高安二中联考高二数学下学期期中试卷 文（含解析）-人教版高二数学试题

-学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3i）C．（0，3）D．（0，2i）2．已知命题p：≥2，则¬p为（）A．∀＜2B．∀＜2C．∃＜2D．∃＜23．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．以下是解决数学问题的思维过程的流程图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣反证法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②反证法D．①﹣综合法，②﹣分析法5．已知a+2b=2，则4a+16b的最小值为（）A．2B．4C．8D．166．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定D．；乙比甲成绩稳定7．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜bD．若，则a＜b8．设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁RA）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）9．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1B．编号2C．编号3D．编号410．在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρcosθ=2B．ρsinθ=2C．ρ=4sin（θ+）D．ρ=4sin（θ﹣）11．（文科）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±2x12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是．14．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．15．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为．16．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则+++…+=．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求A∩∁U（B∩C）18．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．19．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．22．已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

-学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3i）C．（0，3）D．（0，2i）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数为纯虚数求得a值，则答案可求．【解答】解：∵Z==是纯虚数，∴，即a=6．∴Z=3i．∴在复平面内Z对应点的坐标为（0，3）．故选：C．2．已知命题p：≥2，则¬p为（）A．∀＜2B．∀＜2C．∃＜2D．∃＜2【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题p为全称命题，则命题的否定为：∃＜2，故选：D3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．4．以下是解决数学问题的思维过程的流程图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣反证法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②反证法D．①﹣综合法，②﹣分析法【考点】流程图的作用．【分析】根据该结构图，结合综合法与分析法的定义，即可得出正确的选项．【解答】解：根据题意，得；该结构图为证明方法的知识结构图：由已知到可知，进而得到结论的证明方法为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系的证明方法为分析法；故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法是：①综合法，②分析法．故选：D．5．已知a+2b=2，则4a+16b的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．【解答】解：∵a+2b=2，∴4a+16b≥=2=2=8，当且仅当a=2b=1时取等号．故选：C．6．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定D．；乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图，得出5场比赛甲、乙的得分，再计算平均数与方差，即可得到结论．【解答】解：5场比赛甲的得分为16、17、28、30、34，5场比赛乙的得分为15、26、28、28、33∴=（16+17+28+30+34）=25，=（15+26+28+28+33）=26=（81+64+9+25+81）=52，==35.6∴，乙比甲成绩稳定故选D．7．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜bD．若，则a＜b【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．8．设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁RA）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴∁RA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（∁RA）∩B=（1，+∞）．故选C9．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1B．编号2C．编号3D．编号4【考点】归纳推理．【分析】由题意观察不难发现，经过四次变换后又回到原位，用除以4，根据余数的情况解答即可．【解答】解：由图可知，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵÷4=503…3，∴第次互换座位后，与第3次的座位相同，小兔的座位号为4．故选：D．10．在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρcosθ=2B．ρsinθ=2C．ρ=4sin（θ+）D．ρ=4sin（θ﹣）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】本选择题利用直接法求解，把极坐标转化为直角坐标．即利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可．【解答】解：ρ=4sinθ的普通方程为：x2+（y﹣2）2=4，选项A的ρcosθ=2的普通方程为x=2．圆x2+（y﹣2）2=4与直线x=2显然相切．故选A．11．（文科）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±2x【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．【分析】由于线段PF1的中点M落在y轴上，连接MF2，则|MF1|=|MF2|=|PM|=|PF1|⇒△PF1F2为直角三角形，△PMF2为等边三角形，于是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a⇒c=a，由c2=a2+b2可求得b=a，于是双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：连接MF2，由过点PF1作倾斜角为30°，线段PF1的中点M落在y轴上得：|MF1|=|MF2|═|PM|=|PF1|，∴△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形，∵是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a∴c=a，又c2=a2+b2，∴3a2=a2+b2，∴b=a，∴双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±=±x．故选C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是k＜1．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义：|x+2|+|x+1|表示数轴上的点x到﹣2，﹣1的距离之和，结合题意不难推出结果．【解答】解：|x+2|+|x+1|的几何意义是：数轴上的点x到﹣2，﹣1的距离之和，和的最小值为1；不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则k＜1故答案为：k＜114．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Sn是否继续循环循环前01第一圈02是第二圈33是第三圈54是第四圈105否此时S值为10．故答案为：10．15．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．【考点】圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【分析】先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标【解答】解：曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1联立方程x=2或x=﹣1（舍去），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）16．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则+++…+=\frac{}{}．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列{}的特点可用列项法求其前n项和的公式，而则+++…+是前项的和，代入前n项和公式即可得到答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即an=3n﹣3，令Sn=+++…+=++…+=+++…++=++…+=1﹣+﹣+…+=，故答案为：．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求A∩∁U（B∩C）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出A与C中不等式的解集确定出A与C，求出A与B的交集，A与C的并集即可；（2）求出B与C的交集，根据全集R求出交集的补集，最后求出A与补集的交集即可．【解答】解：（1）集合A中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；集合C中的不等式解得：﹣2＜x＜6，即C={x|﹣2＜x＜6}，∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪C={x|x≤﹣3或x＞﹣2}；（2）∵B∩C={x|﹣1＜x＜6}，全集U=R，∴∁U（B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，则A∩∁U（B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．18．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．19．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）写成分段函数的形式，对x讨论，结合一次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），运用分段形式，求得h（x），由三角形的面积公式可得a2﹣2a﹣8＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）+|x﹣4|=，当x≤3时，由f（x）≥4﹣|x﹣4|得，7﹣2x≥4，解得x≤；当3＜x＜4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|无解；当x≥4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|得，2x﹣7≥4，解得x≥．∴f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集为{x|x≤或x≥}．（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=，所以S=•2a•＞a+4，即为a2﹣2a﹣8＞0，（a＞1），解得a＞4．即有a的取值范围为（4，+∞）．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．21．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，可得c=2，利用与椭圆有相同的离心率，可求得a=，进而可得b=2，故可求椭圆的标准方程．（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立可得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0，利用韦达定理有x1+x2=，x1x2=，要使右焦点F在圆内部，则有＜0，用坐标表示可得不等式，从而可求出k的范围．【解答】解：（1）∵焦距为4，∴c=2…又∵的离心率为…∴，∴a=，b=2…∴标准方程为…（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0…∴x1+x2=，x1x2=由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0…∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＜0即x1x2﹣2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0…∴＜0…∴k＜…经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（﹣∞，）…22．已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）（法一）令g（x）=f（x）﹣k，则问题等价于函数g（x）存在零点，根据函数的单调性解出即可；（法二）问题等价于方程1+kx（lnx﹣1）=0有解，令g（x）=kx（lnx﹣1）+1，根据函数的单调性解出即可；（法三）问题等价于方程有解，设函数g（x）=x（1﹣lnx），根据函数的单调性解出即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．…．．…．当k=1时，，令f'（x）=0，得x=1，…．所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗…．所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．f（x）的单