高中数学《分层抽样》导学案

2.1.3分层抽样

卜课前自主预习

1.分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体画分成互不交叉的层,然后画按照一定的比

例，从各层回独立地抽取一定数量的个体,将各层抽取出的个体合在一起作为

样本，这种抽样的方法叫分层抽样.

2.分层抽样的步骤

(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分，分层需遵循画不重复、不遗

遍的原则.

(2)按比例确定每层抽取个体的个数，抽取比例由每层个体占回总体的比

例确定.

(3)各层分别按回简单随机抽样的方法抽取.

(4)综合每层抽样，组成样本.

口自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)分层抽样实际上是按比例抽样.()

(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样.()

(3)分层抽样中不能用简单随机抽样或系统抽样.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做

(1)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高

和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用抽样.

答案分层

解析因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用分

层抽样.

(2)一个班共有54人，其中男女人数比为5:4,若抽取9人参加教改调查会，

则应抽取男同学人.

答案5

解析男女同学每人被抽取的可能性是相同的，所以应抽取男同学］x9=

5(人).

(3)(教材改编P64T5)某学校有教师132人，职工33人，学生1485人.为了

解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学

生中应抽取人.

答案45

解析由题意知本题是一个分层抽样方法，

•.•学校有教师132人，职工33人，学生1485人，采用分层抽样的方法从以

上人员中抽取50人进行抽查，

，每个个体被抽到的概率是不3芸匚凌正=1，

1JZI3JI1।oJ。。

•..学生1485人，.•.在学生中应抽取1485义太=45(人).

卜课堂互动探究

探究1分层抽样的概念

例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般

干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从

中抽取20人，用下列哪种方法最合适()

A.系统抽样法B.简单随机抽样法

C.分层抽样法D.随机数法

(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若

干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()

A.每层等可能抽样

B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样

D.所有层抽取个体数量相同

［答案］(1)C(2)C

［解析］(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样.

(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保

证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.

拓展提升

使用分层抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，

即遵循不重复、不遗漏的原则.

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽

样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.

【跟踪训练11下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是()

A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1〜40.有一次报告

会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

C.某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，

现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量

D.从50个零件中抽取5个做质量检验

答案C

解析A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简

单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用

分层抽样方法；D与B类似.

探究2分层抽样的应用

例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的

有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有

关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应

该怎样抽取？

［解］用分层抽样来抽取样本，步骤如下：

(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁

的职工；50岁及50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为然=/则在不到35岁的职工中抽

取125x1=25(人)；

在35岁至49岁的职工中抽取280x1=56(人)；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95x1=19(A).

(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本.

(4)汇总每层抽样，组成样本.

拓展提升

利用分层抽样抽取样本的操作步骤

(1)将总体按一定标准进行分层；

(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比;

（3）按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本数；

（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）；

（5）最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.

【跟踪训练2]某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调

查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

很喜爱喜爱一般不喜爱

2435456739261072

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行

更为详细的调查，应怎样进行抽样？

解采用分层抽样的方法，抽样比为T幕

“很喜爱”的有2435人,应抽取2435义器212（人）;

“喜爱”的有4567人，应抽取4567X*心23（人）；

“一般”的有3926人，应抽取3926义志心20（人）；

“不喜爱”的有1072人，应抽取1072X^5p5（人）.

因此，采用分层抽样的方法在'‘很喜爱"''喜爱”"一般”“不喜爱”的人

中应分别抽取12人、23人、20人、5人.

探究3三种抽样方法的综合应用

例3为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学

年考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行（已知

该校高三年级共有14个教学班，每个教学班50人，并且每个班内的学生都已经

按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同）.

①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他

们的学习成绩；

②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14名学生的成绩；

③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取

100名学生进行考查（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好

学生有420名，普通学生有175名）.

根据上面的叙述，试回答下列问题：

（1）上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方

式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？

（2）上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？

(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤.

［解］(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试

成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中

样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式

中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方

式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.

(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二

种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分

层抽样法和简单随机抽样法.

(3)第一种方式抽样的步骤如下：

第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；

第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取14名学生，考察其考

试成绩.

第二种方式抽样的步骤如下：

第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为

%;

第二步：在其余的13个班中，选取学号为x+50A(lWZW13,ZGZ)的学生，

共计14人.

第三种方式抽样的步骤如下：

第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，

普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；

第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100：700

=1：7,所以在每层抽取的个体数依次为竽，写，手，即15,60,25；

第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好

生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人；

第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本.

拓展提升

(1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生

活中有着广泛的应用.

(2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切

联系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.

(3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.

【跟踪训练3】某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三

年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽

样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按

一、二、三年级依次统一编号为001,002,003,…，270；使用系统抽样时，将学

生统一随机编号为001,002,003,…，270,并将整个编号平均分为10段.如果

抽得的号码有下列四种情况：

0007,034,061,088,115,142,169,196,223,250；

(2)005,009,100,107,111,121,180,195,200,265；

@011,038,065,092,119,146,173,200,227,254；

@036,062,088,114,140,166,192,218,244,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是()

A.②③都不能为系统抽样B.②④都不能为分层抽样

C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样

答案D

解析系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距

还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一

个编号是否在001〜027范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则

分段间隔k座270=27,④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，

因此排除A,C；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4：3：3,由

于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001〜108范

围内要有4个编号，在109〜189和190〜270范围内要分别有3个编号，符合此

要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽

样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.

f----------------------------------------1网会提加---------------------------

1.分层抽样的几个要点

(1)分层抽样适用于总体数目较多，且由差异明显的几部分组成的情况；

(2)分成的各层互不交叉；

(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即其中〃为样本容

量，N为总体容量；

(4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选

用不同的抽样法；

(5)在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层

无关.

