广东省清远市英德市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023学年第二学期初中期中学生发展素养监测活动八年级数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（）A.航天神舟 B.中国行星探测C.中国火箭 D.中国探月【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．2.下面各数中，是不等式的解的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．【详解】解：A、，故选项不符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，故选项不符合题意；D、，故选项符合题意；故选：D．3.如图，在中，，，若，则的度数为（）A.35° B.55° C.65° D.90°【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一可得答案．【详解】解：，，，故选B【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的性质”是解本题的关键．4.公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解．【详解】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是．故选：B5.如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（）A.9 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案．【详解】解：如图，过作于，∵，是的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴点到的距离为4．故选D6.如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解．【详解】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，，∴；故选：B．7.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；B、∵，∴，故本选项不符合题意；C、∵，∴，故本选项符合题意；D、∵，∴，∴，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．8.如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（）A.点A与点是对称点 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可．【详解】解：与关于点成中心对称，点与点是对称点，，，，，正确，故选：D．9.如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质．根据一次函数的性质得出随的增大而增大，当时，，即可求出答案．【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大，当时，，即，不等式的解为．故选：B．10.如图，、是网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为，以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理的应用，分两种情况：①，②，找出符合的点即可．掌握网格结构的特点是解题的关键．【详解】解：∵网格中的每个小正方形边长都为，∴，当时，得：，，，，，长都是：，∴以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个；当时，得：，，，，，的长都是：，∴以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个；综上所述，以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.“与4的和是正数”，用不等式表示为_____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可．【详解】解：根据题意得：用不等式表示为．故答案为：12.在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【详解】根据题意，从点A平移到点，横坐标是，故点的坐标是故答案为：．13.如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于__________度．【答案】40【解析】【分析】本题考查了旋转的相关概念，要求学生能找出旋转过程中的旋转中心和旋转角等，对学生的空间想象能力有一定的考查，涉及到了数形结合的思想，利用旋转的性质，进行求解即可．【详解】解：由旋转中，点的对应点为它本身，因此可以判定旋转中心是点；又，，∴，∵点D在斜边上∴旋转角为．故答案为：40．14.如图，在中，，，是腰上的高，则的长为_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质．由，，可知，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：，，，，又是腰上的高，即，，故答案为：．15.如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴的最小值为的值，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：．17.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，求的度数.【答案】.【解析】【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．【详解】解：∵，，∴.∵垂直平分，∴，∴，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18.请补充完成以下证明过程：如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且．求证：．证明：为等边三角形，（已知），（）（）（已知）（）．（）【答案】等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【详解】证明：为等边三角形，（已知），（等边三角形的性质）（等边三角形的性质）（已知）（）．（全等三角形的性质）故答案为：等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．小明：它的所有解为非负数；小华：其中一个不等式的解集为；小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．【答案】这样的不等式组很多，如或其解集为【解析】【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，∴其中一个不等式的解集必为，∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，∴其中一个不等式中系数为负数，∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．解不等式①，得：，结合不等式②的解集知．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一．20.如图，已知村庄A，B分别在道路、上．（1）尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）作图的基础上，连接、，过D作，，垂足分别为点E和点F，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查基本作图（线段的垂直平分线、角平分线）以及它们的性质．（1）根据要求分别作出的角平分线和线段的垂直平分线即可，（2）根据线段垂直平分线性质可得，角平分线的性质可得，进而证明，即可得出结论．【小问1详解】解：如图所示：是的角平分线，是线段的垂直平分线，与交于点D；【小问2详解】证明：如图，∵是线段的垂直平分线，∴，又∵是的角平分线，，，∴，∴∴21.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形．（1）写出各顶点的坐标；（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）过B作于C，根据三线合一可得，再根据勾股定理求出的长度，即可得出点B的坐标；（2）先根据图象，画出图形，可得与B重合，求出点坐标即可．【小问1详解】如图1，过B作于C，∵是等边三角形，且，∴，由勾股定理得：，∴；【小问2详解】如图2，∵，∴与B重合，∴，由旋转得：，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22.小高和小新兄弟俩进行100米赛跑，哥哥小高先让弟弟小新跑12米，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑4米，哥哥每秒跑5米．（1）分别列出小高、小新赛跑时所跑的距离s1、s2与弟弟赛跑时间t的函数关系式，并画出函数图象．（2）何时弟弟跑在哥哥的前面？（3）谁先跑过50米？谁先到达终点？【答案】（1）s1＝5t−15，s2＝4t；图见解析（2）当t＜15时，弟弟跑在哥哥的前面（3）小新先跑过50米，小高先到达终点．【解析】【分析】（1）根据题意可以分别写出s1、s2与t函数关系式，并画出函数图象；（2）由弟弟跑在哥哥的前面，可得s2＞s1，从而可以解答本题（3）根据s1、s2与t的函数关系式，即可解答本题．【小问1详解】解：由题意可得，s1＝5（t−）＝5t−15，s2＝4t，即s1、s2与t的函数关系式分别是：s1＝5t−15，s2＝4t；函数图象如图：【小问2详解】4t＞5t−15，解得，t＜15，答：当t＜15时，弟弟跑在哥哥的前面．小问3详解】s1＝5t−15＝50，解得t＝13，s2＝4t＝50，解得t＝12.5，12.5＜13，∴小新先跑过50米，s1＝5t−15＝100，解得t＝23，s2＝4t＝100，解得t＝25，23＜25，∴小高先到达终点．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．23.在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．（1）如图1，当时，则______°；（2）当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．【答案】（1）100；（2）①时等边三角形，证明见解析；②．证明见解析．【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．【小问1详解】解：∵点为线段，的垂直平分线