2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)解答题专项2　三角函数与解三角形

解答题专项二三角函数与解三角形1.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,且PB⊥PC.(1)若PB=12,求PA(2)若∠APB=150°,设∠PBA=α,求tanα.2.在△ABC中,a+b=10,A=60°,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)b的值;(2)sinC及△ABC的面积.条件①:c=5;条件②:cosB=13143.已知f(x)=2sinx+π2cosx-3cos2021π2+2x(1)若x∈(0,π),求函数f(x)的值域;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2且△ABC的面积为23,当a=6时,求△ABC的周长.4.(2023陕西西安联考)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边.若sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2B-sin2C)(1)求sinC;(2)若c=3,求△ABC周长的取值范围.答案：1.解(1)由已知得∠BPC=90°,又PB=12,BC=所以∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2×3×12cos30°=(2)由已知得∠PBC=90°-α,所以PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30°-α),化简得3cosα2.解方案一:选择条件①.(1)因为c=5,cosA=cos60°=12由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即a2=b2+52-5b,又由a=10-b,代入可得(10-b)2=b2+25-5b,解得b=5.(2)由(1)可得a=10-5=5,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形,所以C=60°,可得sinC=32所以S△ABC=12absinC=12×5方案二:选择条件②.(1)因为B∈(0,π),且cosB=1314可得sinB=1-由正弦定理asinA=bsinB,所以sinA=32,即又因为a+b=10,所以a=7,b=3.(2)由sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32所以S△ABC=12absinC=12×7×3×3.解(1)由题意,函数f(x)=2sinx+π2·cosx-3cos2021π2+2x=2cos2x+3sin2x=2cos2x-1+3sin2x+1=cos2x+3sin2x+1=2sin2x+π6+1,当x∈(0,π)时,sin2x+π6∈[-1,1],所以f(x)∈[-1,3],所以函数f(x)的值域为[-1,3].(2)由(1)可得f(A)=2sin2A+π6+1=2,所以sin2A+π6=12.因为A∈(0,π),可得2A+π6∈π6,13π6,所以2A+又由S△ABC=12bcsinA=23,可得bc=8由余弦定理,得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,因为a=6,所以b+c=215所以△ABC的周长为6+2154.解(1)∵sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2B-sin2C由正弦定理得absinC=32(a2+b2-c2)=3abcosC∴tanC=3∵C为锐角,∴C=π3,∴sinC=(2)设△ABC的外接圆半径为R.由2R=csinC=332∴△ABC的周长为a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=2sinA+sinB+32.sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA