数字逻辑第1章-数制与编码教材

第一章数制与编码2大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示31.0引言模拟电子电路数字电子电路数字信号:在时间上和数值上不连续的信号（即离散信号）模拟信号:在时间上和数值上连续的信号。ut电子电路tu对模拟信号进行传输和处理的电子线路称为模拟电子电路。对数字信号进行传输和处理的电子线路称为数字电子电路。也称为逻辑电路。4大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示51.1进位计数制1.1.1十进制数的表示

1.1.2二进制数的表示1.1.3其他进制数的表示

61.1.1十进制基数为10,逢十进一,基本数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;相邻高位是低位权的十倍。位置记数法:

(S)10=(an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m)10（或Ｄ）按权展开式:

(S)10=

an-1×10n-1+

an-2×10n-2+...+a1×101+a0×100+a-1×10-1

+a-2×10-2+...+a-m×10-m7十进制数按权展开式实例(99.807)

D

＝９×101＋９×100＋８×10-1＋０×10-2＋７×10-３(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－281.1.2二进制基数为2,逢二进一,基本数码0、1;相邻高位是低位权的二倍。位置记数法:(S)2=(an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m)2

(或B)按权展开式:(S)2=an-1×2n-1+an-2×2n-2+...+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2+...+a-m×2-m9二进制数按权展开式实例（10011101.101）Ｂ＝１×2７

+０×2６+０×2５+１×2４+１×2３+１×2２+０×2１+１×2０

+１×2-１+０×2-２+１×2-３（101.101）2＝１×2２+０×2１+１×2０

+１×2-１+０×2-２+１×2-３10二进制数运算规则加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0(进位为1)减法规则：

0-0=0，0-1=1(借位为1)，1-0=1，1-1=0乘法规则：

0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1除法规则：

0/1=0，1/1=111二进制加法实例11001+1011111012二进制减法实例11001－1011010013二进制乘法实例11001×1011100100000110011111101

14二进制除法实例

101101)11001

－101101

10100015二进制乘法(1001*1011)10011001100110011011×

00001100011161

0111001*11001*01001*1用移位加法实现(1001*1011)100110011001×

0000

110001100001001+

+

11011+

011011赋初值01001+

1001*1二进制除法可用移位减法实现171.1.3十六进制基数为16,逢十六进一,基本数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;相邻高位是低位权的十六倍。位置记数法:

(S)16=(an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m)16(或Ｈ）

按权展开式:

(S)16=an-1×16n-1+an-2×16n-2+...+a1×161+a0×160+a-1×16-1+a-2×16-2+...+a-m×16-m18十六进制实例(3AF.022)Ｈ=３×16２+Ａ×161+Ｆ×160+０×16-1+２×16-2+２×16-３(AF.02)16=Ａ×161+Ｆ×160+０×16-1+２×16-219八进制基数为8,逢八进一,基本数码0、1、2、3、4、5、6、7;相邻高位是低位权的八倍。位置记数法:(S)8=(an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m)8(或Ｏ）按权展开式:(S)8=an-1×8n-1+an-2×8n-2+...+a1×81+a0×80+a-1×8-1

+a-2×8-2+...+a-m×8-m20八进制实例(175.302)8=１×8２+７×8１+５×8０+３×8-1+０×8-2+２×8-３21任意(r)进制基数为r,逢r进一,基本数码r个;相邻高位是低位权的r倍。位置记数法:(S)r=(an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m)r按权展开式:(S)r=an-1×rn-1+an-2×rn-2+...

