高中数学课堂讲义-平面

高中数学课堂讲义一平面

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一平面的画法与表示.................................................1

3.知识点二点、直线、平面之间的基本关系的符号表示.........................2

4.知识点三平面的基本事实及推论............................................2

5.练习........................................................................3

6.探究点一立体几何三种语言的相互转化......................................4

7.探究点二点、线共面问题...................................................5

8.探究点三点共线、线共点问题..............................................7

9.课堂作业....................................................................9

10.课时作业（二十四）平面.................................................11

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.（数学抽象）

1.借助长方体直

2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.（直

观认识平面.

水平一观想象）

2.了解关于平面3.请用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实（公理），

的三个基本事

理解三个基本事实的地位与作用.（逻辑推理）

实（公理）和推

通过对平面的学习，逐步培养学生的空间想象意识.（逻辑推

论.水平二

理）

2.知识点一平面的画法与表示

1.平面的画法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面

画法当平面水平放置时，常把平行四边形的一当平面竖直放置时，常把平行四边形

边画成横向的一边画成竖向

DC/

图示

AB

2.平面的表示方法

⑴用希腊字母a,夕，了等表示，如平面a,平面从平面广

⑵用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面

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ABCD；

(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平

面AC,平面BD.

［点拨］(1)几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，

因此是无法度量的；

(2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们的面积可以度

量；

(3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无

限延展的.

3.知识点二点、直线、平面之间的基本关系的符号表示

文字语言符号语言

点A在直线1上AG1

点A在直线1外A由

点A在平面a内AGa

点A在平面a外A«Ea

直线1在平面a内lua

直线1在平面a外Ida

平面a,B相交于1anp=l

［点拨］(1)用集合语言描述位置关系时，"e,u,n”等符号虽然来源于

集合符号，但在读法上却用几何语言.例如，Ada读作''点A在平面a内”；

aUa读作“直线a在平面a内"；aA"=/读作"平面a,4相交于直线.

(2)几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号

略有差异.例如，不用aCO={A}来表示直线。相交于点A,而是简记为aC/?

=A,这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.

4.知识点三平面的基本事实及推论

名称图形文字语言符号语言

/•Jc/过不在一条直线上的三个点，点A,B,C不共线，A,B,

基本事实1

有且只有一个平面CW平面a=a是唯一的

如果一条直线上的两个点在

AG1,Bel,且Awa,Bea

基本事实2一个平面内，那么这条直线在

=>lca

这个平面内

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名称图形文字语言符号语言

如果两个不重合的平面有一

<1PGa,且P印naG0=L

基本事实3个公共点，那么它们有且只有

旦Pel

L4/一条过该点的公共直线

经过一条直线和这条直线外点A生直线a=A和a确定

推论1

*一点，有且只有一个平面一个平面a

直线an直线b=P=有且

经过两条相交直线，有且只有

推论2只有一个平面a,使aca,

一个平面

巨bea

经过两条平行直线，有且只有a||b=有且只有一个平面

推论3

1一个平面a，使aua,bea

［点拨］(1)基本事实1的作用

①确定平面及判定两个平面重合的依据；

②证明点、线共面的依据.

(2)基本事实2的作用

①判定直线在平面内的依据.当我们要证明直线在平面内时，只需在直线

上取两点，证明这两点在平面内即可；

②判定点在平面内的依据.

(3)基本事实3的作用

①判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这

两个平面必相交于过这点的一条直线；

②判定点在直线上的依据.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的

交线，则这点在交线上.

5.练习

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.()

(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些.()

(3)直线a与直线b相交于点A,可用符号表示为aCA=A.()

(4)平面ABCD的面积为100m2.()

(5)过三点A,B,。有且只有一个平面.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)X

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2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为

）

A.平面MNB.平面NQP

C.平面aD.平面MNPQ

A[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面

MN.故选A.]

3.下面是一些命题的叙述语（A,B表示点，”表示直线，a,4表示平面），

其中命题和叙述方法都正确的是（）

A.因为AGa,BRa,所以ABGa

B.因为ae夕，所以aC夕=a

C.因为AWa,aUa,所以AWa

D.因为A&z,aUa,所以Ma

C[对于A,直线AB在平面a内，应为ABUa,故A错误；对于B,直

线a在平面a,£内，应为aUa,aU£,故B错误；对于C,因为aUa,

所以AGa,故C正确；对于D,A&z,aUa,有可能Ada,故D错误.故选

C.]

4.若平面a与平面尸相交，点A,8既在平面a内又在平面夕内，则点A,

B必在________.

解析：因为A,BGa且A,B0,所以A,所以点A,8在a与4

的交线/上.

答案：a与4的交线/上

6.探究点一立体几何三种语言的相互转化

例n*用符号语言表示下面的语句，并画出图形.

（1）三个平面a,P，7相交于一点P,且平面a与平面尸相交于出，平面a

与平面?相交于PB,平面“与平面y相交于PC；

（2）平面a与夕相交于直线/,直线a与a,4分别相交于点A,B.

