-8C-O的正切值是匝(4)BC与平面ACQ所成角的正

3

弦值是在I

14

12.已知椭圆兰+亡=1,Ft,5为其左右焦点，动直线/为此椭圆的切线，右焦点尸2

43

关于直线/的对称点网与方)，$=囱+4,-24|,则S的取值范围为.

四、解答题

22/7

13.已知椭圆C：r2"v+方=13>b>0)过点(一2,0)且离心率为学.若斜率为M%>0)

且不过原点的直线I交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于G、

交直线x=-2于点。（-2,m）,且|OG『=|O£）||OE|,过。作直线48的垂线，垂足

为。.（其中：点。为坐标原点）

（1）求椭圆C的方程.

（2）证明：存在点P,使|PQ为定值.

14.已知椭圆C:「•+，=1（。＞6＞0）经过点书，其离心率为孝，设直线

/:＞=依+机与椭圆C相交于A、8两点.

（1）求椭圆C的方程；

2

（2）已知直线/与圆f+y2=§相切，求证：04,。8（。为坐标原点）.

22

15.已知椭圆C：★■+看■=1（〃＞人＞0）的左右焦点分别为耳，心，左顶点为A,离心率

为专,上顶点/0,1）,小B耳的面积为与1

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/：y=Z（x+l）与椭圆C相交于不同的两点M,N,P是线段MN的中点.若

经过点K的直线加与直线/垂直于点Q,求|尸。|•忻Q|的取值范围.

16.已知圆片：（x+1）2+V=8,点月（1,0）,点Q在圆「上运动，的垂直平分线交

于点P.

（1）求动点P的轨迹的方程C；

（2）设M,N分别是曲线C上的两个不同点，且点例在第一象限，点N在第三象限,

若揄+2苏=2而，。为坐标原点，求直线MN的斜率；

（3）过点的动直线/交曲线C于AB两点，在y轴上是否存在定点7,使以

AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.AB

【分析】

A选项，把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间，线段最短进行求解，注意展开方式

可能有多种；B选项，找到点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长；C选项，利用

等体积法和建立空间直角坐标系，求出L-GMO的最大值，即为乙/即最大值；D选项，在空

间直角坐标系中利用余弦定理得到点M的轨迹方程为线段.

【详解】

将平面ABBtAt与平面展开到同一平面内，连接AP,此时AP=+=与,

也可将平面A8CC与平面C£@G展开到同一平面内，此时AP=J12+[I+；]=半，

晅〈叵，故A正确；

22

过点P作PEL交于点E,连接EM,则E为。〃的中点，PE=\,且PEL平面ADD.A,,

EMu平面4。。必，所以因为由|?例|=夜可知，EM=[PM?-PE?=1，故M

在侧面4。。人上得轨迹为以E为圆心，1为半径的半圆，故点M在侧面内运动路径的长为

连接C18,CQ,BD,MD,MB,何C1,则E）=GD=G8=0,所以S.WG=*x（夜）：等

以D为坐标原点，分别以D4,DC,0A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则£>（0,0,0）,80,1,0）,G（0,1,1）,设“（孙0川,（0<m<l,0<n<l）,设平面C/。的

答案第1页，共22页

无史中二°,令日,得—所以小（TI）,

法向量为〃=（x,y,z）,则,

n-DC}=y+z=0

\DMn\\-m-n\zn+n,,.

设M（九0,〃）到平面C/。的距离为人则〃"：―l，故当帆=1，〃=1

7i+i+i

时，〃取得最大值，为q==毡，此时三棱锥8-CM。体积最大,

石3

cosN8QB=^=^=坐，所以cosNMZ#=半，连接MR,MB,因为

(0</n<l,0<n<l),所以MR=5疗+(〃-1)2,MB=J(m-l)2+1+/,

MD；+BX-MB?2m—2n+2_\[6

cosNMD[B=化简得：（"z+〃-1『=0,所以

2MD】•BDi26ylm2+("一])?3

〃什〃-1=0,可知M点的轨迹不是抛物线，D错误.

答案第2页，共22页

故选：AB

【点睛】

对于立体几何中的满足一定条件下的点的轨迹问题，往往需要建立空间直角坐标系来进行求

解，当然建立空间直角坐标系还可以求解角度和距离，将几何问题代数化可以大大减少思考

难度，提高做题效率.

