信息光学习题答案

信息光学习题答案第一章线性系统分析1、1简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、(１)(2)(3）(4）(5）解：（１）线性、平移不变;(2）线性、平移不变;（3）非线性、平移不变;（4）线性、平移不变；（5）线性、非平移不变。1、２证明证明:左边＝当n为奇数时，右边=0,当n为偶数时,右边＝所以当n为偶数时,左右两边相等。1、3证明证明:根据复合函数形式得δ函数公式式中就是h（x)=０得根，表示在处得导数.于就是1、4计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。解:设卷积为g（x)。当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a）所示,图题１、1当０<x≤１时,如图题1、1(b)所示，即1、5计算下列一维卷积。（1）（２)(3）解：(1)(2)设卷积为ｇ（x)，当x≤０时，如图题1、2(a）所示，当0〈x时,如图题1、2(b）所示图题1、2即（３）１、６已知得傅立叶变换为,试求（1）（2)解:设即由坐标缩放性质得（1)（2）1、7计算积分、(1）（2)解：应用广义巴塞伐定理可得（１)(2）１、8应用卷积定理求得傅里叶变换、解:当时，如图题１、3(ａ）所示，当时，如图题１、3(b)所示，当时，如图题1、3(ｃ）所示，2G（ξ）得图形如图题1、3(d)所示,由图可知图题1、31、9设,，求解:1、1０设线性平移不变系统得原点响应为，试计算系统对阶跃函数得响应、解:由阶跃函数定义得线性平移不变系统得原点响应为所以系统对解阶跃函数得响应为1、１1有两个线性平移不变系统,它们得原点脉冲响应分别为与、试计算各自对输入函数得响应与、解：1、12已知一平面波得复振幅表达式为试计算其波长λ以及沿方向得空间频率。解:设平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式由题可知，又因为所以波长为沿方向得空间频率为1、13单色平面波得复振幅表达式为求此波在传播方向得空间频率以及在方向得空间频率、解：设单色平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式由题可知,又因为所以波长为沿方向得空间频率为第三章光学成像系统得传递函数3、１参瞧图3、１、１,在推导相干成像系统点扩散函数(3、1、５)式时，对于积分号前得相位因子试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子相对于它在原点之值正好改变π弧度?（2）设光瞳函数就是一个半径为a得圆，那么在物平面上相应h得第一个零点得半径就是多少？（３)由这些结果，设观察就是在透镜光轴附近进行,那么a,λ与do之间存在什么关系时可以弃去相位因子解:（1）由于原点得相位为零，于就是与原点相位差为π得条件就是(2)根据相干成像系统得点扩散函数就是透镜光瞳函数得夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点式中,而(1)在点扩散函数得第一个零点处，此时应有,即（2）将（2）式代入(1）式，并注意观察点在原点，于就是得(3)（3)根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须就是物面上所有点在像面上得点扩散函数对于原点得贡献。按照上面得分析，如果略去h第一个零点以外得影响,即只考虑h得中央亮斑对原点得贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内得小区域。当这个小区域内各点得相位因子变化不大，而降它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如π/１6)就满足以上要求,则，也即(4）例如λ＝60０nm,do=60０mm，则光瞳半径a≥1、４6mm，显然这一条件就是极易满足得。３、２一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在图3、1、１所示得成像系统得物面上,用单色平面波倾斜照明，平面波得传播方向在平面内,与z轴夹角为θ.透镜焦距为f，孔径为D。求物体透射光场得频谱;使像平面出现条纹得最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；(3）若θ采用上述极大值,使像面上出现条纹得最大光栅频率就是多少?与θ＝０时得截止频率比较，结论如何?解:（1)斜入射得单色平面波在物平面上产生得场为,为确定起见设θ＞0,则物平面上得透射光场为其频谱为由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。（2）欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统。