广东省揭阳市榕城区片区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023-2024学年度第二学期第一次质量检测八年级数学科试题满分120分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（）A.航天神舟 B.中国行星探测C.中国火箭 D.中国探月【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．2.若，则下列不等式中，成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的基本性质，当不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不改变；当不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．关键在于对不等式3条基本性质的掌握和熟练应用，继而判断出能够成立的不等式．【详解】A：∵，∴，故不正确，不符合题意；B：∵，∴，故正确，符合题意；C：∵，∴当时，，故不正确，不符合题意；D：∵，∴，，故不正确，不符合题意．故选：B．3.在数轴上表示不等式的解集，正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质1，在不等式两边同时，即可得到不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，即可得出结果，本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集．【详解】解：，解得：，不等式的解集在数轴上表示如下：选项符合，故选：．4.已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长等于（）A.17 B.22 C.17或22 D.13或17【答案】B【解析】【分析】本题考查等腰三角形和三角形的三边关系．分腰长为4和腰长为9，两种情况进行讨论求解即可．讨论时要注意三边能否构成三角形．【详解】解：当腰为4时，，不能构成三角形，不符合题意；∴腰长为9，∴等腰三角形的周长为：；故选B．5.如图，在中，则（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，根据题意，，得到，根据勾股定理，得，选择即可．【详解】∵，∴，∴，故选B．6.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（）A.每一个内角都大于60° B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60° D.有一个内角小于60°【答案】A【解析】【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．故选：A．7.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质等知识点，熟记旋转的性质是解题关键．先根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】，，由旋转的性质可知，，．故选：A．8.一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（）A.15道 B.14道 C.13道 D.12道【答案】C【解析】【分析】本题考查一元一次不等式实际应用．设乐乐答对的题数为道，根据乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，列出不等式进行求解即可．正确的列出不等式，是解题的关键．【详解】解：设乐乐答对的题数为道，由题意，得：，解得：，∴他至少要答对的题数是13道；故选C．9.如图，在中，，以顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作射线交边于点．若，则的面积是（）A.30 B.24 C.15 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的作法和性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由作法可知，平分，结合角平分线的性质定理，得到，即可求出的面积．【详解】解：如图，过点作于点，由作法可知，平分，，，，，，的面积,故选：C．10.如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（）A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点．证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④．【详解】解：①是等边三角形，，，，，，在和中，，，，故①正确；②如图，作交的延长线于，作于，，，，为的角平分线，，，又，，，，，，在和中，，，，，，，由①知，，，，，即，在和中，，，，，，即，是等边三角形，，故②正确；③由②知，，若，则，从而，这与相矛盾，故③错误；④，，，即，，，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①②④，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.“x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：______．【答案】2x-3≥0【解析】【分析】先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0．【详解】解：由题意得：2x-3≥0．

故答案为2x-3≥0．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．12.已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为______.【答案】12【解析】【详解】解：∵AB=AC=4，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC="AB=AC=4，"∴△ABC周长为12．故答案为12.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．13.若二次根式有意义，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，