2.A

【分析】

由已知设切点坐标为加卜,?，虫2卷，利用导数写出切线4,4的方程，联立求出交

点P坐标X=汽玉，y=罗，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P的坐标为(1,T),

再代入抛物线。：了2=g方程，求出机，进而求。的焦点坐标.

【详解】

设切点坐标为M(%,5)，NQ,5，

丫2

由/=2>,得y=',所以y'=x,

故直线4的方程为y-:l*=X］(x-xJ,BPy=,

同理直线l2的方程为y=x2x-^-,

联立4,4的方程可得》=二1三，y=竽，

II石+-2.逡."|毛

设的重心坐标为(毛，%)，则丫_r।r22_i，2+2+2

xo-—1%=-=1

即I1：'：：'—6所以〔:;;则P的坐标为(LT)，

I十人2十人］人,OI人］人,~~乙

将P点坐标代入抛物线。：y2=mr,得到(—1)2="?xl,解得机=1,

故。的焦点坐标为

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查

答案第3页，共22页

了推理能力与计算能力，属于难题.

3.B

【分析】

由已知及抛物线的定义，可求。，进而得抛物线的方程，可求A,B,尸的坐标，直线A尸

的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N的坐标，求得M的坐标，结合向量数量积的坐标

表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围.

【详解】

解:由题意，设加3,廊)，所以|A尸|=3+合=4,解得。=2,

所以抛物线的方程为F=4x,A@,20)，43,-26)，尸(1,0),

所以直线A尸的方程为y=瓜x-1),

设圆心坐标为(％,0),所以5-1)2=(3-%『+12,解得x0=5,即E(5,0),

圆的方程为Q-5)、y2=i6,

不妨设加＞0,设直线OM的方程为卜=丘，则左＞0,

根据号7=4,解得人=；

4

V=­X912

由，3,解得M5,T

(x-5>+y2=16

设N(4cos0+5,4sin。),所以0"•QN=,cose+gsin6+9=£(3cose+4sin。)+9,

因为3cos。+4sin。=5sin(。+°)e[-5,5],

所以两•丽e[-3,21].

故选:B.

答案第4页，共22页

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为(x-5)2+y2=l6,然后利用直线0M

与圆E切于点求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积

的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围..

4.A

【分析】

①讨论A,B,C三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点。是直线y=2x-l上一点，且Q(x,2x-1),可得d(P,Q)=g{|x-3|,|2-2x|},讨论

U-3|,|2-2x|的大小，可得距离d,再由函数的性质，可得最小值；

③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

④讨论P在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

【详解】

解：①对任意三点A、B、C,若它们共线，设A&,%)、B(X2,y2),

C(三,x),如右图，结合三角形的相似可得或C,A),d(C,B),d(AB)

为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则d(C,A)+4(C,B)=d(A,B)；

若B,C或A,C对调，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,8)；

若A,B,C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，由矩形CMVK或矩形BM7VK,

d(C,A)+d(C,8)；

则对任意的三点A,B,C,都有"(C,A)+4(C,B)..d(A,B)；故①正确；

设点。是直线y=2x-l上一点，且Q(x,2x-1),

答案第5页，共22页

可得d(尸,Q)=mor{|x-3|,|2-2x|),

由|x-3|…|2-2x|,解得-啜卜I，即有d(RQ)=|x-3|,

当x=j5时，取得最4小值g;

由|x-3|«2-2x],解得x>g或x<—l,即有或P,Q)=|2x-2|,

44

d(P，Q)的范围是(3,+00)51+°0)=(-,+8).无最值,

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为g.

故②正确；

③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为(x,y),则〃，办{国,|加=1,

若lyl.Jxl,则lyl=l；若lyMxl,则|尤|=1,故所求轨迹是正方形,则③正确;

④定点耳(-c,0)、F2(C,0),动点点x,y)

满足l"(P,石)-〃(尸，F2)\=2a(2c>2a>0),

可得尸不N轴上，P在线段耳心间成立，

可得x+c-(c-x)=2a,解得x=a,

由对称性可得x=也成立，即有两点P满足条件；

若「在第一象限内，满足MP,£)-d(P,玛)|=2a,

即为x+c-y=2a,为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,

则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.