解析：（1）符号语言表示：an£n〉=P,aC}[]=PA,aDy=PB,kPC,

图形表示：如图①.

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c

AB

图①图②

(2)用符号表示：aC.=l,6zAa=A,aC忏B,如图②.

方法技巧

3种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、

几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表

示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

［对点训练］

根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

⑴点P与直线AB；

(2)点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点4与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面A山与平面AC.

解析：(1)P£AR

(2)C^AB.

(3)MW平面AC.

(4)44平面AC.

(5)ABnBC=B.

(6)A8U平面AC.

(7)平面48n平面AC=AB.

7.探究点二点、线共面问题

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例及《如图所示，直线A8,CD,EF两两平行，且分别与E/IF

直线/相交于A,C,E,求证：I,AB,CD,E尸四线共面./D

-7AB

证明：因为AB〃C£>,所以AB,CO确定一个平面，设为平面a.

因为A,C分别为AB,C。上的点，

所以Ada,CGa,即Ya.

又收〃8,所以CO,口确定一个平面，设为民

因为E,C分别为CO上的点，

所以EG夕，CG£,即/ug.

这样，Z和CO既在平面a内，又在平面夕内，而/和CD是相交直线，经

过它们的平面只有一个，故a和夕重合，

所以/,AB,CD,ER四线共面.

方法技巧

证明点'线共面的常用方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平

面夕，最后证明平面a,4重合.

［对点训练］

如图，已知四棱锥P-A8CO中，底面A3C。为菱形，E,b分别是3C,PC

的中点，G在尸。上，且PG=gPD证明：A,E,F,G四点共面.

证明：如图，在平面ABCO内，连接AE并延长交0c的延长线于点M,

则有CM=CD,

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在平面PCO内，连接Gb并延长交。C的延长线于点必.

取G0中点N,连接CN,

则由PG=1PD,可知PG=GN=ND.

•.•点下为PC的中点，

在APCN中有FG//CN,即GM\//CN,

.,.在△GMi。中有CM=CO,

二点M与点M重合，即AE与G尸相交于点M,

...A,E,F,G四点共面.

8.探究点三点共线、线共点问题

例❸*如图所示，在正方体A8CD-451CQ中，E为AB

的中点，户为A41的中点，求证：CE,D\F,D4三线交于一

点.

证明：连接D\C,AiB.

为AB的中点，尸为AAi的中点，

：.EF//A\B,且EF=3AiB.

又山〃。C,A\B=D\C,：.EF//D\C,EF=gDiC,

：.E,F,Di,C四点共面.

延长》尸，CE,设。产与CE相交于点P.

又•.•OiFU平面AQiQA,CEU平面A8C0,

为平面Ai£>iD4与平面ABC。的公共直线上的一点.

又•.・平面AiOiD4n平面ABCO=OA,

根据基本事实3可得P6D4,即CE,D\F,D4三线交于一点.

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方法技巧

1.证明三点共线的方法

;替无宾6的不年前:荻言冠丽欣三&需庭

方法一u＞：这两个平面的公共点，根据公理3可知，这：

:些点都在两个平面的交线上：

丽箕而而双而比二余百瓦王后床而为二'：

点也在此直线上：

2.证明三线共点的步骤

步骤一u＞（说明两条直线共面旦交于一点

牛鎏――；温而应不昂歪身而不乖而王「异五成而不】

步?罡面型类______________________________J

步骤三u＞；而囱反箍血而摭:反而前蓟三爰藤…〕

［对点训练］

1.如图所示，在正方体ABCO-AIBCIDI中，E,尸分别是囱。和的

中点，P,。分别为防和3。的中点，体对角线AC与平面EFDB交于“点，

求证：P,H,。三点共线.

证明：因为EFU平面BDFE,PGEF,

所以PW平面BDFE.

同理，QG平面BDFE,

所以P,H,QG平面BDFE.

连接4G,AC,又由正方体的性质知4Ci〃AC,

所以直线4G,AC确定平面ACG4,

又PdAiC,QGAC,H^A\C,

所以「，H,QW平面ACG4,

所以P,H,Q三点一定在平面BOFE与平面ACGAi的交线上，

故P,H,。三点共线.

2.如图，已知平面a,夕，且a06=/.在梯形ABC。中，AD//BC,且A3

Ua,COUR求证：直线AB,CD,/共点（相交于一点）.

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A

a

\B/，八

证明：•.•梯形ABC。中，

：.AB,CO是梯形ABC。的两腰，

二直线AB,CD必定交于一点.

如图，设ABCC£>=M.

又ABUa,CDU0,

：.M^a,且MCQ,...Mean民

又aCp=l,

即直线AB,CD,/共点.