+a1×r1+a0×r0+a-1×r-1

+a-2×r-2+...+a-m×r-m22不同进制数对照表(0~8)十进制数二进制数八进制数十六进制数00000000100010112001002230011033401000445010105560110066701110778100010823不同进制数对照表(9~15)十进制数二进制数八进制数十六进制数9100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F24大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示251.2数制转换1.2.1二进制数与十进制数的转换

二进制数转换成十进制数十进制数转换成二进制数1.2.2八进制数、十六进制数与二进制数的转换八进制数转换成二进制数二进制数转换成八进制数十六进制数转换成二进制数二进制数转换成十六进制数26二进制数转换成十进制数按权展开并相加得到（１１０１００１．１１）Ｂ＝1×26＋1×25＋1×23＋1×20＋1×2-1+1×2-2＝（１０５．７５）Ｄ（１０１１０１１．０１）Ｂ＝1×26+1×24+1×23＋1×21+1×20+1×2-2＝64＋16＋８＋２＋１＋0.25＝（91.25)D271.2.1十进制整数转换成二进制数除2取余(143)D=(10001111)B012481735711432222222210001111余数28十进制小数转换成二进制数乘２取整直到小数部分为0或达到所要求的精度。(0.8125)10=(0.1101)229转换依据111111111.111二进制数2827262524232221202-12-22-3十进制数二进制转十进制：整数部分乘2，小数部分除2，求总和十进制转二进制：整数部分除2取余，小数部分乘2取整301.2.2八进制数转换成二进制数以小数点为中心，分别向左或向右每一位八进制数对应三位二进制数。（５０２．６７）Ｏ＝(１０１０００010.１１０１１１)Ｂ31二进制数转换成八进制数以小数点为中心，分别向左或向右每三位二进制数对应一位八进制数，不足部分补０。(１０１００１．１０１)Ｂ＝(５１．５)o32十六进制数转换成二进制数以小数点为中心，分别向左或向右每一位十六进制数对应四位二进制数。（Ｆ０２Ｃ．６Ａ）Ｈ＝（１１１１００００００１０１１００．０１１０１０１０）Ｂ

33二进制数转换成十六进制数以小数点为中心，分别向左或向右每四位二进制数对应一位十六进制数，不足部分补０（１０１００１．１０１）Ｂ

=（00１０１００１．１０１0）Ｂ

=（２９．Ａ）Ｈ34大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示351.3机器码1.3.1真值与机器数1.3.2原码表示法1.3.3反码表示法1.3.4补码表示法1.3.5机器数加减运算1.3.6十进制数的补数361.3.1真值与机器数符号位

数值位11010N1=+101111011N2=－1011371.3.2原码表示法原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。以下n均表示字长的有效位。X(n)X(n)的原码+100101001-100111001381.3.3反码表示法Ｎ位二进制数的反码有N+1位。符号位：最高一位为符号位，正数的符号位用０表示，负数的符号位用１表示。数值位：正数的数值位与真值相同、负数的数值位由真值按位求反得到。39反码表示X(n)X(n)反码+100101001－1001101100.10010.1001－0.10011.0110－0.00001.1111401.3.4补码表示法符号位:最高一位为符号位，正数的符号位用０表示，负数的符号位用１表示。数值位：正数的数值位与真值相同、负数的数值位由真值按位求反最低位加1得到。41补码表示X(n)X(n)反码X(n)补码+10010100101001－100110110101110.10010.10010.1001－0.10011.01101.0111421.3.5机器数加减运算原码的运算原码运算规则原码运算实例反码的运算反码运算规则反码运算实例补码的运算补码运算规则补码运算实例43原码运算规则同符号数相加时，先得符号位，数值位再相加；相减时，先比较两数大小得符号位，数值位用绝对值大的数减小的数。44原码运算实例已知Ｘ＝＋０１０１０１１

