北京大学数学系《高等代数》考点讲义

目录 第一章多项式 4第二章行列式 13第三章线性方程组 19第四章矩阵 25第五章二次型 31第六章线性空间 35第七章线性变换 40第八章λ－矩阵 43第九章欧氏空间 44绪论一、高等代数在数学课程体系中的地位和作用2．高等代数是数学相关类专业的研究生入学考试的必考课程，初步统计近三年全国数百所高校的889个专业都将高等代数作为考研必考的专业基础课．3．高等代数重点研究一般对象的结构，将诸多数学结构进行抽象，统一表达为线性空间、线性变换、欧氏空间等抽象结构，从而使它成为数学中的语言．4．高等代数的一般性、抽象性的特点，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力有重要作用．2．主要手段：线性变换—矩阵；4．局限性： (1)线性空间(线性变换)在域上定义，限制了它的应用范围．如果将域一般化为环，即研究环上 (2)线性空间缺乏度量性质，若考虑几何度量，即产生欧氏空间理论，考虑距离度量，即产生距离室代数小组编．1．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点．2．全国采用该教材的学校所占比例非常大．3．该教材荣获全国高等学校优秀教材．纵观近几年名校高代考研真题，有以下特点：之间．这些特点表明，各校的考研题注重综合性和灵活性．2．从内容看，考察的热点有： (1)矩阵理论．中山大学2012年考题中，12道题中有8道题分别考察了矩阵的行列式、矩阵的特征值和特征向—2—量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概念，分值占到150分中的105分．厦门大学2012年考题中，16道题中有10道题考察了矩阵的相关概念和理论．中科院研究生院2012年考题中，8道题中有5道题考察了矩阵的相关内容． (2)线性空间和线性变换理论．南开2012年试题中，9道题中有4道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到150分中的70分． (3)多项式理论．多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到150分的15分至25分，但这部分内容是各校考试题中的必考内容．3．从方法看，考察的热点有： (1)矩阵的初等变换方法； (2)特征值和特征向量方法； (3)标准正交化方法； (4)子空间直和的判定方法．4．发展趋势 (1)题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用知识解决问题的能力．但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． (2)考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． (3)注意新的概念和新的理论的出现．中山大学2001年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． (4)反问题的讨论． xx高等代数考研辅导第一阶段分为三部分：提炼数学思想和方法，利用典型例题来阐述如何运用基本理论和知识去分析问题、解决问题的方法．每个章节具体辅导内容： (1)本章考情分析：常考题型，分值分布，本章重点，本章难点． (2)本章考点之间联系，复习思路． (3)本章要点精讲．—3— (4)本章技巧点，方法点的总结，包括难题选讲．空间理论(包括线性变换和欧氏空间)． (1)精选习题：a)选取名校近年的考研真题；b)选取有一定难度的考研真题；c)选取综合性强的真题；d)选取的真题要达到足够的量，以保证对重要知识点的覆盖面； (2)注重总结方法； (3)注意总结分类．通过前两轮的复习，在临近考试前期，对之前的考点进行系统的串讲．从而使考生查漏补缺，整体最后冲刺．—4—第一章多项式本章是以多项式为重点展开的，多项式是高等代数的重要组成部分，它相对独立、自成体系，但为高等代数的后续内容提供了理论依据．同时也是编码、密码等重要应用领域的数学工具．常考题型：基本以证明题出现．分值分布：分值不等，有10分，15分，甚至有20分的综合题．本章重点：本章对多项式理论进行了深入、系统、全面的论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，考研以一元多项式为主．一元多项式理论可归纳为四个方面：一般理论、整除理论、因式分解理论、根理论．本章的重点是多项式的整除与因式分解理论．整除是本章的基础．在多项式理论中，最基本的结论有：带余除法、最大公因式表示定理、两个多项式互素的充要条件、因式分解唯一性定理．