9.课堂作业

1.如果A点在直线a上，而直线。在平面a内，点8在a内，可以表示为

()

A.Au。，aUa,B^aB.AW。，〃u。，B^a

C.AU。，aSa,BUaD.aRa,B^a

B[A点在直线Q上，而直线〃在平面a内，点8在a内，表示为

aUa,B《a.]

2.如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()

A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点

C.仅有两个公共点D.有无数个公共点

D[根据公理3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面

有且只有一条经过该点的公共直线.]

3.平面a,4相交，a,厂内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确

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定个平面.

解析：(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；

(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶

点和底面上的顶点.

答案：1或4

4.如图所示，在正方体ABCO-AIBCQI中，点£,口分别在棱A8,A4i

上，其中E»nCE=O,D\F,CE不平行.

求证：(1)E,F,C,功四点共面；

(2)CE,DiF,D4三线交于一点.

证明：(1)因为皮＞10。/=。，

所以直线CF确定一个平面a.

所以直线EQUa,直线CFUa.

所以E,F,C,D\四点共面.

(2)如图，连接FE.

由(1)知，E,F,C,»四点共面.

又因为。1尸，CE不平行，

所以。声与CE相交，设交点为P.

又因为尸u平面AIOIDA,CEU平面ABC。，

所以「为平面A\D\DA与平面ABCD的公共点.

又因为平面ADiOAC平面ABCD=DA,

根据基本事实3,可得PWD4,

即CE,D\F,D4相交于一点.

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10.课时作业（二十四）平面

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标]

1.（多选）下面四个条件中，能确定一个平面的是（）

A.一条直线B.一条直线和一个点

C.两条相交的直线D.两条平行的直线

CD[对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；对于

选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的

一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；对于选项C:两条相交的直线可

以确定一个平面，故选项C正确；对于选项D：两条平行的直线可以确定一个

平面，故选项D正确；故选CD.]

2.（多选）下列叙述中，正确的是（）

A.若AC,A^a,BGl,BGa,则/Ua

B.若Ada,BG/i,则aAA=A8

C.若A,B,CEa,A,B,C。,则a,4重合

D.若Ada,AG夕，BGa,Be夕，则

AD[对于选项A：直线/上有两点在平面内，则直线在平面内，故选项A

正确；对于选项B：若AWa,B。,则A,3不一定是两个面的公共点.故选

项B错误；对于选项C：若A,B,CEa,A,B,C。,当A,B,。三点共线

时，则a,夕不一定重合.故选项C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共

直线上，故选项D正确.故选AD.]

3.如果空间四点A,B,C,。不共面，那么下列判断中正确的是（）

A.A,B,C,。四点中必有三点共线

B.A,B,C,。四点中不存在三点共线

C.直线A5与CD相交

D.直线4?与C。平行

B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平

面.若四点不共面，则任意三点不共线.]

4.在正方体中，E,F,G,"分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E,

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F,G,”四点共面的是（

B[选项A,如图1,点E,F,"确定一个平面，该平面与底面交于FM,

而点G不在直线上，故E,F,G,"不共面，选项A错误；

选项B,如图2,连接底面对角线AC,则由中位线定理可知，FG//AC,又

易知则E"〃尸G,故E,F,G,"共面，选项B正确；

选项C,显然E,F,"所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面

内，故E,F,G,H不共面，选项C错误；

选项D,如图3,取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点

E,G,”确定的平面与正方体正面的交线为PQ,而点尸不在直线PQ上，故E,

F,G,”四点不共面，选项D错误.]

5.三个平面将空间不可分成部分（）

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A.4B.5

C.8D.7

B[若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，

另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交

线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7

或8部分.故选B.]

6.设平面a与平面§相交于I,直线aUa,直线aC\b=M,则

M.I.

解析：因为所以MGa,MGb,

因为“Ua,bup,所以MGa,

因为aC£=l,所以MW/.

答案：G

7.给出下列说法：

①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；

②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；

③有三个不同公共点的两个平面重合；

④两两相交且不过同一点的四条直线共面.

其中正确说法的序号是.

解析：如图，在正方体A3CD-A13C1。！中，441nAi81=4,ADHAAi

=A,

但是AO异面，故①错误.

又A4i,A\B\,交于点4,但A4i,A\B\,A1D1不共面，故②错误.

如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交,

故③错误.

如图，因为设a,共面于a,

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因为BGA,F£a,EGa,故BWa,FGa,E^a,故3产Ua即cUa,

而AGc,故Ada,故EAUa即4Ua即a,b,c,d共面，故④正确.

故答案为④.

答案：④

8.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可

以确定个平面.

解析：可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.

答案：7

9.已知△ABC的三条边AB,BC,AC所在的直线与平面a分别交于P,Q,

R.求证：P,Q,R共线.

证明：如图，•.,PWAB,A8U平面A8C,平面

ABC.

二产是平面a和平面ABC的公共点.

同理Q,R也为平面a与平面ABC的公共点，，P,Q,R在平面a与平面

A8C的交线上，即