苏科版九年级数学暑假第15讲对称图形-圆全章复习与测试练习(学生版+解析)

第15讲对称图形—圆全章复习与测试（核心考点讲与练）【基础知识】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【考点剖析】一．圆的认识（共1小题）1．（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°二．垂径定理（共1小题）2．（2022•海陵区一模）如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为秒．三．垂径定理的应用（共1小题）3．（真题•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是cm．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）4．（2022•黄浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．5．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．五．圆周角定理（共1小题）6．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B．2 C． D．1六．圆内接四边形的性质（共1小题）7．（2022•无锡一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（）A．56° B．68° C．72° D．78°七．相交弦定理（共1小题）8．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝．八．点与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•睢宁县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．3九．确定圆的条件（共1小题）10．（真题•江都区校级月考）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．（真题•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．一十一．直线与圆的位置关系（共1小题）12．（真题•南京期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4一十二．切线的性质（共1小题）13．（2022春•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（）A．2 B．3 C．1 D．2.5一十三．切线的判定（共1小题）14．（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．一十四．切线的判定与性质（共1小题）15．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为．一十五．弦切角定理（共1小题）16．（2020•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°一十六．切线长定理（共1小题）17．（真题•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化一十七．切割线定理（共1小题）18．（2018秋•新吴区期中）如图，已知⊙O与Rt△AOB的斜边交于C，D两点，C、D恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于5，则AB的长为．一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）19．（2022春•宜兴市校级月考）如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6） B．（6，﹣1） C．（1，1） D．（﹣1，6）一十九．正多边形和圆（共2小题）20．（真题•镇海区期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）A．45° B．38° C．36° D．30°21．（2022•南京一模）如图，在正五边形ABCDE中，M是AB的中点，连接AC，DM交于点N，则∠CND的度数是．二十．弧长的计算（共1小题）22．（真题•海陵区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°二十一．扇形面积的计算（共1小题）23．（2022•宜兴市一模）如图，半圆O的直径AB＝6，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于．二十二．圆锥的计算（共1小题）24．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1二十三．圆柱的计算（共1小题）25．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm2．（3分）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④3．（3分）已知：如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（）cm．A．10 B．18 C．20 D．225．（3分）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（）A．15 B．9 C．7.5 D．76．（3分）有一个六边形的半径为4cm，则这个六边形的面积为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．（3分）如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定8．（3分）P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（）A．点P在⊙O外 B．点Q在⊙O外 C．直线l与⊙O一定相切 D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交9．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2014等于（）A． B． C． D．10．（3分）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．（3分）如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，BD是直径，则∠ACD＝°．12．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，则PA的长为．13．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是．14．（3分）如果一个圆柱的底面半径为1米，它的高为2米，那么这个圆柱的全面积为平方米．（结果保留π）15．（3分）已知⊙O的半径OA为1．弦AB的长为，若在⊙O上找一点C，使AC，则∠BAC＝°．16．（3分）要用圆形铁片截出边长为8cm的正方形铁片，选用的圆形铁片的直径最小要cm．17．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是度．18．（3分）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为cm．19．（3分）线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是度．20．（3分）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则OC的长等于cm．三．解答题（共6小题，满分40分）21．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，AE⊥BC于E（1）已知∠ABC＝∠DAC，AD＝4，求AC的长．（2）已知AC＝6，AE＝4，⊙O的半径为5，求AB的长．22．（6分）如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．23．（6分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．（1）若∠A＝36°，求∠C的度数；（2）若弦BC＝24，圆心O到弦BC的距离为6，求⊙O的半径．（结果用根号表示）24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝80°，求∠CED的度数．25．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．26．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．第15讲对称图形—圆全章复习与测试（核心考点讲与练）【基础知识】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【考点剖析】一．圆的认识（共1小题）1．（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．二．垂径定理（共1小题）2．（2022•海陵区一模）如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为16或20秒．【分析】利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当∠APC＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；②当∠ACP＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AP于点M，同①方法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：①当∠APC＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，如图，∵OH⊥AB，∴AHAB＝6，∴OH8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CP⊥AB，∴四边形OHPC为矩形，∴PH＝OC＝10，∴AP＝AH+HP＝16，∵点P以每秒1个单位的速度前进，∴t＝16；②当∠ACP＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AP于点M，如图，∵OH⊥AB，∴AHAB＝6，∴OH8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CM⊥AP，∴四边形OHMC为矩形，∴HM＝OC＝10，CM＝OH＝8，∴AM＝16，∵∠ACP＝90°，CM⊥AP，∴△AMC∽△CMP，∴，∴，∴MP＝4，∴AP＝AM+MP＝20．∵点P以每秒1个单位的速度前进，∴t＝20，综上，当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为16秒或20秒，故答案为：16或20．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出圆的弦心距是解题的关键．三．垂径定理的应用（共1小题）3．（真题•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是5cm．