广东省汕头市潮南区陈店镇2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023～2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷（V）说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上．一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选：A【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.下列条件中，不能判断为直角三角形是（）A.，， B.C. D.【答案】B【解析】【分析】用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D．【详解】解：A、∵，∴是直角三角形，不符合题意；B、设，∵，∴不是直角三角形，符合题意；C、∵，，∴，解得：，∴是直角三角形，不符合题意；D、设，则，解得：，∴，∴是直角三角形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形那是直角三角形，以及三角形的内角和为．3.正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：设正方形的对角线为x，∵正方形的面积是4，∴边长的平方为4，∴由勾股定理得，x＝＝2．故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4.下列各式成立的是()A.=2 B.=-5 C.=x D.=±6【答案】A【解析】【详解】分析：根据算术平方根的定义判断即可．详解：A．，正确；B．，错误；C．，错误；D．，错误．故选A．点睛：本题考查了算术平方根问题，关键是根据算术平方根的定义解答．5.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形【答案】B【解析】【详解】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形对角线垂直但不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．6.在直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边上的中线长是（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理直接得出斜边长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可．【详解】解：∵直角三角形两直角边的长分别为3和4，∴斜边长=，∴斜边上的中线长是故选：B．7.大小在和之间的整数有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】先估算和的值，即可求解．【详解】解：∵，，∴在和之间的整数只有2，这一个数，故选：B．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．8.1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB延长线于点F，则BF的长为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．9.如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于（）A.25° B.30° C.50° D.60°【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．【详解】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的性质．10.如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴．∴．又∵，∴BC·AE=24，即．故选D．点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．12.在平面直角坐标系中，点的坐标为线段的长为____________________.【答案】5【解析】【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】解：由点的坐标、勾股定理得．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．13.如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点，若厘米，的周长是21厘米，则________厘米．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分推出厘米，进而根据三角形周长计算公式得到厘米，再由三角形中位线定理即可得到厘米．【详解】解：∵的对角线相交于点O，∴，∵厘米，∴厘米，∵的周长是21厘米，∴厘米，∴厘米，∵点E，F分别是线段中点，∴是的中位线，∴厘米，故答案为：4．14.已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________．【答案】3【解析】【详解】解：∵与是同类二次根式，即被开方数相同，∴2a-4=2，解得a=3．故答案为：3．15.如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点，∵与关于对称，∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，∵正方形，点为对角线的交点，∴，∵与关于对称，∴，∴，在中，，即：的最小值为．故答案为：．【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．三、解答题（一）（每小题6分，共24分）16.计算：【答案】【解析】【分析】先化简二次根式，能合并的合并，再做除法．【详解】解：原式=，=，=．【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握二次根式的运算，注意运算顺序是解题的关键．17.如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角，求梯子的顶端离地面的距离的值．【答案】梯子的顶端离地面的距离的值为【解析】【分析】本题考查饿了勾股定理，根据勾股定理计算即可得出答案，熟记勾股定理是解此题的关键．【详解】解：由题意得，，梯子的顶端离地面的距离的值为．18.如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=FD，∴BC-BE=AD-FD，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．19.如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的周长．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形性质，直角三角形的性质以及勾股定理，先根据矩形性质得出，，结合，得出，运用勾股定理列式进行计算，即可作答．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，矩形的周长是．四、解答题（二）（每小题7分，共21分）20.先化简，再求值：已知，试求的值．【答案】原式，当时，原式.【解析】【详解】试题分析：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值．试题解析：,当时，原式.21.计算：如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上．（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；（2）求点C到边的距离．【答案】（1）不是，见解析；（2）；【解析】【分析】（1）根据勾股定理在网络图直角三角形中，求三角形三边的平方，根据勾股定理逆定理判断是否构成直角三角形；（2）由面积法：运用组合图形求出三角形面积，利用三角形面积公式构建方程求解．【小问1详解】不是；如图，由勾股定理，，，∴∴三角形不是直角三角形．【小问2详解】如图，∵∴设点C到边的距离为,则，解得【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，组合图形求面积，观察图形，确定合适的直角三角形运用勾股定理是解题的关键．22.如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．∴ABCD，∴∠EAB=∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)；【小问2详解】证明：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∴DC=CF，又∵CE=CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE=CG，∴BC=EG，又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．五、解答题（三）（每小题10分，共30分）23.观察下列运算：由，得；由，得；由，得；…（1）通过观察得___________；（2）利用（1）中你发现的规律计算：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案；（2）根据对原式进行裂项，得到，由此求解即可．【小问1详解】解：；；；……∴可以得到规律，故答案为：；【小问2详解】解：∵，∴．【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解．24.如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．（1）求证：；（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）菱形，理由见解析（3）6【解析】【分析】（1）先证明，，再根据证明，从而可得结论；（2）先证明四边形是平行四边形，由，是斜边的中线，可得，从而可得结论；（3）先由勾股定理得，再根据即可求解．【小问1详解】为中点，．在和中，，，，为中线，，；【小问2详解】四边形的形状是菱形，理由如下：，，四边形是平行四边形，，，为中线，，平行四边形是菱形；【小问3详解】由（2）知，∵，由勾股定理得：，答：四边形的面积为6．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．25.如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．（1）当时，求证：；（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．【答案】（1）见解析（2），见解析（3）【解析】【分析】（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；（2）延长CB至M，使，连接