Ｙ＝０００１０１１求：Ｘ＋Ｙ；Ｘ－Ｙ；Ｙ－Ｘ［Ｘ］原＝００１０１０１１［Ｙ］原＝００００１０１１［Ｘ＋Ｙ］原＝００１１０１１０Ｘ＋Ｙ＝０１１０１１０［Ｘ－Ｙ］原＝００１０００００Ｘ－Ｙ＝０１０００００［Ｙ－Ｘ］原＝１０１０００００Ｙ－Ｘ＝－０１０００００45反码运算规则符号位和数值位一起参加运算，符号位的进位与最低数值位再相加。［Ｘ＋Ｙ］反＝［Ｘ］反＋［Ｙ］反［Ｘ－Ｙ］反＝［Ｘ］反＋［－Ｙ］反46反码运算实例已知Ｘ＝＋0101011Ｙ＝0001011求：Ｘ＋Ｙ；Ｘ－Ｙ；Ｙ－Ｘ[Ｘ]反=00101011；[Ｙ]反=00001011；[-Ｘ]反=11010100；[-Ｙ]反=11110100[Ｘ+Ｙ]反＝[Ｘ]反＋[Ｙ]反

=00101011+00001011=00110110X+Y=+0110110[Ｘ-Ｙ]反＝[Ｘ]反＋[-Ｙ]反=00101011+11110100=00100000X-Y=+0100000[Y-X]反＝[Y]反＋[-X]反=00001011+11010100=11011111Y-X=-010000047补码运算规则符号位和数值位一起参加运算，符号位的进位舍去。［Ｘ＋Ｙ］补＝［Ｘ］补＋［Ｙ］补［Ｘ－Ｙ］补＝［Ｘ］补＋［－Ｙ］补48补码运算实例已知X1=0.1001,X2=–0.0101，求[X2+X1]补和[X2-X1]补。[X2+X1]补=[X2]补+[X1]补=1.1011+0.1001由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即[X2+X1]补=0.0100运算结果的符号位为0，说明是正数的补码，补码与原码相同。由于其符号位为0,则其真值为X2+X1=0.010049补码运算实例[X2-X1]补=[X2]补+[-X1]补=1.1011+1.0111由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即[X2-X1]补=1.0010运算结果的符号位为1，说明是负数的补码，应对补码求补后才能得到原码，即[X2-X1]原=1.1110由于其符号位为1,则其真值为X2-X1=-0.1110501.3.6十进制数的补数对10的补数对９的补数51对10的补数十进制“对10的补数”与二进制的补码类似。符号位：正数用０表示，负数用９表示。数值位：正数与真值相同；负数按位对９求补，最低位加１。N1＝365[N1]10补＝0365N2=-365[N2]10补＝963552用对10的补求123+456［123+456］10补

=[+123]10补+[+456]10补

=0123+0456

=057953用对10的补求123-456［123-456］10补

=[+123]10补+[-456]10补

=0123+9544

=966754用对10的补求456-123［456-123］10补

=[+456]10补+[-123]10补

=0456+9877

=0333(符号位进1舍掉）55用对10的补求5678-123［5678-123］10补=［5678-0123］10补

=[+5678]10补+[-0123]10补

=05678+99877

=0555556对９的补数十进制“对９的补数”与二进制的反码类似。符号位：正数用０表示，负数用９表示。数值位：正数与真值相同；负数按位对９求补。N1＝365[N1]９补＝0365N2=-365[N2]９补＝963457用对9的补求123+456［123+456］9补

=[+123]9补+[+456]9补

=0123+0456

=057958用对9的补求123-456［123-456］9补

=[+123]9补+[-456]9补

=0123+9543

=966659用对9的补求456-123［456-123］9补

=[+456]9补+[-123]9补

=0456+9876

=10333（符号位产生的进位在最低位需求和运算）=033360大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示611.4数的定点和浮点表示1.4.1数的定点表示1.4.2数的浮点表示

621.4.1数的定点表示将小数点固定在符号位d0之后，数值最高位d-1之前。其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样。格式如下：d0d-1d-2…d-(n-1)１００１＝０.１００１×２４０.１００１＝０.１００１×２０１０.０１＝０.１００１×２２63定点整数将小数点固定在数的最低位之后，其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样。格式如下：d0d1d2…d(n-1)１００１＝１００１×２００.１００１＝１００１×２－４