【分析】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CEBC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CEBC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）4．（2022•黄浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BEAB，CF＝DFCD，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE，∴OE1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF∠AMC＝60°，∴OM，故答案为：．【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键．5．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA＝90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD＝∠CAD，进而证明∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．【解答】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD8，∵DF∥AC，∴，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DFAB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴，即，解得：AE，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE，AD＝8，∴DE，∴EC＝CD﹣DE．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．五．圆周角定理（共1小题）6．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B．2 C． D．1【分析】先利用圆周角定理得到∠C＝90°，再根据角平分线的性质得到点D到AB的距离等于DC，则利用三角形面积得到AB：BC＝AD：CD＝2：1，设BC＝x，AB＝2x，利用勾股定理得到x2+32＝（2x）2，然后解方程得到AB的长，从而得到⊙O的半径．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴点D到AB的距离等于DC，∴S△BDA：S△BDC＝AB：BC，∵S△BDA：S△BDC＝AD：CD＝2：1，∴AB：BC＝2：1，设BC＝x，AB＝2x，在Rt△ABC中，x2+32＝（2x）2，解得x1，x2（舍去），∴AB＝2，∴⊙O的半径为．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形面积公式．六．圆内接四边形的性质（共1小题）7．（2022•无锡一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（）A．56° B．68° C．72° D．78°【分析】先根据圆内接四边形和圆周角定理得∠BOD，再利用平行线的性质得到∠CDO，最后利用四边形内角和求出∠B．【解答】解：∵∠C＝124°，∴∠A＝180°﹣124°＝56°，∴∠BOD＝2∠A＝112°，∵OD∥BC，∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、平行线的性质、四边形内角和，解题关键是熟练使用圆的相关性质．七．相交弦定理（共1小题）8．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝2．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，∴CE•DE＝AE•BE，∴1×3＝AE2，解得：AE，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．八．点与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•睢宁县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．3【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3．∴OM的最大值．故选：A．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．九．确定圆的条件（共1小题）10．（真题•江都区校级月考）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【分析】首先计算两个较短的线段长的和是否大于较长的线段长，从而判断出三点是否同一条直线上，进而可得A、B、C三点不能确定一个圆．【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆；②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．故选：C．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．（真题•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长，由三角形面积公式可得出答案．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC360°＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB30°，∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∴BD＝OB•cos∠OBD＝2×cos30°＝2，ODOB＝1，∴BC＝2．∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3BC•OD＝31＝3．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．一十一．直线与圆的位置关系（共1小题）12．（真题•南京期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，∴直线l与⊙O相交．故选：D．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．一十二．切线的性质（共1小题）13．（2022春•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（）A．2 B．3 C．1 D．2.5【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，由AB2＝AC2+BC2，证得∠C＝90°，即可证得OE∥BC，进一步证得E是AC的中点，即可得到AE＝4，根据勾股定理求得半径，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OC＝5，即可求得CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，∵AO＝OB，∴AE＝ECAC＝4，∵OAAB＝5，∴OEBC＝3，∴OD＝3，在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，∴OCAB＝5，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故选：A．【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是求得CO和半径OD的长，属于中考常考题型．一十三．切线的判定（共1小题）14．（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．【解答】如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是证明OD⊥BD．一十四．切线的判定与性质（共1小题）15．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为2；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为或106．【分析】⊙O与AD相切于点D，此时OD＝OC，∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，所以∠ODF＝30°，∠FOD＝60°，则∠OFD＝90°，在Rt△CDF中根据勾股定理列方程即可求出OC的长为2，即此时圆的半径为2；⊙O与BC相切于点C，则OC＝ODCD，此时圆的半径为；⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，则OG＝OD＝r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CHCD，可推导出DL＝2r，OL＝AG＝4r，在Rt△DOL中根据勾股定理列方程求出r的值即可．【解答】解：如图，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F，∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径，∴OD就是点O到AD的距离，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OFODOC，DF＝OD•sin60°ODOC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为2；如图，点O在CD边上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O与BC相切于点C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝ODCD2，∴⊙O的半径为．如图，⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四边形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CHCD，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四边形MKHC是矩形，∴KM＝CH，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴sin∠KBM＝sin60°，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴tan∠OKG＝tan60°，∴KGOGr，∴OL＝AG＝6﹣2r＝4r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4r）2+（2r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝106或r＝106（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为106，综上所述，⊙O的半径为或106，故答案为：2；或106．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．一十五．弦切角定理（共1小题）16．（2020•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．