高中数学试题及答案解析

高中数学试题及答案解析

注意事项：

1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二二总分

题号

「89~151617181920212223

选择题(每小题3分，共24分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代

号字母填在题后括号内。

1、-2的相反数是【】

1、1

(A)2(B)-I2|(C)-(D))--

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】

gjo米©

(A)(B)(C)(D)

3、方程(x-2)(x+3)=0的解是［］

(A)X=2(B)X=-3(C)X=-2,XZ=3(D)>(=2,xz=-3

4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46,47,48,48,49,49,49,50.则这8个人体

育成绩的中位数是【】

(A)47(B)48(C)48.5(D)49

5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字那么在原正方形中，

,w$

与数字“2”相对的面上的数字是【】

(A)1(B)4(C)5

6、不等式组的最小整数解为【】

卜42

(A)“卜十?胆、0(5(D)2

7、如图，CD是］0的直径，弦AB上CD于点G,直线EF与］0相切与点D,则

下列结论中不一定正确的是【】//EF("I

(A)AG=BG(B)AB

(C)AD//BC(D)LABC=LADC/

8、在二次函数y=-K+2x+l的图像中,若y随X的增大而增大，则X的取值范围是一,

(A)x<1(B)x>1(C)x<-1(D)x>-1

二、填空题(每小题3分，共21分)

9、计算：|-3I-74=

10,将一副直角三角板ABC和DEF如图放置(其中ZA=60°,ZF=45*),使点

E落在AC边上，且ED〃BC,则/CEF的度数为

11、化简：-+----________________

Xx(x-l)

12、已知扇形的半径为4cm,圆心角为120。，则此扇形的弧长是cm

13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1,-2,3,4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取

两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是

14、如图，抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3),若平移该抛物线使

其顶点P沿直线移动到点P(2,-2),点A的对应点为A,则抛物线上PA段扫过

的区域(阴影部分)的面积为

15、如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,

把B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当^CEB'为直角三角形时，BE的长

为________

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16、(8分)先化简，再求值：(x+2)2+(2x+1)(2x-1卜4x(x+1),其中X=H2

17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要

成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表

组别观点频数(人数)

A大气气压低，空气不流动80

B地面灰尘大，空气湿度低m

C汽车尾气排放n

D工厂造成的污染120

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

(1)填空：m=,17=扇形统计图中E组所占的百分比为

(2)若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数

(3)若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

18、(9分)如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm(射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的

速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间

为t(s)

(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，求证：口ADE》OCDF

(2)填空：

①当t为______s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为s时，以A,F,C,E为顶点的四边形是直角梯形。

19、(9分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加

高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原

坝体的高为BE,背水坡坡角ZBAE=68"，新坝体的高为DE,背水坡坡角ZDCE=60"。求工程完工后背水

坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据:

sin685=0.93,cos68,=0.37,tan68*=2.50,A/3=1.73)

20、(9分)如图，矩形0ABC的顶点A,C分另IJ在x轴和y轴上，点8的坐标为(2,3)。双曲线.y=/*＞。)的

图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE。

(1)求k的值及点E的坐标；

(2)若点F是边上一点，且△FBC口△DEB,求直线FB的解析式

21、(10分)某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156

元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。

(1)求这两种品牌计算器的单价；

(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售,

B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要y元，购买个B品牌的计算

器需要y2元，分别求出关于Y、y2的函数关系式

(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计

算器更合算？请说明理由。

22、(10分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,LB=ZE=30°

(1)操作发现

如图2,固定口ABC,使口DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB

边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是—

◎设DBDC的面积为S,口AEC的面积为S2。则S与S2的数量

（图1）（图2）

关系是

(2)猜想论证

当□DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数

量关系仍然成立，并尝试分别作出了口BDC和口AEC中BC,CE边上的高，请你

证明小明的猜想。

(3)拓展探究

已知LABC=60°,点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,

。日IAB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使SDcF=SBDC,

请直接写出相应的BF的长

（图4）

23、(11分)如图，抛物线y=-X?+bx+c与直线丁=：1-2交于C,D两点，其中点C在y轴上，点D的

7

坐标为(3.、)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE上x轴于点E,交CD于点F

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以0,C,P,F为顶点的四边

形是平行四边形？请说明理由。

(3)若存在点P,使二PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标

4

2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生试卷

数学参考答案

-、选择题(每小题3分，共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字

母填在题后括号内。

1、-2的相反数是【】

(A)2(B)-|2|(C)I

【解析】根据相反数的定义可知：-2的相反数为2

【答案】A

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】

【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做

轴对称图形。

中心对称图形是指平面内，如果把•个图形绕某个点旋转180。后，能与自身重合，那么就说这两个

图形关于这个点成中心对称。

结合定义可知，答案是D

【答案】D

3、方程(x-2)(x+3)=0的解是

(A)x=2(B)x=-3(C)x=-2,x2=3(D)X=2,x2=-3

【解析】由题可知：x-2=0或者x+3=0,可以得到：X=2,x2=-3

【答案】D

4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46,47,48,48,49,49,49,50.则这8个人体