故④正确；

综上可得，真命题的个数为4个，

答案第6页，共22页

故选:A.

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难

题.

5.B

【详解】

过P作准线的垂线，垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,

1|PN|

•.,|PA|=m|PB|....|PA|=m|PN|.,.-=-^77

mIPAI

设PA的倾斜角为a,则sinc='，

m

当m取得最大值时，sine最小，此时直线PA与抛物线相切,

设直线PA的方程为y=kx-1,代入x?=4y,可得x?=4(kx-1),即x?-4kx+4=0,

/.△=16k2-16=0,；.k=±l,AP(2,1),

2

・•・双曲线的实轴长为PA-PB=2（V2-1）,，双曲线的离心率为2（Y1）=&+】.

答案第7页，共22页

点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化|刚=时P目得到

1\PN\

—=*m=sina,m取得最大值时，sine最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0,

m\PA\

得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.

6.A

【分析】

当AC、3。有一条不存在斜率时，直接求得四边形A8CO的面积.当AC、3。都存在斜率

时，设出直线AC,8。的方程，利用弦长公式求得|AC|,忸由此求得四边形438的面积

的表达式，求得面积的取值范围，从而计算出正确结论.

【详解】

依题意a=2,b=l,c=£,

设点N，为）在椭圆上，则[0）I）『T，解得％=土;.

①当AC、有一条不存在斜率时，

SABCO=]X（2x2）x（2x/）=2.

②当AC、8。都存在斜率时，设AC方程乙：y=k（x+百）,8。方程*y=-?（x+G）,

K

y=%（x+\/J）

4与椭圆联立得炉，消去y并化简得（1+4公卜2+86公％+12/一4二0,

—+y=1

4

-8辰212k2-4

则芭+々=------T-,X|

1+4/11+4小

|AC|=y/l+k2-J（X1+W）--你马

4（1+〃）

1+4&2

4（1+公）

4+k2

；.|AC|•囱=gx4（1+k2）4（1+公）

°ABCD1+4&2乂4+公

8（1+公）2________8________

-4/+17^+4一311、2,25,

-o------）---------

F+124

答案第8页，共22页

Jt2>o,z：2+l>l,o<——<1,

《+1

_8__32

I

故当即公=1时臬68取得最小值变=不，

F+T24

由于-9（0-：）2+胃=曰一1=4,1=2,所以

综上所述，S"s的最大值为2,最小值为3三2，

on1e

则最大值与最小值之差为2-三=笠.

故选：A

【点睛】

求解直线和圆锥曲线位置关系的题目，要注意判断直线的斜率是否存在，必要时要进行分类

讨论.

7.ACD

【分析】

用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可.

【详解】

22

对于椭圆二+与=1（”>〃>0）,设|「制=上|%|=弓,N耳竺=。，则

alr

[r.+n=2a卯

“222cA，由此可得代=八…①,

14c=4+r2-2rtr2cos0-\+cos0

所以4尸耳鸟的面积S=—rr,sin0=———---sin0=Z?2.=〃tan—.

2'-2l+cos01+cos。2

对于选项A：若6=6（）。，则S=9tan30=3百，故A正确;

对于选项B：由①知2—=（当且仅当八即点P是短轴端点时取等

1+cos0v2y

号），所以cose±2b2t-I1=L因此。不可能是90,故B错误；

a28

对于选项C：由以上分析可知，。不可能是钝角，由对称性不妨设NP耳鸟是钝角.先考虑临

界情况，当/尸//=90时，易得|词=3,此时S=g忸Fj|%|=c|%|=乎，结合图形可

知，当N尸耳用是钝角时0<S<蛀，故C正确；

答案第9页，共22页

fx=4cos«(乃、

对于选项D：令).，0,-,

[y=3sina\2J

4

则椭圆内接矩形的周长为4(3sina+4cosa)=20sin(a+°),其中锐角9满足sin0=y,

3

COS(p=M

由ae(0目得0+旌尾+、|,所以，周长的范围是(20sinC+e|,20si吟，即(12,20],

故D正确.

故选：ACD.