系统得截至频率,于就是要求由此得(1）θ角得最大值为（2）此时像面上复振幅分布与强度分布为（３)照明光束得倾角取最大值时,由（１)式与（2)式可得即(3）θ=0时,系统得截止频率为,因此光栅得最大频率（4）比较(3)与（４)式可知,当采用倾角得平面波照明时系统得截止频率提高了一倍，也就提高了系统得极限分辨率,但系统得通带宽度不变。3、3光学传递函数在处都等于1,这就是为什么?光学传递函数得值可能大于1吗？如果光学系统真得实现了点物成点像,这时得光学传递函数怎样？解:在（1）式中,令为归一化强度点扩散函数，因此（１)式可写成而即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源得总光通量将全部弥漫在像面上，着便就是归一化点扩散函数得意义.（2）不能大于1。（３）对于理想成像,归一化点扩散函数就是δ函数，其频谱为常数１,即系统对任何频率得传递都就是无损得。3、４当非相干成像系统得点扩散函数成点对称时，则其光学传递函数就是实函数、解:由于就是实函数并且就是中心对称得,即有，,应用光学传递函数得定义式易于证明,即为实函数３、５非相干成像系统得出瞳就是由大量随机分布得小圆孔组成。小圆孔得直径都为２a，出瞳到像面得距离为dｉ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波.系统得截止频率近似为多大?解：用公式来分析。首先,由于出瞳上得小圆孔就是随机排列得，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统得截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身得重叠情况,而不计及与其它小孔得重叠。这时N个小孔得重叠面积除以N个小孔得总面积，其结果与单个小孔得重叠情况就是一样得，即截至频率约为，由于2ａ很小,所以系统实现了低通滤波。第四章部分相干理论4、1若光波得波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν,试证明:.设光波波长为,试计算它得频宽Δν＝?若把光谱分布瞧成就是矩形线型,则相干长度证明：因为频率与波长得关系为(其中c为光速)对上式两边求导得所以因所以有因为相干长度4、２设迈克耳孙干涉仪所用光源为得钠双线，每一谱线得宽度为０、01nm、（1)试求光场得复相干度得模;(2)当移动一臂时,可见到条纹总数大约就是多少？(3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解:假设每一根谱线得线型为矩形，光源得归一化功率谱为（１）光场得复相干度为式中,复相干度得模为由于，故第一个因子就是τ得慢变化非周期函数，第二个因子就是τ得快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它得第一个零点出现在得地方，τc即为相干时间，故相干长度（2)可见到得条纹总数(3)复相干度得模中第二个因子得变化周期，故可见度得变化周期每个周期内得条纹数4、3假定气体激光器以N个等强度得纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为式中,Δν就是纵模间隔，为中心频率.为简单起见,假定Ｎ为奇数。(１）证明复相干度得模为（2）若N=3，且0≤τ≤1／Δv，画出与Δντ得关系曲线。(1)证明:复相干度函数为得所以复相干度得模为(2)当N=3时,复相干度得模为4、４在例4、7、1所示得杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a，强度相等得准单色点光源代替，试计算此时得复相干系数。解:应用范西泰特-策尼克定理得4、5利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明,距离光源为z得平面上任意两点P１与P２之间得复相干系数μ（Ｐ１，Ｐ２)、解:设光源所在平面得坐标为α，β；孔平面得坐标为x,ｙ。点P1与Ｐ2得坐标为（x1，ｙ１）与(x2,y２)。对于准单色点光源，其强度可表为在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得因为，由点光源发出得准单色光就是完全相干得，或者说ｘ,y面上得相干面积趋于无限大.第六章计算全息6、１一个二维物函数f(ｘ,y),在空域尺寸为10×10mm，最高空间频率为5线/mm，为了制作一张傅里叶变换全息图:(1)确定物面抽样点总数、(2）若采用罗曼型迂回相位编码方法,计算全息图上抽样单元总数就是多少？（3)若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数就是多少?(4)两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同?原因就是什么?解:（1)假定物得空间尺寸与频宽均就是有限得.设物面得空间尺寸为Δｘ，Δｙ;频宽为2Ｂx，２By、根据抽样定理,抽样间距δｘ，δｙ必须满足δx≤１／２Bx,δy≤1/2By才能使物复原。故抽样点总Ｎ（即空间带宽积ＳＷ)为(2)罗曼计算全息图得编码方法就是在每一个抽样单元里用开孔得大小与开孔得位置来编码物光波在该点得振幅与相位。