育成绩的中位数是【】

(A)47(B)48(C)48.5(D)49

【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。

本题的8个数据己经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是48和49,它们的平均数是48.5。因此中位

数是48.5

【答案】cnq-

5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形f~~一—

中，与数字“2”相对的面上的数字是''J一—

(A)1(B)4(C)5(D)6[6]

【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”(第5题)

对应。

【答案】B

6、不等式组~2的最小整数解为［］

x+2>l

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【解析】不等式组的解集为T<xW2,其中整数有0,1,2。最小的是0

【答案】B

7、如图，CD是］0的直径，弦AB工CD于点G,直线EF与］。相切与点D,则

下列结论中不一定正确的是【】

(A)AG=BG(B)AB//EF

(C)AD//BC(D)LABC=LADC

【解析】由垂径定理可知：(A)一定正确。由题可知：EF工CD,又因为AB工CD,

所以AB〃EF,即(B)一定正确。因为ZABC和ZADC所对的弧是劣弧AC,根据

同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。

【答案】C

8、在二次函数y=-x2+2x+l的图像中，若y随X的增大而增大，贝卜的取值范围是。

(A)x<1(B)x>1(C)x<-1(D)X>-1

【解析】二次函数y=-x2+2x+l的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数

y=-x?+2x+l的对称轴是：x=-=—―2—・="，所以,x<1

la2x(-1)

【答案】A

二、填空题(每小题3分，共21分)

9、HW：T卜J生

【解析】原式=3-2=1

【答案】1

10、将一副直角三角板ABC和DEF如图放置(其中ZA=60°,ZF=45*),使点E落在AC边上，且

ED//BC,则ZCEF的度数为

【解析】有图形可知：ZACB=30°,ZDEF=45°,因为ED〃BC,

所以LDEC=LACB=30"ZCEF=LDEF-LDEC=45°-30°=15°

【答案】15

11、化间：一1+----1---=________________

xx(x-l)

【解析】原式

x(x-l)x-1

1

【答案】

X—1

12、已知扇形的半径为4cm,圆心角为120°，则此扇形的弧长是

【解析】有扇形的弧长公式i，="可得：弧[长/=〃仃120x4x18

180180

【答案】-Jt

3

13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1,-2,3,4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取

两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是

【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2,-3,-4,-6,—8,12六种情况，其中积为负数的有-3,—4,

4

-6,一8四种情况，所以概率为一，即合

-

14、如图，抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3),若平移该抛物线使

其顶点啮直线移动到点P(2,-2),点A的对应点为A,则抛物线上PA段扫过

的区域(阴影部分)的面积为

【解析】阴影部分PAA'P'可认为是一个平行四边形,

PP=<[2-(-2)2+(-2-2)7=442

过/作ztfl_LPP,则.3=。41皿450=3*正=柜

21

:阴影部分P4A'P'的面积为S=PP><AB=4V2><2_72=12

【答案】12

15、如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,

把CB沿AE折叠，使点B落在点B'处，当ACEB'为直角三角形时，BE的长

为_______

【解析】

①当LEB'C=90°时，由题可知：LABE=LAB'E=90°,即：A,B',C在

同一直线上，B，落在对角线ACh,此时，设BE=x，则B'E=x,CE=4-x,B'C=AC-ABi=2,在

3

RtZ\BEC中，解得，1=-

7

②当ZB'CE=90°时，即B'落在CD上，AB=AB'=3,此时在RtZ\ADB'中，

斜边AB'大于直角边AD,因此这种情况不成立。

③当ZB'EC=90°时，即B'落在AD上，此时四边形ABEB,是正方形，所以AB=BE=3,

【答案】3或二

2

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16、(8分)先化简，再求值：(x+2)2+(2x+l)(2x-l)-4x(x+l),其中x=-72

【解答】JM^；=(x2+4x+4)+(4x2-1)-(4x2+4x)

=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x

=x2+3

J射，J^；((J2)福

17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要

成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表

组别观点频数(人数)

A大气气压低，空气不流动80

B地面灰尘大，空气湿度低m

C汽车尾气排放n

D工厂造成的污染120

E其他60

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

(1)填空：m=,77=，扇形统计图中E组所占的百分比为%o

(2)若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数

(3)若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

【解析】(1)由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：

80+20%=400

:.m=400X10%=40,n=400-80-40-120-60=100E组所占百分比是60+400=0.15=15%

(2)由题可知：D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为120+400=0.3=30%

:.100X30%=30(万人)

⑶持C组“观点”的概率为—.1

4004

【答案】(1)40;100;15%(2)30万人(3)1

4

18、(9分)如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm,射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s

的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)