22n

结论点睛：对于椭圆「+当=1(">"0),』F,PF[=e,则△巴谯的面积S=〃tang.

ab"2

8.ACD

【分析】

对于A,可知点P在线段0A上，易证平面ABQ〃平面CBQ-利用线面平行的性质可证得

结论；对于B,可证得点尸为A。中点，此时。P//CB1可判断；对于C,可知P，A，A三点

共线，线段CP在△ACA中，利可求得距离最小值；对于D,设点户在平面BCCf内的射

影为Q在线段上，则NPCQ为所求角，求sinNPCQe手,可判断结果.

【详解】

tun/uuuruuu、uuir

对于A,当2=〃时，DPS+DA)=2DA.即点尸在线段上，利用正方体的性质，

易证平面48£>〃平面CBQ,3PU平面ABC,.\3尸//平面C8Q,故A正确；

答案第10页，共22页

IUUDuuuriuixuirminumn*

对于B,当〃=/时，。「=4。2+弓04=＞尸4+尸0=2/1。。，设AO的中点为“，则

UUUUULU

PH=2DQ,即P4//。。，即点尸为4。中点，此时。P//Cg,故B错误；

对于C,当几+〃=1时，可知P,R,A三点共线，线段CP在△ACR中，当点P为4Q中点时,

CP最小，此时CP^A。，尸=J（何一净2=乎,故CP长度的最小值

对于D,当义+〃=1时，可知P,。,A三点共线，点P在平面BCG片内的射影为。在线段BG

上，则NPC。为CP与平面BCG4所成的角，sinNPCQ=^=《，又PCs，近,所

答案第11页，共22页

以sinNPCQe坐，坐，而sin工=正>逅，所以CP与平面8CC4所成的角不可能为1,

233233

故D正确;

故选：ACD

【点睛】

方法点睛：求直线与平面所成角的方法:

(1)定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键;

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;

③求，利用解三角形的知识求角;

(2)向量法，sine=cos<AB,n>\=..J.(其中AB为平面a的斜线，力为平面a的法向

AS|.|n|

量，。为斜线AB与平面a所成的角).

9.

【分析】

①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出(x,y),找到等量关系，建立方程，求出

点。的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q；④当PM,PN

斜率分别为1和-1时，且点P,M在y轴左侧，此时△用PN面积最大，求出最大值.

【详解】

点M在圆。：/+：/=36上，设M(6cos6,6sine),则

IMP|=J(6COS，-2『+(6sin/『=140-24cos，,当cos6=l时，IMPI取得最小值，最小值

为4,①正确；

设点Q(x,y),则由题意得：PQ2=QM2=OM2-OQ2,pli](x-2)2+y2-36-(x2+y2)-整

答案第12页，共22页

理得：(x-l)2+y2=i7,所以点。的轨迹是一个圆，②正确；

为以AB为直径的圆，圆心为(5,4),半径为1,方程为：(x-5『+(y-4)2=l,下面判断此

圆与点。的轨迹方程(x-l『+y2=17是否有交点，由于J(5-1)4+42=4&>M+1,两圆

相离，故不存在点Q,使得NAQB=90。,③错误；

当尸M,PN斜率分别为1和-1时，且点P,M在y轴左侧，此时△MPN为等腰直角三角形，

面积最大，止匕时PQ=QM=QN=1+(SJMNLX=/x2x(l+=18+2，?？，④正

确.

故答案为：①②④

【点睛】

轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征

选择合适的方法进行求解.

10.y2=8x

【分析】

设直线AB的倾斜角为锐角。，则直线C£>的倾斜角为],利用焦半径公式分别求出、

忸百、1b|、\DF\,并求出AACF与△双邛面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾

函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出P的值，于是得出抛物线的方程.

【详解】

解：设直线A8的倾斜角为锐角。，则直线CO的倾斜角为，+],

由焦半径公式得：

IAFI=—2—,

11l-cos6>

忸F|=--—，

11l+cos6»

\DF\=-----4---=—R—

l+cos,+jvjind,

.•.△ACF的面积为：

答案第13页，共22页

=AFCF=

兄ACF^\\'\\2(i-cos6»)(l+sin6>)

=___________g___________

2+2sin0-2cos6-IsinOcos0

=______________________________

(1-2s%6cos。)+2(sin。一cos。)+1

_____________.

(sin0-cosA)?+2(sin0-cos8)+1

2

(l+sin0-cos0)2

2

同理可得4BDF的面积为：S.BDF=-~Y——-T，

(l-sinO+cosB)