2.三种抽样方法的联系与区别

联系：(1)都能保证每个个体被抽到的可能性相等.

（2）简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，系统抽样和分层抽样最终

都要由简单随机抽样来实现.

区别：（1）简单随机抽样适合总体容量和样本容量较少的问题，系统抽样和

分层抽样适合总体容量和样本容量较多的问题.

（2）当总体中的个体属性相对于所调查的内容有群体性差异时应采用分层抽

样，反之则采用系统抽样.

（3）系统抽样是等距离均衡分组，分层抽样是按属性相近的群体分组.

卜随堂达标自测

1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状

况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法

是（）

A.简单随机抽样B.抽签法

C.随机数表法D.分层抽样

答案D

解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例

相同，因此用的是分层抽样.

2.对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系

统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别

为P1，夕2，P3，则（）

A.P1=P2Vp3B.P2=P3<P1

C.Pl=P3Vp2D.P1=P2=P3

答案D

解析不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样,

每个个体被抽中的概率均为

3.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计

三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在

这三校分别抽取学生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人,10人

答案B

,7Qf）1

解析先求抽样比治=访工就口7^^=土，再各层按抽样比分别抽取，

IV3OUU十十1KUU12U

甲校抽取3600义击=30（人），乙校抽取5400X击=45（人），丙校抽取1800X春

=15（人），故选B.

4.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层

抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，

已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,

则应从一年级本科生中抽取名学生.

答案60

4

解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为立=7*300=60.

4十〉十，十6

5.某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125

人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20

的样本.按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？

解用分层抽样方法抽样.

..,■^=表，/.200X^=8,125Xy7=5,50X^=2.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

[课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.将A,B,C三种性质的个体按1：2：4的比例进行分层抽样调查，若抽

取的样本容量为21,则A,B,C三种性质的个体分别抽取（）

A.12,6,3B.12,3,6C.3,6,12D.3,12,6

答案C

解析由分层抽样的概念，知A,B,C三种性质的个体应分别抽取21X；=

24

3,21X-=6,21X]=12.

2.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人

群的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示：

年龄12―20岁20〜30岁30~40岁40岁及以上

比例14%45.5%34.5%6%

为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为

200的样本进行调查，那么应抽取20〜30岁的人数为（）

A.12B.28C.69D.91

答案D

解析由分层抽样的定义得应抽取20〜30岁的人数为200X45.5%=91.

3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分

别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安

全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数

之和是（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比方来抽取，本题中抽样比

为赤工77普不工^=1因此植物油类应抽取iox/=2（种），果蔬类食品应抽

rUI1UIDUINU*-*J

20xg=4（种），因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2+4=6.

4.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽

样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是（）

A•吉B.表C焉D.j

答案D

样本容量

解析在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为.南舞,所

以每个个体被抽取的可能性是2需01

5.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独

立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰

分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，

凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有

甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100

钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误

的是（）

41

A.甲应付51而钱

24

乙应付诉钱

B.321W

C.丙应付16需钱

D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

答案B

解析由分层抽样可知，抽样比为■丽=4,则甲应付《X560

30U十33U十13UIvy1U7

=51瑞（钱）；乙应付温X350=32益（钱）；丙应付毛X180=16^（钱）.故选

B.

二、填空题

6.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中

抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，

则乙设备生产的产品总数为件.

答案1800

解析设乙设备生产的产品总数为无件，则甲设备生产的产品总数为（4800

_、杜由前*歼504800-x

x）件.由赵^思，何OQ4800，

解得x=1800.

7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为

检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号

的轿车依次应抽取的辆数为.

答案6,30,10

解析设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，

x___________z_卜=6,

则有＜1200—6000—2000，解得*=30,故填6,30,10.

.x+y+z=46,L=10.

8.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”

两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加

一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级高二年级高三年级

泥塑abC

剪纸XyZ

3

其中x：y：z=5：3：2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的］为

了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，

则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人.

答案6

3

解析解法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的率故“剪纸”

社团的人数占两个社团总人数的东2

所以“剪纸”社团的人数为8OOX|=32O.

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为二十二=六三=。，

x+y+z2+3+510

3

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320义行=96.

由题意知，抽样比为藕==,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数

为96X==6.

解法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的率3故“剪纸”社团

的人数占两个社团总人数的皂2

2

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50X5=2().

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为=立，广白

x+y+z2+3+510

3

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20X市=6.

三'解答题

9.某单位有技师18人、技术员12人、工程师6人.需要从这些人中抽取

一个容量为，?(〃WN*)的样本，如果采用系统抽样的方法抽取，不用剔除个体；如

果采用分层抽样的方法抽取，各层抽取结果都是整数；如果样本容量增加1，则

在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量.

解依题意，知总体容量为6+12+18=36.

当样本容量是〃时，由题意知，系统抽样的间隔为叠，分层抽样的抽样比是

亲抽取工程师的人数为£X6=£,技术员的人数为aX12=W，技工的人数为亲

3。3。。3。33。

n

义18=1

・•・〃应是36的约数且是6的倍数,即〃的可能取值是6,12,18.

当样本容量为〃+1时，系统抽样的间隔为3由5.

n+1

・・・3这57必须为正整数，，〃只能取6,即样本容量〃=6.

n-r1

B级：能力提升练

10.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂

台赛