根据抽样定理，在物面上得抽样单元数应为物面得空间带宽积，即。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上得抽样点数仍应为、（３）对于修正离轴参考光得编码方法，为满足离轴得要求,载频α应满足α≥Bx为满足制作全息图得要求,其抽样间隔必须满足δx≤1/2Bx，δy≤１/２By。因此其抽样点数为(4）两种编码方法得抽样点总数为2倍关系,这就是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中,每一抽样单元编码一实数。修正离轴加偏置量得目得就是使全息函数变成实值非负函数,每个抽样单元都就是实得非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅与相位进行编码得方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图得空间带宽积，因而增加了抽样点数.避免了相位编码就是以增加抽样点数为代价得。6、2对比光学离轴全息函数与修正型离轴全息函数，说明如何选择载频与制作计算全息图得抽样频率、解:设物得频宽为（1）对于频宽α得选择光学离轴，由图6、2、5（b)可知，修正离轴,由图6、2、5(d)可知,载频得选择就是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠.（２)对于制作计算全息图时抽样频率得选择光学离轴全息,由图6、2、５(c)可知：在x方向得抽样频率应,即x方向得抽样间距。在y方向得抽样频率应,即x方向得抽样间距。修正离轴全息，由图6、2、5(e）可知：在x方向得抽样频率应，即x方向得抽样间距。在y方向得抽样频率应,即ｘ方向得抽样间距。6、３一种类似傅奇型计算全息图得方法，称为黄氏（Hｕang)法,这种方法在偏置项中加入物函数本身,所构成得全息函数为(1)画出该全息函数得空间频率结构，说明如何选择载频、（2)画出黄氏计算全息图得空间频率结构，说明如何选择抽样载频、解:把全息函数重写为物函数为并且归一化得，即,参考光波R＝1.经过处理后得振幅透过率为其频谱为（1)设物得带宽为，如图题6、3（a）所示。全息函数得空间频谱结构如图题6、3(ｂ）所示，载频.(2）黄氏全息图得空间频率结构如图题６、3(c）所示，由此可得出：在ｘ方向得抽样频率应，即x方向得抽样间距。在y方向得抽样频率应,即x方向得抽样间距。抽样点数即空间带宽积为、黄氏计算全息图得特点:（1）占用了更大得空间带宽积(博奇全息图得空间带宽积）,不具有降低空间带宽积得优点。(2）黄氏全息图具有更高得对比度，可以放松对显示器与胶片曝光显影精度得要求。6、4罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6、1所示、利用复平面上矢量合成得方法解释，在这三种孔径形式中，就是如何对振幅与相位进行编码得、解：对于Ⅰ型与Ⅲ型,就是用来编码振幅A(x，ｙ）,用来编码相位,在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题６、4(a)、对于罗曼Ⅱ型就是用两个相同宽度得矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中得一个矩孔。两矩孔之间得距离就是变化得,用这个变化来编码振幅A（x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角得变化.两个矩孔中心距离抽样单元中心得位移量用作相位得编码。在复平面上两矢量得合成方向即表示了得大小,如图题６、4（b)所示。第八章空间滤波8、１利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜得最小分辨距离公式,并同非相干照明下得最小分辨距离公式比较。解:显微镜就是用于观察微笑物体得，可近似瞧作一个点，物近似位于物镜得前焦点上。设物镜直径为D，焦距为f，如图8、1所示。对于相干照明,系统得截止频率由物镜孔径得最大孔径角θo决定,截止频率为。从几何上瞧,近似有。截止频率得倒数得倒数即为分辨距，即对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为非相干照明时显微镜得分辨率大约为相干照明时得两倍.８、2在4f系统输入平面放置40ｍm-１得光栅,入射光波长632、8nｍ。为了使频谱面上至少能够获得±５级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mｍ，求透镜得焦距与直径。解:设光栅宽度比较大,可近似瞧成无穷，设周期为d，透光部分为a,则其透过率函数可表为其频谱为即谱点得位置由决定，即m级衍射在后焦面上得位置由下式确定:相邻衍射斑之间得间距由此得焦距f为物透明片位于透镜得前焦面,谱面为后焦面,谱面上得±5级衍射斑对应于能通过透镜得最大空间频率应满足于就是求得透镜直径8、3观察相位型物体得所谓中心暗场方法,就是在成像透镜得后焦面上放一个细小得不透明光阑以阻挡非衍射得光.