令/=sin0-cosO=V2sin16一.卜(-Ll),

p2p22P2。+打

则&ACF与&BDF面积之和为:

(1+02(l-O2-(I-/2)2

再令x="+][1,2),则AACF与ABDF面积之和为:

2P2(l+/)2Plx2P2

(1-r2)2=(2-x)2：

X

由双勾函数的单调性可知，当x=l时，AAC尸与AB/W面积之和取到最小值,

即2/=32,由于。>0,得p=4,

因此，抛物线的方程为丁=8-

故答案为：y2=8x.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于难

题.

11.(3)(4)

【分析】

画出图像，由图像判断(1)是否正确；计算O-A8C的体积来判断(2)是否正确；依题意

建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断(3),(4)是否正确.

【详解】

答案第14页，共22页

画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误.由于AO_L8,AZ）_L3D,故/BOC是

二面角C-AD-B的平面角且4），平面BCD,故ZBDC=601过5作BE_LCD交CD的延

长线于E,由于故BE是三棱锥8-AC£>的高.在原图中，BC=^3+6=3,

AD=^^=^^=6,BD=g=\,CD=g=2,

BC3

BE=BDsin60=lx—,所以

22

V„ABC=VBACD=-X-XADXCDXBE=-X>/2X2X—=^-,故（2）错误.以。为坐标原点，

D-ABCB-ACD32626

丽玩"分别为"z轴建立空间直角坐标系.A（技0,0）,jo,孚,C（0,2,0）,

通=-技-用，双=卜"2,0）,设平面ABC的法向量为万=（x,y,z）,则

n,AB=-y/2.x—y+---z=0,—(i-5>/6

2)2，令x=2,则y=&,z=5但，即a=2,夜,羊.平面8c。的

n-AC^-42x+2y^03('

法向量是次=（夜,0,0）.设二面角A-BC-O的平面角为6,由图可知。为锐角，故

cosejjl周,需'则其正切值为黑=华.故（3）判断正确,平面ACD的法向量为

（0,0,1）,BC=。1，一¥，设直线BC和平面ACZ）所成的角为。，则

(5

(0,0,1)-0,-,-

窄,故（4）判断正确.综上所述,正确的有⑶，（4）.

sintz=

|(0,0,邪弓，-⑶

2J

答案第15页，共22页

【点睛】

本小题主要考查折叠问题，考查空间面面垂直的判断，考查锥体体积计算，考查二面角的计

算以及线面角的计算，属于中档题.

12.[7,47]

【分析】

本题的关键点是根据椭圆的光学性质可得：对称点尸，切点A,左焦点”三点共线，根据斜

率相等得到方程，结合点名尸中点B在切线方程上得到的方程，求出点的轨迹方程,

然后根据S的特点，从点到直线距离入手，求出S的取值范围.

【详解】

因为,2=4-3=1,所以c=l,故6(1,0),因为右焦点工关于直线/的对称点P&，X)，设

切点为A(%,%),由椭圆的光学性质可得：P,A,耳三点共线,直线I方程为竽+竽=1,

则点亮尸中点3在切线方程上，其中铝，9代入切线方程中，得:3（占+1）।为X

1

86

VV4尤—4

①，由P,A,G三点共线可得：L=%,即七=-5■②，联立①②可得：与=于一，

%=梳、，因为A(%,%)在椭圆方程上，可得：+=%=含

代入③中，解得：(与+炉+城=16,即点P(x,,yJ的轨迹方程是以(-1,0)为圆心，半径为4

答案第16页，共22页

的圆，圆心(-1,0)至IJ直线3x+4y-24=o的距离为易弁=.，则圆上的点到直线

3x+4y-24=0的距离最小值为2^7-4=(7,最大值为2曰7+4=漕47，贝lj

S=|3x,+4y,-24|egx5,1x5,即Sw[7,47]

故答案为：[7,47]

【点睛】

本题是圆锥曲线的光学性质的运用，即从椭圆一个焦点出发的光线经过椭圆反射后，反射光

线一定经过另一个焦点，这在焦点关于切线对称的问题上，属于一个隐含条件，只有用到这

个性质，才能顺利的解决问题；当然双曲线和抛物线都有类似的性质，双曲线的光学性质：

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的

另一个焦点上；抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射

光线平行于抛物线的对称轴.

13.

(1)—+^=1

42

(2)证明见解析

【分析】

(1)求出a=2,利用离心率求出c=0,进而求出b,求出椭圆方程；(2)先求出直线/

恒过定点”(-2,0),根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到点P,其坐标是(-1,0).

答案第17页，共22页

(1)

•・・。=2且e=£=①，.♦.c=0=^・・.椭圆方程为工+f=1

。242

(2)

设AB直线方程：,，=依+尻点/4(石,乂),8(々，%)，6优,%)

x2y2

--------1--------

联立42句得(1+2/卜2+4的+(2从-4)=0

y=kx+b

4kb2b2-4

M+工,=------7

1~1+2公1+2公

2kbb\

所以AB中点E-

1+2k2，l+2k2

所以直线0E为一奈,所以12,

1

y=-----x

22},可求得：G

又联立

"=1

142

2

■：\OG\=\OD\-\OE],：.y^yD-yE

2:1b

解得：

2k2+\~T\+2k2b=2k.

，直线A8:y="+2Z过定点，(-2,0)

:AOHQ为直角三角形,取。”的中点P

PQ=^OH=\(为定值)

存在满足题意的点尸，其坐标是(-1,0)

【点睛】

圆锥曲线求满足一定条件的定点问题，难度比较大，要充分利用题干中的条件来进行求解,

比如这道题中要再求出直线AB-y=kx+2k过定点”(-2,0)后，结合直角三角形来寻找斜边

中线，对于学生基础知识扎实，对知识运用的灵活性要求高.

14.(1)y+y2=l；(2)证明见解析.

【分析】

(1)本题首先可根据离心率为孝得出/=劝2,然后代入点Ml,弓，即可求出椭圆c的

答案第18页，共22页

方程;

2

(2)本题首先可根据直线/与圆V+y2=§相切得出34一2公—2=0,然后联立直线方程

与椭圆方程，根据韦达定理得出苔+弓=-普7、斐进而求出,必=日二当.

'+1+2k1+2k

最后通过OAOB=0即可证得OAA.OB.

【详解】

(1)因为离心率为正，a2=h2+c\

2

22

所以:=孝，a=2b,椭圆方程为J+/=l,

因为椭圆C经过点M1,，所以2^+2^=1，6=1，〃=2b2=2,

故椭圆C的方程为1+丁=1.

2

(2)因为直线/与圆相切，/：＞="+〃?,

所以I----=-t/T>BP3/n2—2k~-2=0,

^/i7FV3

y=kx+m

联立,f2_，整理得（1+2公）d+4hnr+2机2—2=0,

^2+y=

A=16A:W-4（1+2/）（21-2）>0,

设A(X，X)，8(々,%),则玉+毛=-7T寿，&乡=三品

1+1+Z.K

m2-2k2

2

故%为=（何+m^（kx2+/T?）-kxtx2+hn^xt+々）+疗

1+26

空*+士生=3病-2心2=o

则OA2OB

\+2k21+2/i+2k2

故OAJ_O3.

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆相关问题的求解，考查椭圆离心率的

应用，若直线与圆相切，则直线到圆心的距离等于半径，考查韦达定理的应用以及垂直关系

的向量表示，考查转化与化归思想，是难题.

2

15.(1)—+y2^\-(2)(0,2].

【分析】

答案第19页，共22页

(1)根据已知条件求得a，4c,由此求得椭圆C的方程.

(2)对女进行分类讨论，求得|尸0,旧。|,进而结合基本不等式求得|尸。卜忻。的取值范围.

【详解】

(1)由已知，有6=1.

又SABF=L(a-c)b=~~-

△八"12'/2

a-c=y/2-l

Va2=b2+c2

•*.a=V2,c=1.

...椭圆C的方程为］+y2=i

(2)①当％=0时，点P即为坐标原点0,点。即为点K，则忸@=1，|EQ|=2.

.••|PQ|・|6Q|=2.

②当k/0时，直线/的方程为^=%(彳+1).则直线加的方程为y=-%x-l),即x+B-l=0.

设M&，y)，N(w，%).

y=