１０.０１＝１００１×２－２641.4.2数的浮点表示小数点的位置不固定或说是浮动的称为浮点表示。机器码中部分字段表示阶码，部分字段表示尾数。９９．８＝９．９８×１０１＝０．９９８×１０２Ｎ＝２Ｊ×Ｓ阶码尾数尾符阶符０１０１００１０

阶码尾数阶码不包括阶符尾数不包括尾符65浮点数的优点浮点表示速度快、数域广、精度高。16位浮点机器，5位阶码补码表示(含1位阶符)，11位尾数补码表示(含1位尾符)，则其数域为：－1×215~－2-16×2-162-10×2-16=2-26~(1-2-15)×215≈21516位定点小数机器其数域为：2-15=1-2-15

66大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示671.5数码和字符的代码表示1.5.1十进制数的二进制编码1.5.2可靠性编码1.5.3字符代码

681.5.1十进制数的二进制编码十进制数的二进制编码简称为二-十进制码或BinaryCodedDecimal(BCD)码。BCD码是指用若干位二进制数来表示一位十进制数。十进制数有10个数码(23<10<24)69常用的几种编码方案二进制数8421码余３码2421码5421码００００００００００１１１１００１０２２２００１１３０３３０１００４１４４０１０１５２０１１０６３０１１１７４１０００８５５１００１９６６１０１０７７１０１１８５８１１００９６９１１０１７１１１０８１１１１９708421BCD码用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码。由于8421码中的每一位的权是固定不变的，它属于恒权代码。恒权码的按权展开式如下：S=a3W3+a2W2+a1W1+a0W0，其中W3=23=8W2=22=4W1=21=2W0=20=1因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。711001的按权展开示例8421BCD码1001按权展开式为：1·8+0·4+0·2+1·1=9注意：在8421BCD码中，不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111这六个代码。在十进制中，没有数码同它们对应。72余3码余3码是一种特殊的8421码，它是由8421BCD码加3后形成的，所以叫做余3码。余3码是一种对９的自补码。如果两个十进制数相加为9，则它们的余3码按位求反得到。余3码的各位无固定的权。730111余3码示例十进制数7在8421BCD码中是0111。其余3码为：01110011（加3）1010+742421码2421码也是一种恒权码，它的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码。将2421码自身按位求反，得到其“对9的补数”的2421码。2421码用4位二进制数表示1位十进制数，其权为：W3=2；W2=4；W1=2；W0=1755421码5421码也是一种恒权码。5421码用4位二进制数表示1位十进制数，其权为：W3=5；W2=4；W1=2；W0=176思考题(34.56)D的8421BCD码，余3码，2421码和5421码分别为多少？77思考题答案(34.56)D=(00110100.01010110)8421BCD码=(01100111.10001001)余3码=(00110100.10111100)2421码=(00110100.10001001)5421码781.4.2可靠性编码格雷码(Gray)奇偶校验码79格雷码(Gray)格雷码又叫循环码，它有多种编码形式，但它们有一个共同的特点，就是任意两个相邻的代码之间，它们的格雷码仅有一位不同，其余各位均相同。格雷码是一种无权码，它与二进制数相对应。十进制0123456789格雷码000000010011001001100111010101001100110180格雷码与二进制数的转换格雷码转为二进制数二进制数转为格雷码81二进制数转为格雷码设二进制数为B=BnBn-1…B1B0，其对应的格雷码为G=GnGn-1…G1G0，则:Gn=BnGi=Bi+1⊕Bii=0,1,2,…,n-1以四位为例:G4=B4G3=B4⊕B3G2=B3⊕B2G1=B2⊕B1820101和1001转换成格雷码83二进制数转换成格雷码示例１０１１０１１1=(183)D１１１０１１００＋＋＋＋＋＋＋１０１１１０００=(184)D１１１００１００＋＋＋＋＋＋＋84格雷码转为二进制数设格雷码为G=GnGn-1…G1G0