(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，求证：Z\4DE=Z\CDF

证明：*/AG//BC.-ZEAD=LACB

是AC边的中点：AD=CD

又VLADE=LCDF:0ADE>]CDF

⑵填空：

①当t为s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为时，以A,F,C,E为顶点的四边形是直角梯形。

【解析】①•••当四边形ACFE是菱形时，VAE=AC=CF=EF

8

由题意可知：AE=t,CF=2t-6,.t=6

②若四边形ACFE是直角梯形，此时EF工AG

过C作CMIAG于M,AG=3,可以得到AE-CF=AM,

即t-（2t-6）=3,::t=3,此时，C与F重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE是直角梯形，此时AF±BC,

：ZXABC是等边三角形，F是BC中点，•；2t=3,得到1=一经检验，符合题意。

2

（答案】①t=6②f・士3-

2

19、（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对■原水库大坝进行混凝土培厚加

高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原

坝体的高为BE,背水坡坡角ZBAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角ZDCE=60°。求工程完工后背水

坡底端水平方向增加的宽度AC

（结果精确到0.1米，参考数据：sine^^0.93,CosGS1^0.37,tanGS5.30^,1.73）

【解答】

在R3BAE中，ZBAE=68）BE=162米

：・4£=———（米）

tanARAE250

在RgDEC中，/DCE=60°,DE=176.6米

DE176.6

•CE=«102.08（米）

tanZZXTEJs

-AC=CE-AE==102.08-64.80=37.28=37.3（JK）

即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米

20、（9分）如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2,3）。双曲线>=一（">0）的

X

图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE。

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△FBC口ADEB,求直线FB的解析式

【解答】（1）在矩形0ABC中，

B点坐标为（2,3）,I,BC边中点D的坐标为（1,3）

k,k

乂：双曲线r=一的图像经过点D（I,3）：.3=—，-k=3

r1

；E点在AB上，E点的横坐标为2.

33

乂N—经过点E,:.E点纵坐标为合，：.E点坐标为（2.一）

3

（2）由（1）得，BD=1,.BE«—,BC=2

3

-

2

BDBE即_!_=-

•AFBCcADEB,2

CFCRCF

9

455

CF=-OF=即点F的坐标为•(0,-)

5

设直线FB的解析式为y=kx+b,而直线FB经过B(2,3),尸(0,—)

3

‘3=苗+。

..r，解得，($

•.直线FB的解析式为y=：x+g

21、(10分)某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156

元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。

(1)求这两种品牌计算器的单价；

(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，

B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要y元，购买个B品牌的计算

器需要y2元，分别求出关于y、y2的函数关系式

(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计

算器更合算？请说明理由。

【解答】(1)设A品牌计算机的单价为x元，B品牌计算机的单价为y元，则由题意可知：

2x+3y=156fx»30

<<

122jr-32

即A,B两种品牌计算机的单价为30元，32元

(2)由题意可知:y=0.8X30x,即y=24x

当时，yz=32x

当x>5时，yz=32x5+32(x-5)x0.7,即yz=22,4x+48

(3)当购买数量超过5个时，yz=22.4x+48。

①当yi<y2时，24x<22.4x+48,..x<30

即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算

②当v=y2时，24x=22.4X+48,:.x=30

即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。

③当v>y2时，24x>22.4x+48,..x>30

即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算

22、(10分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合

放置，其中LC=9(T,CB=LE=30°

10

（图1）（障）

(1)操作发现

如图2,固定DABC,使DDEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空;

◎线段DE与AC的位置关系是—

◎设口BDC的面积为S,□AEC的面积为S,。则S与S,的数量关系是。

【解析】①由旋转可知：AC=DC,

,.,2C=90°,2B=LE=30°,-2A=LD=60°

.△ADC是等边三角形，VLACD=60°,

又,.,LCDE=60°-DE//AC

②过D作DNLAC交AC于点N,过E作EMLAC交AC延长线于M,过C作CFLAB交AB于点F。

由①可知：ZiADC是等边三角形，DE〃AC,DN=CF,DN=EM:CF=EM

V2C=90°,2B=30°,VAB=2AC,XVAD=ACVBD=AC

S.-IcFBDS=-ACX£M'S=S7

(2)猜想论证

当DDEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2

的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了口BDC和□AEC中BC,CE边上的

高，请你证明小明的猜想。

【证明】LDCE=ZACB=90°,ZDCM+ZACE=180°

又•.•乙ACN+ZACE=180°,..LACN=ZDCM

又VZCNA=ZCMD=90°,AC=CD

•AANC^ADMC*AN=DM

XVCE=CB,S=S2

(3)拓展探究

已知ZABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,

OE/IAB交BC于点E(如图4),若在射线B4上存在点F,使SDcF=SBDC,

请直接写出相应的BE的长

【解析】如图所示，作DF〃BC交BA于点F,作DF21BD交BA于点F2。