而贯穿本章的是将多项式分别在复数域，实数域及有理数域上分解成不可约多项式的乘积．至今没有解决的问题是将整系数多项式能否分解成两个次数都比它低的整系数多项式的乘积．在复习的过中，要重点把握这两个重点和四个结论．本章难点：1．关于两个多项式的最大公因式证明的习题有一定难度，可以利用习题中的第8题作为定理，它在证明最大公因式的问题中会有很好的效果．2．关于两个多项式互素的证明，也有较大的难度，可以充分利用定理3．3．关于整除性的证明，既是重点，也是难点．要注意应用根理论、因式分解和相关性质来解决这一问题．—5—技巧．2)本章的特点之一是与中学教学联系比较密切，例如多项式的运算及运算律，多项式的求根，多项式的因式分解．因而要熟悉中学教学中有关多项式的运算、技巧和结论．3)特点之二习题难度较大，证明题较多，为突破这一难点，一方面多作些例题，另外讨论一些抽象的问题时，先考虑具体的简单的情况．【3－1】证明：有理数的全体构成数域，而且是最小的数域(或任何数域包含有理数域)．由素数有无穷多个，所以数域有无穷多个．则H构成数域．【3－5】不构成数域的例子：思路提示：多项式的定义、运算、次数等概念．【3－7】设f(x)是一个多项式，证明f(x)＝kx(k为常数)的充分必要条件是f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．2)在复数域上，上述命题是否成立？证明： 思路提示： Qxg(x)不能整除f(x)，—6— (2)如果f(x)与g(x)在Q[x]中互素，思路提示：整除、范德蒙行列式、n次根、根与一次因式的关系．那么f1(1)＋εf2(1)＋ε2f3(1)＋…εn－2fn－1(1)＝0|f1(1)＋ε2f2(1)＋(ε2)2f3(1)＋…＋(ε2)n－2fn－1(1)＝0f1(1)＋εn－f1(1)＋εn－1f2(1)＋(εn－1)2f3(1)＋…＋(εn－1)n－2fn－1(1)＝0以上关于f1(1)，f2(1)，…，fn－1(1)的齐次线性方程组的系数行列式为111ε2εεε2ε (ε2)2 εε (ε2)n－2 ≠0n－1【3－11】(云南大学研究生入学试题)思路提示：整除、根与因式的关系、互素的性质．【3－12】(中国人民大学期末试题)若(x－1)f(xn)，问是否必有(xn－1)f(xn)？—7—思路提示：整除、根与因式的关系、变量代换．xf2(x)互素．xgxfxgxgxf(x)|g－g2(x)．要点3．4因式分解理论：不可约多项式、因式分解、重因式、实数域和复数域上的多项式的因式分解、有理系数多项式的不可约判别．＋1在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方．思路提示：如果f(x)在有理数域上不可约，则结论成立．如果f(x)在有理数域上可约，则f(x)可以写成两个次数比它低的整系数多项式的乘积．fxfxnfxn证明f(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－an)－1在有理数域上不可约．【3－15】(大连理工大学，2004)设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根．思路提示：有重因式，与f(x)不可约矛盾．于是f(x)没有重因式，所以f(x)的根都是单根．【3－16】(首都师大研究生入学试题) (1)f(x)在复数域上没有重根； (2)f(x)在有理数域中不可约．思路提示： (1)容易验证(f(x)，f′(x))＝1，所以f(x)在复数域上没有重根． (i)p不能整除1； (iii)p2不能整除p！．由Eisenstein判别法，p！f(x)在有理数域上不可约，于是f(x)在有理数域上不可约．【3－17】(南京大学，1997)F是任意一数域，f(x)是F上的一元多项式，首项系数为a，次数为n，证明f′(x)|f(x)当且仅当存在b∈F，使f(x)＝a(x－b)n．思路提示：如果f(x)＝a(x－b)n，f′(x)|f(x)，fxfxfxfxdfx，其中d是f′(x)首项系数的倒数，要点3．5多项式的分析理论：多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数关系．【3－18】(西北大学研究生入学试题)设f(x)为满足下列条件的次数最大的整系数多项式．②f(x)恰有n个不同的有理根；试求f(x)的次数n及所有根．思路提示：由有理系数多项式有理根的求法知，可能的有理根只能是±1，±p，由②f(x)＝(x－1)(x＋1)(x－p)(x＋p)．从而f(x)的次数为4，有理根是±1，±p．