管道订购与运输

ShenranRAerospaceUniversicT

《数学模型》课程结业论文

管道订购与运输

任务书

［要求］

1、将所给的问题翻译成汉语；

2、给论文起个题目（名字或标题）

3、根据任务来完成数学模型论文；

4、论文书写格式要求按给定要求书写；

5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；

6、论文上交时间：6月1日前（要求交纸质论文和电子文档）。

7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。

［任务］

要铺设一条4-4的输送天然气的主管道，如图一所示（见

下页）。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有s”S2,…图中粗

线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道

或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、

公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km）o

为方便计•，1km主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂S,

在指定期限内能生产该钢管的最大数量为s,•个单位，钢管出厂销价1单

位钢管为P,万元，如下表：

i1234567

80080010002000200020003000

Pi160155155160155150160

1单位钢管的铁路运价如下表:

里程（km）W300301〜350351—400401〜450451〜500

运价（万2023262932

元）

901〜

里程（km）501〜600601〜700701~800801〜900

1000

运价（万

3744505560

元）

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整

公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点…,Am而是

管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给

出总费用）。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计

划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和

总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公

路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图

二按（1）的要求给出模型和结果。

22

52

42

2一0

SI22

L

48AA

A6

图

A6

327

69

)()

701261

50

Ak4

42J

5o2o

2

A6

图

二

a230

41

成绩评定单

评语：

成绩__________

任课教师签字年月日

摘要

摘要

本文建立的是一个有关钢管运输和订购费用的数学模型。钢管的运

输和订购的总费用可由以下三个因素决定：一，从各个钢厂到各铺设节

点的运输路径；二，所订购钢管的总成本；三，沿管道上运输钢管的费

用。对各问题的解决方案如下：

问题1：先用MATLAB编程计算出各钢厂到各铺设节点的最少运费，

在此基础上不难表示出另外两种费用，从而可以得出总费用的函数表达

式，即目标函数，再加上具体的约束条件，用LINGO软件编程可得出最

少总费用时的运输和订购方案，求得最少费用为1278632万元，SrS7

各钢厂的购进量分别为：800,800,1000,0,1015,1556,0。

问题2：要求哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响

最大，可采用比较法，分别让其中一个钢厂的钢管销价增加或减少，而

其余钢厂保持不变，每次销价的变化均相同，再用问题一的方法求出最

优解与原来的进行比较，便可得到哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计

划和总费用影响最大。求哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划

和总费用的影响最大。可采用相同的方法，通过改变各钢厂钢管的上限

得到结果。最后得出的结论是：S6钢厂销价变化对总费用影响最大，羽应

钢厂钢管的销价的变化对购运计划影响最大，5钢厂钢管的产量的上限

的变化对总费用影响最大，但对购运计划影响较小。

问题3：该问题是建立在问题一得基础上，使问题更加一般化，采

用相同的方法便可求得取最少费用的最佳方案。

关键词：Floyd算法；非线性规划模型；Ling。灵敏度分析；模型优化;

目录

目录

1.问题重述.............................................................1

2问题分析.............................................................2

3.模型的符号说明与假设..................................................3

3.1模型的符号说明....................................................3

3.2模型假设.........................................................3

4,模型准备.............................................................4

5.模型的建立与求解....................................................5

6.模型的评价和优化...................................................10

7.参考文献：..........................................................11

8.附录................................................................13

参考文献...............................................................19

数学模型课程结业论文

1.问题重述

要铺设一条A-4…-4s的输送天然气的主管道，如图一所示（见下页）。

可以生产这种主管道钢管的钢厂有s,,s2,-,s7o图中粗线表示铁路，单细线表示

公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路）,

圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km）。

为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂号在指定期限

内能生产该钢管的最大数量为S.个单位，钢管出厂销价1单位钢管为由万元，如

下表:

i1234567

Si80080010002000200020003000

Pi160155155160155150160

1单位钢管的铁路运价如下表:

里程（km）<300301~350351~400401~450451—500

运价（万元）2023262932

里程（km）501~600601—700701—800801—900901—1000

运价（万元）3744505560

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响

最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出

相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网

络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型

和结果。

数学模型课程结业论文

2问题分析

本题以需要铺设一条输送天然气的主管道为背景，让我们制定一个主管道钢管

的订购和运输计划，使得总费用最小。可见，这是一个规划问题，根据若干约束条

件，求出使目标值最小的最优解。

本题的第一问涉及图论的相关知识，我们把图中各个结点用每单位运费带权，

通过构造出带权邻接矩阵，利用Floyd算法，可以求出任意两结点最短路。依据此

方法，可以得出从钢厂E到地点A,的最小单位运价。然后利用非性规划中的整数

规划就可以得出总费用最低的方案。因为铺设管道都需要经过地点A),所以应优

先考虑钢厂B到地点&的情况。其中，入(/为0—1决策变量，决定是否要从钢厂

B往A运输钢管。

对于第二题，要求我们对钢厂单位钢管的价格和钢厂钢管的产量的上限对最优

解的灵敏度分析，我们用微分思想，只让其中一个量在一定范围内变化，观察最优

解的变化，若这个量的变化使最优解变化很大，表明这个量对最优解的灵敏度高。

第三题是第一题拓展，需要铺设的管道部是线形，而是呈树状，这就需要我们

对铺设方式做一些一般性的拓展。

2

数学模型课程结业论文

3.模型的符号说明与假设

3.1模型的符号说明

（一）符号说明

A：钢管出厂销价1单位钢管的价格；

Si：钢厂跖在指定期限内能生产该钢管的最大数量；

xij：决策从钢厂Sj运输钢管到的决策变量；

咐：从钢厂S运输钢管到Ay的数量；

Qu：从钢厂Sj运输钢管到的最小单位运费；

144+/:地点A到4+1的距离；

lj：运送到Aj的钢管往左边铺设的长度；

rj：运送到A,的钢管往右边铺设的长度；

h:钢管的铺设总费用。

3.2模型假设

模型1的假设：

1、假设1km主管道钢管称为1单位钢管，1km的路程称为1单位长度，火车、汽

车运输量以1单位钢管作为最小单位，以1单位长度作为最小运输路程。

2、假设不考虑钢管装车和卸车的费用。

3、假设A,4,…为钢管的主要需求点，考虑运输到4*2,…,45后再进行钢管

铺设。

4、假设一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

5、公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

6、工地运输费用和时间没有关系。

3

数学模型课程结业论文

4.模型准备

我们把站点看作结点，把公路或铁路看成边，就构成了图G,由于此图是一个

连通图，故图中任意结点都有路可走。我们完全可以给图中的每条边赋予单位运量

的费用，这样就形成了加权图。我们把图的结点设成匕,为,小，39,这样，根据带权

图就可以构造出带权邻接矩阵卬39x39,用来表示每个相邻结点的权。接下来用

Floyd算法求任意两点间的最短路039X39。

以下是Floyd算法的步骤：

Dij：i到j的距离.

R“i到j之间的插入点.

输入：带权邻接矩阵

(1)赋初值：

对所有i,j,41Wig,5-j,k«-1；

(2)更新du，%

对所有i,j,若4k+dkj<4j,则4j-d1k+dkj，i；j~k；

(3)若卜=丫，停止，否则k«-k+l,转(2)o

4

数学模型课程结业论文

5.模型的建立与求解

问题一：

我们通过模型准备求得了从钢厂E到地点A）的最小单位运费Qq,这样就可

715

以表示出从钢厂Sj到地点A的运费2yq那么总运费就是洛/。因

i=lJ=1

715

为每个钢厂Sj的单位钢管售价为Pi，则总的订购费用为ZEp，4%。

i=lj=\

我们的目标是使总费用最少，费用包括订购钢管的费用，运输钢管的费用和铺

设钢管的费用，所以目标函数为：

715715

mmzq

z=lj=\i=lj=\

约束条件“一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位”：

15

工（:汽>500,z=1,2...7

j=i

“钢厂可在指定期限内能生产该钢管的最大数量为瓦个单位”：

800:

800|

1000|

15

^lCijXij~2000|,/=1,2...7

7=12000|

2000|

,3000|

7

需要铺设的管道总长度为5171个单位：

715

ZE。衿=5171

i=\j=\

根据假设“火车、汽车运输量以1单位钢管作为最小单位”：

cij为大于零的整数变量

xij为0-1决策变量

接下来讨论铺设问题:

5

数学模型课程结业论文

铺设的要求是把钢管运输到A/点后往管道全线运输，所以管道铺设费用受地

点A）的接收钢管量的约束。要铺设A,和A,*］之间管道，就必须要先通过A,或

Aj+1，为了方便模型的建立，我们假设不跨点铺设，那么对于A,•和a”］两点，有:

rj+lj+l=|A/.+1|

对4.的接收钢管量：

7

^cijxij=lj+rj,j=\,2..A5

i=\

这样就把A,的接收钢管量限制在一定的范围内，能使得钢管不跨点铺设。

铺设费用：

7

〃=0.2(CC+1)/2+G(G+1)/2)

/=1

最终模型一为:

7157157

minz=ZZPiJj/j+ZZ2凸马+0.1^Q&+1)/2+。亿+1)/2)

i=ly=l(=1；=11=1

(15

/c,.x>500,i=1,2...7

lJU;'

六1

15

yC..X..<(800,800,1000,2000,2000,2000,3000)r,z=1,2...7

j=l

715

ZZe%=5171

s.t.:i=\j=l

G+4+i=1Aj4+j

7

Ec/ij=lj+%j=1,2...15

i=l

Cjj>0且为整数

Xjj—0,1

用历IgO软件编程，可得出最优解为1291284万元。相关数据如下:

6

数学模型课程结业论文

从钢管厂S,的订购量:

i1234567

Si80080010005005571014500

问题二：单位钢管销售价变化的影响

p增加p初值总费用总费用增长sis2s3s4s5s6s7

-20%128.01253032-2.00%800800100001298.7891272.2110

-10%144.01265832-1.00%800800100001298.2041272.7960

pl5%168.012850320.50%800800100001297.0251273.9750

10%176.012914321.00%800800100001296.5161274.4840

20%192.013042322.00%800800100001294.9561276.0440

-20%124.01253832-1.94%800800100001298.1731272.8270

-10%139.51266232-0.97%800800100001297.921273.080

p25%162.812848720.49%800800100001294.9751276.0250

10%170.512910320.97%800800100001291.7741279.2260

20%186.013034321.94%800800100001297.4651273.5350

-20%124.01247632-2.42%800800100001295.4911275.5090

-10%139.51263132-1.21%800800100001297.4071273.5930

P35%162.812864320.61%800800100001292.7321278.2680

10%170.512941321.21%800800100001287.1541283.8460

20%186.013074362.25%800800507.10401592.6471471.2490

-20%128.01255861-1.78%80080010001482010890

-10%144.01275883-0.21%800800100087150012000

P45%168.012786320.00%800800100001299.8641271.1360

10%176.012786320.00%800800100001295.0381275.9620

20%192.012786320.00%800800100001305.6141265.3860

-20%124.01231067-3.72%800800599.687701952.31210190

-10%139.51256718-1.71%800800100001474.51096.50

P55%162.812851180.51%8008001000057120000

10%170.512895150.85%8008001000057120000

20%186.012918291.03%8008001000571020000

-20%120.01220664-4.53%8008001000057120000

-10%135.01250664-2.19%8008001000057120000

p65%157.512875280.70%800800100001403.51167.50

10%165.012960201.36%80080010000147210990

20%180.013119432.61%80080010000154710240

-20%128.012786320.00%800800100001297.4281273.5720

-10%144.012786320.00%800800100001297.4281273.5720

P75%168.012786330.00%800800100001297.4281273.5720

10%176.012786330.00%800800100001297.4281273.5720

20%192.012786340.00%800800100001297.4281273.5720

7

数学模型课程结业论文

由上表可知，无论各个厂家的单位钢管销售价如何变化，在85%情况下订购方

案不包含厂家s4,100%不包含厂家s7；同时，当厂家s5和厂家s6的单位钢管销售

价发生变化时，对方案中总运费的影响最大，厂家si,s2,S3发生变化时，对总运

费的影响较小。

由表中数据可知，第四个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用的影响最

大。

现在我们把司做变化变成4+△$,，(i=L2...7),程序运行后，观察目标函数z

的变化大小。

由表中数据可知，第一个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用

的影响最大。

问题三：

问题三在问题二的基础上添加了管道的铺设路线而且增加的管道呈树状，不是

简单的线形。观察到a和47结点有三条管道铺设路径，比第一问中的A结点最大

管道铺设路径数多一条。针对这个问题，我们进行分析。

对模型一的符号说明中：

lj：运送到A)的钢管往左边铺设的长度；

rj：运送到A/的钢管往右边铺设的长度；

我们追加一个符号说明：

mj：运送到A/的钢管往第三个方向铺设的长度；

这样，模型一中对A,的接收钢管量：

7

Zcijxij=6+0,./=1,2...15

1=1

这条约束条件就变成：

7

Xcijxij=lj+rj+加j,/=1,2...21

/=1

至于

1+4+1=134”

这条约束可以根据具体问题具体分析。

如：对于4点，及其附近的点，应满足：

8

数学模型课程结业论文

4+4=1AAI

与+4o=lAAoI

^9+^16=1AA6I

《6=46=0

其余点的约束这里就不赘言，总之满足每相邻结点的钢管长度等于这两个结点

往这部分管道铺设的钢管数之和。

易得出模型二：

7217217

1

minz=ZZPJjXij+工Z0yq内+°-S«&+1)/2+/;6+D/2+吗(吗+1)/2)

/=1j=\i=lj=lz=l

<21

ciixij>500,z=1,2...7

尸

21

ZCijXy<(800,800,1000,2000,2000,2000,3000/,z=l,2...7

j=l

721

2；£C..X..=5903

3.4../=iy=]

7

fc/ij=/j+o+吗,/=l,2...21

i=l

每相邻结点的长度等于这两结点往相互方向铺设的钢管数和

与20且为整数

、%=°」

S]->A：605S]―>4：195

S2TA2：154

S?—>A4：2355,2->A：IS>一%A：85S)-，：325

S3―yA：210S3—2：59S3―>Ag：689S3―>A,^：42

§574:387Ss-Ao：351S574：390S5—A7：175

§6—：

110S6—&145：—》:101§6~•438

S6TA4：541->A5：150s$-As:7。泉~1A":85

TA?。：305s6—>4”55

从上表可看出，从各S点到各A点共有7*21=147条路线，从中选择路线组合形成

最优方案，用lingo求解得最优方案。

用山电。软件编程，可得出最优解为1401458万元。相关数据如下：

S1S2S3S4S5

800.0000800.00001000.00001303.000

9

数学模型课程结业论文

6.模型的评价和优化

本文用邻接矩阵求加权图的最短路径的方法、原理成熟。用非线性整数规划求

解最优值，引用了决策变量，思路清晰，易于理解。模型综合使用matlab,lingo

软件计算出了优化数据，较准确可靠。在模型二作一般性讨论，使模型更具一般化。

模型一可以进一步用图论的知识找出具体线路根据具体情况进一步改进，模型三在

模型一的基础之上加之图2的具体情况建立一般性还有待优化，可以进一步优化树

状图的思想使模型3的结果更优化。模型的缺点是，由于引用了决策变量，所以使

得程序运行过慢。一种改进方法是略去决策变量，用逻辑判断把钢管的订购量限定

在零或大于500,这样，程序运行时间加快很多

10

数学模型课程结业论文

7.参考文献：

【1】刘卫国，MATLAB程序设计教程，中国水利水电出版社，2010.2

[2]单峰，数学建模，北京.国防工业出版社，201.2

11

数学模型课程结业论文

12

数学模型课程结业论文

8.附录

%1单位钢管从SL...S7到A1....A15最短运费

formatshort

n=39;

A=zeros(n,n);

A(8,l0)=450;A(9,l0)=80;A(10,11)=1150;A(11,16)=1100;A(l2,13)=306;

A(13,14)=195;A(1,14)=20;A(1,16)=202;A(2,l6)=1200;A(16,17)=720;

A(3,17)=690;A(17,18)=520;A(18,19)=170;A(4,19)=690;A(19,20)=160;

A(5,l5)=462;A(15,19)=88;A(20,21)=70;A(20,22)=320;A(22,23)=160;