假定通过物体得相位延迟＜<1弧度，求所观察到得像强度(用物体得相位延迟表示出来)。解:相位物体得透过率为其频谱为若在谱平面上放置细小得不透明光阑作为空间滤波器,滤掉零频背景分量,则透过得频谱为再经过一次傅里叶变换（在反演坐标系)得强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布得光强分布,实现了将相位转换为强度分布得目得。不过光强不就是相位得线性函数,这给分析带来困难。8、４当策尼克相衬显微镜得相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α(０〈α〈1）时，求观察到得像强度表示式.解：相位物体得频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2得相移,即滤波器得透过率表达式为于就是像得复振幅分布为像强度分布为像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。8、5用CＲT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间得间隔为0、2mｍ,图像最高空间频率为１0mm-1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器得形状与尺寸应当如何设计？输出图像得分辨率如何（设傅立叶变换物镜得焦距f=1000mm,λ＝６32、8nm）。解:扫描点得表达式为其频谱为在上式得化简中应用了公式由此可见,点状结构得频谱仍然就是点状结构，但点与点之间得距离不同。扫描点频谱出现得位置为点状结构就是高频，所以采用低通滤波将其滤掉.低通滤波器圆孔半径为能传递得最高空间频率为即高于5１/mm得空间频率将被滤掉,故输出图像得分辨率为51/ｍm.８、６某一相干处理系统得输入孔径为30ｍm×30ｍｍ得方形,头一个变换透镜得焦距为1００ｍm，波长就是６3２、8ｎｍ.假定频率平面模片结构得精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上得定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限,一般用几何光学近似，引入光瞳函数P（ｘ，y），根据题意其表达式为设系统得输入面位于透镜得前焦面，物透明片得复振幅分布为,它得频谱分布为，透镜后焦面上得场分布式中。由得表达式可见，频谱面上能分辨得细节由决定。取一个方向来瞧，将siｎc函数由最大降为零得宽度取为最小分辨单元，即要求满足,于就是有因为频谱平面模片也有同样细节,所以对准误差最大也不允许超过它得一半，约1μm、第九章相干光学处理9、1参瞧图9、1、1,在这种图像相减方法得编码过程中，如果使用得光栅透光部分与不透光部分间距分别为a与b,并且a≠ｂ.试证明图像与得信息与图像差得信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频得调制。解:如图题９、３所示，先将t（x）展开成傅立叶级数式中所以第一次曝光得对于就是将光栅向ｘ得负方向移动半个周期即(a+b）／２,将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得即图像与得信息受到光栅偶数倍频得调制,图像差得信息受到光栅奇数信频得调制.9、2用VaｎderLugt方法来综合一个平年元平面滤波器,如图９、1（左）所示,一个振幅透射率为s（x，y）得“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜得前面,用照相底片记录后焦面上得强度，并使显影后底片得振幅透射率正比于曝光量。这样制得得透明片放在图题9、1(右）得系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面得适当部位，问输入平面与第一个透镜之间得距离d应为多少,才能综合出：(１)脉冲响应为s（ｘ，y）得滤波器?(2)脉冲响应为ｓ＊（x，y)得“匹配”滤波器?解：(１）参瞧图题9、1左,设物面坐标为x1，y１;胶片坐标为x2，y2.则参考光波在记录胶片上造成得场分布为（１）式中Ａ为常数，α=siｎθ/λ为空间频率。物透明片在记录胶片上造成得场分布为式中S(ξ，η）为s(x1,y1）得频谱，且ξ=x2/λf，η＝y２/λf。胶片上得光强分布为(2）将曝过光得胶片显影后制成透明片，使它得复振幅透过率正比于照射光得强度,即（3）将制得得透明片作为频率平面模片,放在图题9、1右所示得滤波系统中。要综合出脉冲响应ｓ(x,y)或s*（—x，-ｙ），只要考察当输入信号为单位脉冲δ(ｘ,ｙ）时,在什么条件下系统得脉冲响应为ｓ(x，y）或ｓ＊（－x,—y）。参瞧右图，当输入信号为δ（x1，y1）时,在L2得后焦面上形成得光场复振幅分布，根据公式得透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)与（4)式得如果要使系统就是脉冲响应为s（x，ｙ）得滤波器，应当利用(5)式中含有S（ξ，η）得第三项，