【3－19】(华东师大，1997)证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根的充分必要条于是—9—利用上述方法同样可以找出f(x)，使＝f(α)． (1)利用定义； (2)证明等式两边能互相整除； 的一个最大公因式．【4－1】(上海交通大学，2004)假设f1(x)与f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，假设x4＋x2＋1整除f1(x3)＋x4f2(x3)试求f1(x)与f2(x)的最大公因式．于是有方程组解方程组，f1(1)＝f2(1)＝0，f1(－1)＝f2(－1)＝0，fxxxfx而f1(x)与f2(x)是互异的次数不超过3的多项式，x【4－2】(兰州大学，2004)设f1(x)与f2(x)是数域F上的两个不完全为零的多项式，试证： (1)I关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的h(x)∈I和任意的k(x)∈F[x]，有 )容易证明，略； ，则I0是非负整数的一个子集，由最小数原理，I0中存在最小数，也就是说，I中存在次数最小的首项项式， (1)利用定义； (2)反证法； x而【4－4】(首都师大研究生入学试题)设f(x)，g(x)∈Q[x]． 思路提示：互素的充要条件． (1)利用定义； (2)反证法； (3)根方法； (4)因式分解法．【4－5】(华东师大，1996)已知f(x)，g(x)是数域P上的两个一元多项式，k是给定的正整数，求 思路提示：整除、多项式的因式分解．其中pi(x)是首项系数为1的互不相同的不可约多项式，gx4．4有理系数多项式不可约的判定与证明的方法有： (1)利用定义； (2)艾森斯坦判别法； (3)反证法； (4)有理根方法．解取p＝3，应用艾森斯坦判别法即可．fixQxfxf(x))，(f2(x))＜(f(x))．比较系数得〈j1j2…jn第二章行列式本章主要讨论行列式的概念、计算和应用．行列式是高等代数的基本概念，也是讨论线性方程组、矩阵、二次型和线性空间理论的重要工具．行列式是研究生考试的必考内容之一．常考题型：主要以证明题或计算题的形式独立出现，也常常出现在其他部分的考查内容中．本章重点：1．利用行列式性质计算行列式(行列式的初等变换)．2．利用行列式按行(列)展开定理计算行列式(降阶法)．本章难点：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．2)n级行列式aaaD＝DT．4)用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行(列)的所有元素，或行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．5)如果行列式中有两行相同，那么行列式为零．6)如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．7)对换行列式中两行的位置，行列式反号．8)把一行的倍数加到另一行，行列式不变．9)aanna1a2abna＋aacna其中Aij是元素aij的代数余子式．11)(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n－1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．1)熟练掌握初等变换和降阶法；2)分析特点，总结方法；3)掌握技巧，灵活应用．n00:0n－1000:00…0…2:…0…0…010:0000:00n n1x→0－1x→0－x2x231行列式行列式1n111D＝Dn111－x1x20…00nDn＝0－x2x3…00，其中Πxi≠nxnxnf1(a1)f2(a1) fn(a1)f1(a2)f2(a2) fn(a2)f1(an)f2(an)…fn(an)不超过n－2”是不可缺少的．Δ＝anaaa1 a－11 a－n1nnD要点3．3行列式按行(列)展开01101100110anacn．．bndn【3－11】(厦门大学)设22n≥i＞j≥1证明：f(x)有重根的充要条件是Δ＝snsn仅有零解．200200nnDD200200nnDD几种常见的行列式计算方法：1．化三角形法：利用行列式的性质，将行列式化成上(下)三角行列式．x444…41x22…212x2…2D＝Dn122x…21222…xDDk列式化成较低阶的列222000200000nx＋1xx…xxx2x…xxxx…x＋nbbbabba…aa…ax3…ab…xn其中f(其中f(＝nz000yz000y00000z000y德列式列式11111n3n3n3n3nn3112n2n32nnnnnnn3第三章线性方程组线性方程组理论是数学各分支的重要基础，在许多领域有广泛的应用．本章主要讨论线性方程组有解的判别条件、解的个数、求解方法以及解的结构等内容．线性方程组理论是研究生考试的主要内容之一．常考题型：主要以计算题形式出现，也有部分证明．分值分布：分值不等，有10分，15分，或20分．本章重点：三个中心问题，如何求解？如何判定有解？解的结构如何？三种解决方法．1．求解线性方程组的基本方法—消元法(矩阵的初等变换法)，即对线性方程组的增广矩阵施行初等变换化为阶梯形矩阵求解．2．线性方程组有解的判定方法：通过引入向量的线性相关、秩与极大线性无关组、矩阵的秩等概念，给出了线性方程组有解的充要条件．3．利用向量空间的概念研究了线性方程组解的结构．本章难点：1．本章的难点之一是线性相关性的概念，它相对抽象，对逻辑推理要求较高．2．本章的难点之二是含参数的线性方程组的求解，因为它综合考查矩阵的秩的确定，线性方程组解的情况的判定，求解方法及解的结构．2)矩阵的秩—矩阵的秩＝矩阵行(列)向量组的秩，即矩阵的行(列)秩＝不为零的子式的最大级数，初等变换不改变矩阵的秩，用初等变换计算矩阵的秩．3)线性方程组的解的情形①线性方程组有解的判定：有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等．②线性方程组解的个数：当秩(A)＝秩(A)＝n，方程组有唯一解；当秩(A)＝秩(A)＝r＜n，方程组有无穷多解．AnArn，方程组有非零解．4)线性方程组解的结构①齐次线性方程组的基础解系．—20—③当秩(A)＝秩(A)＝r＜n时，非齐次线性方程组的任一个解γ都可以表成γ＝γ0＋k1η1＋k2η2＋…－r．1)总体思路：以线性方程组的消元法(矩阵的初等变换法)为基本方法，围绕如何求解、如何判定有解和如何把握解的结构等中心问题，以向量、向量空间、秩与极大线性无关等概念为工具，解决线性方程组相关问题．2)向量组线性无关判定思路：x＋…＋xsαs＝0只有零解一有解与向量的线性表示互相转化，会给解题带来一些方便．【3－1】求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：—21—3】设A是数域P上的n阶方阵，证明：【3－5】(首都师范大学)设A为n阶矩阵，证明：R(AA′)〗≥2R(A)－n，并给出等号成立的一个充分条件．示：等号成立的一个充分条件为：A满秩．证明： nr线性无关． (2)ξ0，ξ0＋η1，ξ0＋η2，…，ξ0＋ηn－r为AX＝b的n－r＋1个线性无关的解向量． (3)方程组AX＝b的任一个解γ，都可表成γ＝k0ξ0＋k1(ξ0＋η1)＋k2(ξ0＋η2)＋…＋kn－r(ξ0＋ηn－r)，【3－7】(南开大学2012)设向量组α1，α2，…，αm(m＞2)线性无关． 向量组的秩与极大线性无关组组，并用极大无关组中的向量表示其余向量．当λ为何值时方程组有： (1)唯一解，并求其解；—22— (2)无穷多解，此时请用对应的齐次线性方程组的基础解系表示所得到的一般解；(3)无解．定证明：A′AX＝A′b一定有解．【3－14】(东南大学，1998)对非齐次线性方程组AX＝b，下面的结论是正确的． (1)若AX＝0只有零解，则AX＝b有唯一解． (2)若AX＝0有非零解，则AX＝b有无穷多解． (3)若AX＝b有无穷多解，则AX＝0只有零解． (4)若AX＝b有无穷多解，则AX＝0有非零解．本章主要方法：1．用消元法解线性方程组，利用方程组的增广矩阵的初等变换解方程组的方法．2．向量组线性相关性的判定法．【4－2】问下列向量组是否线性相关？ 23—「a「a3．向量组极大线性无关组的求法． (一般用消元法：将向量按行构成矩阵，对矩阵用初等列变换化为阶梯形矩阵) (将向量按列构成矩阵，对矩阵用初等变换化为阶梯形矩阵)秩和一个极大无关组．b…b]aa…bb…b」 (n≥2)6．齐次线性方程组(导出组)基础解系的求法． (先求系数矩阵秩判断基础解系含解的个数，再解同解方程组，求出基础解系)b有非零解，并求相应的基础解系．7．非齐次线性方程组解的公式求法． (先求特解，再求导出组的一般解)8．线性方程组有解(即相容)的判别法． (利用系数矩阵与增广矩阵的秩进行判别)【4－7】判别下列方程组是否有解—24—9．用线性方程组理论计算行列式．证明：a…a1n]为一实数域上的矩阵．…为一实数域上的矩阵．…a2n…a」j≠ij≠i—25—第四章矩阵矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多其它科学领域的重要工具，它有着广泛的应用．矩阵理论是研究生考试的主要内容之一．常考题型：主要以证明和计算题的形式出现．，占本章重点：1．本章的重点是掌握矩阵的运算以及它们的运算规律．由于矩阵的运算和熟知的数的运算规律有些是相同的，但也有许多不同之处，这些不同之处正是易犯错误的地方．2．