，其对应的二进制数为B=BnBn-1…B1B0，则:以四位为例:851100和0111转换成二进制数86110011010转换成二进制数110011010100010011=(275)D⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕87奇偶校验码在原有信息位的基础上加上一位校验位,使总的二进制码中1的个数为奇数个(奇校验码)或偶数个(偶校验码)。这种代码由两部分组成:一部分是奇偶校验位，它使整个代码中1的个数按预先的规定成为奇数或偶数，另一部分是信息位，它需要传送的信息本身。当信息位和校验位中1的总个数为奇数时，称为奇校验，而1的总个数为偶数时，称为偶校验。奇偶校验码能检验出二进制信息在传送过程中出现的一位错误。88十进制数码的奇偶校验码十进制数码信息码奇校验码偶校验码01234567890000000100100011010001010110011110001001100000000100010100110010010101101100011101000110010000010001100100001110100001010011010111110000100189信息位检测器编码器P(检测位)发送端检测结果FX1X2X3Xn接收端···…90偶校验实例（1011）偶校验位发生器10111101111011偶校验位检测器1011正确出错110０11０0０11０0１1911.4.3字符代码通常把用于表示各种字符的二进制代码称为字符代码。字母数字标点符号运算符号其它特殊符号92ASCII码(美国标准信息交换码)LSDB3B2B1B0MSDB6B5B400000101001110010111011100000NUKDLESP0@P、p10001SOHDC1!1AQaq20010STXDC2“2BRbr30011ETXDC3#3CScs40100EOTDC4$4DTdt50101ENQNAK%5EUeu60110ACKSYN&6FVfv70111BELETB,7GWgw81000RSCAN(8HXhx91001HTEM)9IYIyA1010LFSUB*:JZjzB1011VTESC+;K[k{C1100FFFS‘<L\l|D1101CRGS_=M]m}E1110SORS.>N↑n~F1111SIUS/?O←oDEL93大纲1.0引言1.1进位计数制1.2数制转换1.3机器码1.4数的定点和浮点表示1.5数码和字符的代码表示94小结数制，数据转换，码制及二进制代码的基本方法和概念。进位计数制（基数和位权）数制转换（多项式代替法和基数乘除法）机器码（原码，反码和补码）定点和浮点8421BCD码，余3码和2421码；格雷码和奇偶校验码。95习题一解答1.1（1）（4517.239）10

=4×103+5×102+1×101+7×100+2×10-1+3×10-2+9×10-3（2）（10110.0101）2=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4961.1(3,4)（3）（325.744）8=3×82+2×81+5×80+7×8-1+4×8-2+4×8-3（4）（785.4AF)16=7×162+8×161+5×160+4×16-1+A×16-2+F×16-3971.2(1,2)（1）10111+101.101

10111+101.101=11100.101（2）1100-111.011

1100.000-0111.011=100.101981.2(3)（3）10.01×1.0110.01×1.0110010000100110.1101

991.2(4)（4）1001.0001÷11.10110.111101)1001000.1

1110111101

111010

1001.3(1)(1)(1110101)B=(64+32+16+4+1)D=117=(165)O=(75)H1011.3(2)(2)(0.110101)B=(0.5+0.25+0.0625+0.015625)D=0.828125=(0.65)O=(0.D4)H1021.3(3)(3)(10111.01)B=(16+4+2+1+0.25)D=23.25=(27.2)O=(17.4)H1031.4(1)(29)D=(11101)B=(35)o=(1D)H29/2=14114/2=707/2=313/2=11½=011041.4(2),p8(2)(0.207)D≈(0.001101)B=(0.15)o=(0.34)H0.207*2=0.41400.414*2=0.82800.828*2=1.65610.656*2=1.31210.312*2=0.62400.624*2=1.24811051.4(3)(3)(33.333)D=(100001.010101)B=(41.25)o=(21.54)H33/2=16116/2=808/2=404/2=202/2=10½=110.333*2=0.66600.666*2=1.33210.332*2=0.66400.664*2=1.32810.328*2=0.65600.656*2=1.31211061.5b1b0同为0时能整除，否则不能。1071.6(1)(1)0.1