A(6,23)=70;A(23,24)=290;A(7,24)=30;

forj=l:n

fori=l:j-l

A(j,i)=A(ij);

end

end

C=zeros(n,n);

fori=l:n

forj=l:n

ifA(i,j)==0C(i,j)=0;

elseifA(i,j)>0&A(i,j)<=300C(i,j)=20;

elseifA(ij)>300&A(i,j)<=350C(i,j)=23;

elseifA(ij)>350&A(i,j)<=400C(i,j)=26;

elseifA(i,j)>400&A(i,j)<=450C(i,j)=29;

elseifA(i,j)>450&A(i,j)<=500C(i,j)=32;

elseifA(ij)>500&A(i,j)<=600C(i,j)=37;

elseifA(i,j)>600&A(i,j)<=700C(i,j)=44;

elseifA(i,j)>700&A(i,j)<=800C(i,j)=50;

elseifA(i,j)>800&A(i,j)<=900C(i,j)=55;

elseifA(ij)>900&A(i,j)<=1000C(i,j)=60;

elseC(ij)=60+ceil((A(ij)-1000)/100)*5;

C(iJ尸C(j,i)

end

end

end

B=zeros(n,n);

B(8,26)=3;B(9,27)=2;B(11,28)=600;B(l2,29)=10;B(13,30)=5;

B(14,31)=10;B(1,31)=31；B(16,32)=12;B(17,33)=42;B(18,34)=70;

B(15,35)=10;B(21,36)=10;B(22,37)=62;B(6,38)=110;B(23,38)=30;

B(24,39)=20;B(7,39)=20;

B(25,26)=104;B(26,27)=301;B(27,28)=750;B(28,29)=606;B(29,30)=194;

B(30,3l)=205;B(31,32)=201;B(32,33)=680;B(33,34)=480;B(34,35)=300;

B(35,36)=220;B(36,37)=210;B(37,38)=420;B(38,39)=500;

fori=l:n;

fbrj=l:n;

13

数学模型课程结业论文

end

end

fbrj=l:n

fori=l:j-l

B(j,i)=B(i,j);

end

end

fori=l:n

forj=l:n

ifA(i,j)=O;

A(i,j)=inf;

elseA(i,j)=inf;

end

end

end

Z=B+C;

T=Z;

m=l;

whilem<=n

fori=l:n

forj=l:n

ifT(ij)>T(i,m)+T(mj)

T(ij)=T(i,m)+T(m,j);

end

end

end

m=m+l;

end

M=zeros(n,n);

fori=l:7

forj=25:n

M(i,j)=T(ij);

end

end

!求最优运输结果

model:

sets:

sell/1..7/:p,s,x,m;

need/1..15/:t,w,d;

link(sell,need):c,y;

endsets

data:

p=160155155160155150160;

s=80080010002000200020003000;

14

数学模型课程结业论文

d=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,0;

c=170.7160.3140.298.63820.53.121.264.29296106121.2

128142

215.7205.3190.2171.611195.58671.2114.2142146156171.2

178192

230.7220.3200.2181.6121105.59686.248.2828696111.2

118132

260.7250.3235.2216.6156140.5131116.284.262516176.2

8397

255.7245.3225.2206.6146130.5121111.279.257335171.2

7387

265.7255.3235.2216.6156140.5131121.284.262514526.2

1128

275.7265.3245.2226.6166150.5141131.299.276665638.2

262;

enddata

min=@sum(sell(i):p(i)*x(i))+0.1*@sum(need(j):t(j)*(t(j)+l)/2+w(j)*(w(j)+l)/2)+@sum

(link(i,j):c(i,j)*y(i,j));

@sum(sell(i):m(i))<=7;

@fbr(sell(i):x(i)>=500*m(i));

@for(sell(i):x(i)<=s(i)*m(i));

@fdr(sell(i):@sum(need(j):y(i,j))=x(i));

@fbr(need(j):@sum(sell(i):y(ij))==w(j)+t(j))；

@for(need(j)[j#ne#15:w(j)+t(j+1)=d(j));

t(l)=0;w(15)=0;

@fbr(sell(i):@bin(m(i)));

end

%问题三1单位钢管从S1....S7到A1....A15最短运费

formatshort

n=39;

A=zeros(n,n);

A