伴随矩阵是为计算逆矩阵而引入的，但在具体求逆矩阵时，伴随矩阵法只对2阶矩阵较方便，对2阶以上的矩阵利用初等变换法求逆矩阵更方便．在涉及伴随矩阵的有关计算和证明时，往往利用AAAAAE来推证及化简．3．利用初等矩阵及分块初等矩阵可以将对矩阵和分块矩阵的初等变换转换为矩阵的乘法运算，这对于解决一些涉及矩阵的理论和计算题很有用，但推理过程有一定的技巧．本章难点：本章的难点之一是有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，它常常和向量组的秩、线性方程组的解和矩阵的运算等相联系，推证有一定的难度．熟记关于矩阵的秩的一些结论，对有关问题的论证会有很大的帮助．—26—\0\0要点3．1矩阵及其运算【3－1】设α为3维列向量，若α′＝1α′＝1AA；A＝λ1λ2…λnf(B)＝P－1f(A)P＝f(A)求n阶方阵A的k次幂常采用如下一些方法：法；2．利用二项展开公式A＝F＋G；3．利用矩阵乘法结合律：若矩阵A可分解为αβT，其中α，β是列向量，则有Ak＝(αβT)k＝α (1(2l0ll0l要点3．4矩阵可逆性的判别及逆矩阵的求法可逆矩阵的性质(设A，B是n阶可逆矩阵)—27—))))矩阵可逆的条件A非退化一A是满秩阵一A可表示成若干个可逆阵的乘积一A可表示成若干个初等阵的积一(A：E)→(E：A－1)一A的列向量组线性无关(列满秩)一任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一)一A没有零特征值求逆矩阵的方法方法2初等变换法：(A：E)→…→(E：A－1)(初等行变换)方法3分块对角矩阵求逆2\2\nn\\AE4阶单位阵，—28—(000\000k00 (1)试计算E＋AB，并指出A中元素满足什么条件时，E＋AB为可逆矩阵． (2)当E＋AB可逆时，试证明(E＋AB)－1A为对称矩阵．Ak数λ，证明矩阵λE－A与E－λA同时可逆或同时不可逆，这里E为n阶单位阵．矩阵方程是含未知矩阵的等式，求解矩阵方程时，往往先做恒等变形，再代入已知条件求解．不要一步就代入已知数据，那样会使运算复杂化，费时易错．化简时要正确把握矩阵的有关重要公式和性11\111\1与证明但对于n≥3的情形，直接用定义求伴随矩阵是比较麻烦的．涉及伴随矩阵的计算与证明一般都是从公式AA*＝A*A＝AE及伴随矩阵的有关结论着手分析．A对于抽象矩阵求秩，常利用矩阵秩的如下结果： —29— (1)证明B可逆； 本章的复习思路：注重矩阵和其它章知识的联系． A′B＝－1； (2)A′B有特征值－1； (3)A＋B＝0．求证C也是正定矩阵．2．关于矩阵的秩的等式或不等式其中R(X)表示矩阵X的秩．【4－6】(苏州大学)设A，B是n×n实对称矩阵，且A＋B＝E，E为单位矩阵．证明下列结论—30—等价： (2)秩(A)＋秩(B)＝n．—31—第五章二次型二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题．目前二次型理论不仅在几何中而且在数学的其它分支及物理、力学、工程技术中也经常用到．二次型理论是研究生考试的主要内容之一．常考题型：主要以证明和计算题的形式出现．分值分布：分值在整套题中分量适中，有10分、15分和20分．本章重点：线性替换化二次型成标准型的方法．2．正定二次型与正定矩阵的判定与证明．具体二次型或实对称矩阵，一般采用各阶顺序主子式大于零的充要条件来判定，而对于抽象的实二次型或实对称矩阵，往往采用定义或特征值等来判定其正定性．本章难点：本章的难点是抽象的实二次型或实对称矩阵的正定性的判定．要点3．1二次型的基本概念及化标准型nni＝1j＝1—32—非退化线性替换〈|………标准型的方法方法1配方法用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非新平方项．方法2初等变换法用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：方法3正交变换法第一步：写出二次型f的矩阵A(实对称矩阵)fyyλny【3－2】(昆明理工，2007)设用正交线性变换把f化为标准形．【3－3】(华东师大，2005)求实二次型nn—33—(010\000y101AP阵一正惯性指数为n一A的顺序主子式全大于零一A的特征值全大于零A为正定矩阵，证明：A*也是正定矩阵．本章的复习思路：本章复习注意两个特点：一是二次型化标准型方法的规范性，即采用初等变换法和正交变换法；二是正定矩阵判别和论证的灵活性，注意正定矩阵与其它知识点的结合．xxn－xnan1…anmA的伴随矩阵A*．证明：—34— (1)B＞0； (2)φ(λ)＝λE－B，证明对任意实数b，φ(b)＞0．