解得．

故答案为：．14.如图，在Rt△ABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若BAE=50，则=_______．【答案】20°【解析】【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=40°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=50°，∴∠BEA=40°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴∠C=∠EAC．∵∠BEA=∠C+∠EAC，∴∠C=20°．故答案为20°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠C=∠EAC是解决此题的关键．15.已知不等式组的解集为，则的值为_____【答案】1【解析】【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出a，b的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式组的解集为：，该不等式组的解集为，，，，，，故答案为：1．16.如图，等边的边长为是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点．若，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】连接BM，取AC中点F，连接BF，则当B、M、E三点共线时，EM+CM最小，且最小值为线段BE的长，在直角△BFE中即可求得BE的长．【详解】连接BM，取AC中点F，连接BF，如图，则当B、M、E三点共线时，EM+CM最小，且最小值为线段BE的长∵F为AC中点，△ABC为等边三角形∴，BF⊥AC∴在Rt△BFA中，由勾股定理得：在Rt△BFE中，由勾股定理得：即CM+EM的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，连接BM从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．三、解答题（一）（本大题共5小题，第17、18题各题4分，第19、20题各题6分，第21题8分，共28分）17.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可．【详解】解：去括号得，移项，得合并同类项得，系数化1得，．18.如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，根据题意得到，再证明，得到即可求证，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：，，∴，∵P是的中点，∴，在和中，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．19.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，见解析【解析】【分析】分别求解不等式组中每一个不等式解集，再根据“大大同大，小小同小，大小小大，中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集，再用数轴表示不等式的解集即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式组的解集为，其解集在数轴上表示如下，【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握根据不等式确定出不等式组的解集是解题的关键．20.上午8时，一艘船从港口A出发，以15海里时的速度向正北方向航行，10时到达海岛处，从两处望灯塔，分别测得，若该船从海岛继续向正北航行，求船与灯塔的最短距离．【答案】船与灯塔C的最短距离15海里．【解析】【分析】本题主要含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握性质是解题的关键．作于点D，根据题意得出海里，当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为的长度，易证，进而可以求得．【详解】解：作于点D，根据题意得，（海里），当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为的长度，∵，∴，∴（海里），∴（海里），∴船与灯塔C的最短距离15海里．21.如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（1）平移，使点B移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；（2）画出关于原点O对称的；（3）线段的长度为___________．【答案】（1）画图见解析，点，．（2）画图见解析（3）【解析】【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．（1）作出A、C的对应点、即可解决问题；（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点、、即可；（3）利用勾股定理直接计算即可．【小问1详解】解：平移后的如图所示，点，．【小问2详解】解：关于原点O对称的如图所示．，【小问3详解】解：∵，，．故答案：四、解答题（二）（本大题2小题，每小题10分，共20分）22.淄博烧烤以“当好东道主，热情迎嘉宾”的经营理念火了之后，某知名烧烤店计划购买A，B两种食材尝试制作新样式的烧烤．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该烧烤店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】（1）A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少为1272元【解析】【分析】（1）设A种食材的单价为元，B种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，根据题意列出一元一次不等式求出A种食材的取值范围，再根据（1）中单价列出总费用的关系式求解即可．【小问1详解】解：设A种食材的单价为元，B种食材的单价为元，根据题意得，，解得，．答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元．【小问2详解】解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，根据题意，，解得：，设总费用为元，根据题意，，，随的增大而增大，当时，最小，此时，最少总费用为：（元）．答：A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少为1272元．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际问题、一元一次不等式的实际问题及一次函数的性质，准确找到数量关系列出方程组、不等式和一次函数是解题的关键．23.如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线：交于点A．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）直接写出关于x的不等式的解集；（3）若D是直线上的点，且的面积为12，求点D的坐标．【答案】（1），，（2）（3）或【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标，求两直线的交点坐标等等：（1）令直线中求得C点对应的坐标；令直线中得B点对应的坐标；联立两条直线即可解得点A的坐标；（2）找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可；（3）利用直线的关系设点D的横纵坐标，结合的面积即可求得坐标；【小问1详解】解：解方程组得，∴点A的坐标为，对于，当时得；当时，，∴点B、C的坐标分别为，．【小问2详解】解：∵不等式的解集对应到图象上为直线图象在直线图象上方时自变量的取值范围，∴由函数图象可知，不等式的解集为．【小问3详解】解：设点D的坐标为，∵，∴，∵的面积为12，∴，解得，∴点D的坐标为或．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）24.已知关于x，y的方程组．（1）若该方程组的解满足，求m的值；（2）若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值．【答案】（1）2023（2）（3）【解析】【分析】（1）方程组中的两方程相加并整理可得，结合已知可得关于m的方程，解方程即可求出答案；（2）先解方程组求出方程组的解，进而可得关于m的不等式组，再解不等式组即可求出答案；（3）先解已知中的不等式得出m的一个范围，结合（2）的结果可得m总的范围，根据m为整数即可得到答案．【小问1详解】解：方程组中的两方程相加得：，即,∵，∴，∴；【小问2详解