【解答】解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：连接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．一十六．切线长定理（共1小题）17．（真题•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．一十七．切割线定理（共1小题）18．（2018秋•新吴区期中）如图，已知⊙O与Rt△AOB的斜边交于C，D两点，C、D恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于5，则AB的长为3．【分析】过O作OH⊥AB，由垂径定理得到CH＝DH，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OH＝AH，设AC＝CD＝BD＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB，∴CH＝DH，∵AC＝BDAB，∴AH＝BH，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OH＝AH，设AC＝CD＝BD＝x，∴AH＝OH＝1.5x，∴CH2+OH2＝OC2，∴（x）2+（x）2＝52，∴x，∴AB＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）19．（2022春•宜兴市校级月考）如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6） B．（6，﹣1） C．（1，1） D．（﹣1，6）【分析】根据题意画出旋转后的图形，根据点M为△ABC的内心，可得点M为△ABC角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，所以DM＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，根据S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，列式求出r的值，进而可以解决问题．【解答】解：将矩形绕点C顺时针旋转90°，如图所示：∵点M为△ABC的内心，∴点M为△ABC角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，∴DM＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，在矩形OABC中，∵B（﹣4，3），∴AC5，∵S△ABC3×4＝6，∴S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，∴r×3r×4r×5＝6，∴r＝1，∴DM＝EM＝FM＝r＝1，∴M′（﹣1，6）．则点M的对应点坐标为（﹣1，6）．故选D．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．一十九．正多边形和圆（共2小题）20．（真题•镇海区期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣108°）＝36°．故选：C．【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．21．（2022•南京一模）如图，在正五边形ABCDE中，M是AB的中点，连接AC，DM交于点N，则∠CND的度数是54°．【分析】连接BD，AD，根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，根据全等三角形的性质得到BD＝AD，根据等腰三角形的性质得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到结论．【解答】解：连接BD，AD，在正五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，∴（180°﹣108°）＝36°，在△BCD与△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴BD＝AD，∵M是AB的中点，∴BM＝AM，∴DM⊥AB，∴∠AMN＝90°，∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键二十．弧长的计算（共1小题）22．（真题•海陵区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【分析】连接OC，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC＝45°，再根据圆周角定理可得∠BAC的大小．【解答】解：如图，连接OC，∵3，∴∠AOC＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°45°，∴∠BACBOC＝22.5°．故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC＝45°是解题关键．二十一．扇形面积的计算（共1小题）23．（2022•宜兴市一模）如图，半圆O的直径AB＝6，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于4.5π﹣9．【分析】先根据题意判断出△A′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得，然后根据S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP直接进行计算即可．【解答】解：连接A′P，∵A′B是直径，∴∠A′PB＝90°，∵∠OBA′＝45°，∴△A′PB是等腰直角三角形，∴PA′＝PBAB＝3，∴，∴S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP34.5π﹣9，故答案为：4.5π﹣9．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是得出S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP．二十二．圆锥的计算（共1小题）24．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后计算AD：AB即可．【解答】解：设此弧所在圆的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，则2πr，解得r，则AD：AB＝AD：（AD）＝3：2．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．二十三．圆柱的计算（共1小题）25．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是20πcm2．【分析】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．【解答】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．故答案为20πcm2．【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故选：C．【点评】此题主要考查的是切线长定理，图中提供了许多等量线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．2．（3分）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【分析】根据垂径定理判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．3．（3分）已知：如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】延长PO交圆于D，由已知可求得PB的长，再根据割线定理即可求得半径的长．【解答】解：延长PO交圆于D，∵PA＝7cm，AB＝5cm，∴PB＝12cm；设圆的半径是x，∵PA•PB＝PC•PD，∴（10﹣x）（10+x）＝84，∴x＝4．故选：A．【点评】根据割线定理列方程求解．4．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（）cm．A．10 B．18 C．20 D．22【分析】设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4，利用勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，解方程即可．【解答】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，AB＝16，CE＝4，则OE⊥AB，∴AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4，∴OA2＝AC2+OC2，∴R2＝82+（R﹣4）2，解得，R＝10，即该球的半径是10cm．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．5．（3分）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（）A．15 B．9 C．7.5 D．7【分析】根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，则BM+CQ＝6，所以△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC的周长为21，BC＝6，∴AC+AB＝21﹣6＝15，设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，∵DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，∴BM+CQ＝BN+CN＝BC＝6，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+AE+DP+PE＝AD+DM+AE+EQ＝AB﹣BM+AC﹣CQ＝AC+AB﹣（BM+CQ）＝15﹣6＝9，故选：B．【点评】此题充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理．6．（3分）有一个六边形的半径为4cm，则这个六边形的面积为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【分析】根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝4cm；∴正六边形的面积S＝64×4sin60°＝24cm2．故选：C．【点评】本题考查的是正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．7．（3分）如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【分析】过点P作PD⊥OB于点D，根据直角三角形的性质求出PD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，∵∠AOB＝30°，OP＝10cm，∴PDOP＝5cm，∴以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB相切．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当r＝d时，直线与圆相切是解答此题的关键．8．（3分）P