AE【4－6】(上海交大，2003)A，B是n阶正定矩阵，证明：AB的特征值为实数．A，C为n阶实正定矩阵，B是矩阵方程AX＋XA＝C的唯一解．证明： (1)B是对称矩阵； (2)B是正定矩阵．—35—第六章线性空间线性空间是n维向量空间的推广．线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性，学习时要深入理解各个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进行严格推理的习惯．常考题型：主要以证明的形式出现．本章重点和难点：1．本章的重点之一是线性空间的基与维数．因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性空间的结构(由基生成整个线性空间)，另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与Pn中具体的向量及向量的运算相对应，因此可归结为对Pn中向量的讨论，即它们具有相同的代数结构．2．本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和．能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究．应掌握直和的概念和等价条件．维数；—36— (2)求V的一组标准正交基．求元素组生成的线性空间W的一组基以及W的维数．W＝{f(x)f(1)＝0，(f(x))≤n}是实数域上的线性空间，并求出它的一组基．VP的线性空间，W是V的一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间．2．生成子空间3．验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只要验证W对于V的两种线性运算的封．4．设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它们的交W1∩W2也是V的子空间．但两个子空间的并一般未必是子空间．5．子空间的和7．求子空间的交与和的基与维数的方法kkkssll2β2＋…＋ltβt个n元齐次线性方程组的解空间．大学，2002)设V1，V2，…，Vm是n维线性空间V的非平凡子空间． (1)存在α∈V，使得α∈V1∪V2∪…∪Vm； 37—nnnn〈称为基变换公式．基变换公式可形式地写为 则点3．4子空间直和的判定与证明一零向量的分解是唯一的 —38— (1)证明V2是V的子空间； (2)证明V＝V1V2．【3－9】(厦门大学，1999)设V是数域F上所有n阶对称矩阵关于矩阵的加法与数乘构成的线性这里E为单位矩阵，Tr(A)为A的对角线元素之和． (1)求证U，W为V的子空间； (2)分别求U，W的一组基与维数； (3)求证V＝UW．要点3．5线性空间同构的判断与证明设V与V′是数域P上的两个线性空间，如果可以建立V到V′的一个双射σ，且对任意α，β=V，kP有σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β)，σ(kα)＝kσ(α)则称σ为同构映射，而称线性空间V与V′同构．同构线性空间的有关结论数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们具有相同的维数．本章的复习思路：1．抓住线性空间的基与维数的论证与计算问题；2．子空间的直和是出题的热点内容．【4－1】(北京大学，2005)用Mn(k)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间，数域K上n级矩阵A称为循环矩阵，(a1anan)用U表示K上所有n级循环矩阵组成的集合，证明：U是Mn(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数． VXW—39— WXXTAX＝0}不是R4的子空间； (3)V＝{XXTA2X＝0}是R4的子空间并求维(V)．V【4－6】设V和V′都是数域P上的有限维线性空间，σ是V到V′的线性映射，即σ满足σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β)，Vα，β∈V；σ(kα)＝kσ(α)，Vk∈P，α∈V．证明：V＝UW，V′＝MNkerU，WM—40—第七章线性变换线性变换是线性空间到自身的一种特殊映射，它反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系，通过它可以研究线性空间的一些内在性质，线性变换理论是高等代数的主要内容之一，也是研究生考试的主要内容之一．常考题型：题型以证明题为主，也有一些计算题．本章重点和难点：1．通过特征值和特征向量的概念，讨论一个线性变换能否在某组基下的矩阵是对角阵问题．2．特征值和特征向量的概念及计算是本章的重点和难点之一，其计算问题涉及到行列式计算，多求证：(1)σ是V的线性变换．—41— (2)当C＝D＝0时，σ可逆的充要条件是AB≠0．【3－2】(武汉大学)以Rn[x]表示次数不超过n的实系数多项式构成的实向量空间，其加法是多性变换． (2)求D在上述基下的矩阵； (3)试证：n≥1时D不能对角化(即Rn[x]没有基使D相应矩阵为对角矩阵)． (2)若X是A的属于特征值1的特征向量，则X也是B的属于特征值0的特征向量．(11＝\11…1)1…11…1J (1)求A的特征值和特征向量； 复数域上n阶矩阵A与对角阵相似一A有n个线性无关的特征向量一对A的每个特征值λi，λi的代数重数＝λi的几何重数一A的最小多项式没有重根一A的初等因子都是一次的证明：A与对角矩阵相似．ABn，A的特征值互异，且AB＝BA．试证： (1)A的特征向量也是B的特征向量； (3)AB可对角化．【3－7】(武汉大学，2003)设α＝(a1，…，an)是n(n≥2)维非零向量，证明：α′α可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵．fVf＝f，证明：V＝ImfKerf．—42—fImf＝{α∈V存在β∈V，使f(β)＝α}证明： (1)如果λ是f的特征值，那么Vλ(λ的特征子空间)是g的不变子空间； (2)f，g至少有一个公共的特征向量．PxVh证明： (1)V1与V2都是σ－子空间； 本章的复习思路：把握线性变换与矩阵的转化；注意特征值，特征向量与其它知识点的联系．【4－1】(北京大学，2005)设σ是数域R上n维线性空间V的一个线性变换，用ι表示V上的恒等＝ι一rank(ι－σ)＋rank(ι＋σ＋σ2)＝n．【4－2】(华东师大，2002)设σ为数域K上n维线性空间V的一个线性变换，满足σ2＝σ，A为σ (1)证明：(i)σ＋ι为V的可逆线性变换； (2)试求|2E－A|．为(1)(1)(1)(1) (1)将β用ξ1，ξ2，ξ3表示； 求．．(n为自然数)—43—浙江大学，2003)设A为n阶复矩阵，若存在正整数m使得Am＝0．则称A为幂零矩阵．求证： (1)A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为零． 零矩阵，C是可逆矩阵．【4－6】(武汉大学，1995)设A，B是n阶矩阵，AB＝A＋B． (1)证明A，B的特征根≠1． (2)设λ1，λ2，…，λn是A的特征根，求B的特征根． (1)A，B有公共的特征向量； 第八章λ－矩阵【根据辛老师多年考研辅导经验以及对往年考研试题的研究，本章内容在考研试题中很少涉及，请考生根据所报考院校及自身情况，对本章进行选择性复习。】—44—第九章欧氏空间线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法．作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映．但是向量的度量性质在许多问题 (包括几何问题)有特殊的地位．因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法．这就是本章要研究的对象：欧氏空间．常考题型：以证明题或计算题的形式出现．分值分布：分值在整套题中比例适中，如：南开2012年试题中，欧氏空间的题占到150分中的本章重点和难点：1．本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征．利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处．要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基．2．欧氏空间中与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵．要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵A，要求练地找到正交矩阵Q，使QTAQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形．3．将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的．欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补．—45—2)(kα，β)＝k(α，β))4)(α，α)≥0，并且