高中数学集合测试题(附答案和解析)

高中数学集合测试题（附答案和解析）

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=x-log2x,xeA},则AB=()

A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{1,3,4}

2.已知集合月;卜4二五71},B={0,1,2,3},则AB=()

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

3.已知集合A={1,2,3},8={y|y=2x-l,xeA},则AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3}

C.{1,3}D.{1,2,3,5}

4.己知集合A={x|x2-8x+12<。},B={xeZ|l<x<4},则AB=()

A.{1,2}B.{2,4}C.{3}D.0

5.已知集合A={xeN|14x45},8={x|0<x<5},则AB=()

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|l<x<5}D.{x|l<x<5j

6.已知R为实数集，集合A=Wk2-3x-44o},8={Hy=[n(x-i)},则()

A.{x|l<x<4}B.{x|-l<x<l)C.D.{x|x<4j

7.已知集合4=卜—一2彳一3<0},8=卜忖41},则4(AcB)=()

A.(-ao,-l]u[l,+ao)B.(^o,-l]<J(l,-K»)

C.(—1,1]D.[-1,1)

8.已知集合A={x|x>2},B={x|x(x-l)>。}，则AuB=()

A.(-8,o)B.(^»,0)u(l,+oo)

C.(-<o,0)U(2,+a))D.(2,+°0)

9.设集合A={x|y=ln(x-2)},B=1x|l<x<3),则AuB=()

A.(2,3]B.[1,+<»)

C.(2,+oo)D.(-oo,3]

10.己知集合A={x|—1<X<2},8={-2,-1,0,2,4},则低A)cB=()

A.0B.{-1,2}C.{-2,4}D.{-2,—1,4}

11.己知函数f(力=10氏X，g(x)=a-2x,若存在苔,w使得f&)=g(苍),则实

数。的取值范围是()

A.(Y,2)U(5,+O))B.(-OO,2]U[5,+OO)

C.(2,5)D.[2,5]

12.已知集合/={(工,刈>=》},N={(x,y)*+y2=[},MCN=4,则A中元素个数为

)个.

A.1B.2C.3D.4

13.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,4},8={2,3},则(“4)cb=()

A.{2}B.{2,3}C.{0,3}D.{3}

14.集合A=,xeN±.1},B=|xeN|log2(x+l)<l|,ScA,Sc8x0,则集合S的个

数为()

A.0B.2C.4D.8

15.设集合4=卜,2-X-640},B={x\lx+a<6\,且AcB={H-2〈x41},贝心=

()

A.-4B.-2C.2D.4

二、填空题

16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，A8是一条侧棱，1(i=l,2,、8)是

上底面上其余的八个点，x,=ABAE(i=l，2,L,8)则用集合列举法表示占组成的集合

17.如图，用集合符号表述下列点、直线与平面之间的关系.

(1)点C与平面尸：；

(2)点A与平面a：；

(3)直线AB与平面a：；

(4)直线CD与平面a：.

18.若集合4={1,2,3,4},3={幻24》43},则4B=.

19.已知集合A={1,2,3,4,},B={l,4,7,10,L},下有命题：

①={2,3,5,6,8,9,L}；

②若f表示对二个数乘以3减去2的运算，则对应f:A->8表示一个函数;

③A、8两个集合元素个数相等；

④V”eA,2">n2.

其中真命题序号是.

20.已知A={*Mx4a+3},&={x|-l<x<5),A8=0,则实数。的取值范围是

21.集合A={(x,y)|y=a|x|},8={(x,y)|y=x+"},C=AB,且集合C为单元素集合，

则实数a的取值范围是.

22.已知国表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2,[-1.3]=-2,⑼=0,若

A={y[y=x-[x]},B={y\0<y<m],A是yeB的充分不必要条件，则m的取值范围

是.

23.已知集合4={1,2,3},则满足Au8=A的非空集合B有个.

24.已知集合4={-1,0,1},B={X|X2-2X=0},则4口8=.

25.写出集合{-11}的所有子集.

三、解答题

26.(1)已知全集。={*1-5"410,工仁2},集合M={x|0VxV7,xeZ},

N={x|-2Wx<4,xeZ},求@N)M(分别用描述法和列举法表示结果)；

(2)已知全集1/=4=8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合A={2,46,8},求集合8;

(3)已知集合P={x|加+2奴+l=0,aeR,xeR},当集合户只有一个元素时，求实数。的

值，并求出这个元素.

〃sin2x+2

27.函数f(x)=

6/(sinx+cosx)-l

⑴若a=l,xe-y,ol求函数f(x)的值域;

⑵当xe-y,0,且/(x)有意义时，

①若。"小=求正数0的取值范围;

②当1<“<2时，求的最小值N.

「心》人4f12x+l1

28.已知集合A=,B={x|(x-l)(2x+m)<0}.

(1)当加=1时，求AB；

⑵已知〃是〃的必要条件，求实数用的取值范围.

29.已知集合A={x|y=lg(x-3)+>/9-2]},B={x\x2-9x+20<0},

C={x\a+l<x<2a-l].^C^(AB),求实数o的取值范围.

30.己知U=R,A=|x|x2-16<0|,B=^x\-x2+3x+18>o|,求AB,AB.

【参考答案】

一、单选题

1.A

【解析】

【分析】

根据对数的运算求出集合B,再根据交集的定义可求出结果.

【详解】

当x=l时，y=l-log2l=l,

当x=2时，y=2-log22=l,

当x=3时，=3-log,3,

当x=4时，y=4-log,4=2,

所以B={l,2,log23},

所以A3={1,2}.

故选：A

2.C

【解析】

【分析】

先由y=的定义域得到集合A,再根据集合交集的原则即可求解.

【详解】

对于集合A,x-l>0,即x21,贝！|A={x|x21},

所以A8={1,2,3},

故选：C

3.C

【解析】

【分析】

根据题意求出集合B,在和集合A取交集即可.

【详解】

因为集合A={1,2,3},B={y\y=2x-\,x&A\,

所以B={1,3,5},所以AB={1,3},

故选：C.

4.C

【解析】

【分析】

解出不等式V-8x+12<(),然后可得答案.

【详解】

因为A={X|X2—8X+12<0}={X[2<X<6},B={xeZ|1<x<4)={2,3}

所以AcB={3},

故选：C

5.B

【解析】

【分析】

由集合的交运算求48即可.

【详解】

由题设，集合A={1,2,3,4,5},B={x|0<x<5},

所以Ac3={l,2,3,4}.

故选：B

6.D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合A,再根据对数型函数的定义域求出集合B,最后根据补

集、并集的定义计算可得；

【详解】

解：由丁-3尤一440,即(x-4)(x+l)?0,解得—l«x<4,即

A=(X|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4),

又8=卜卜=m(彳-1)}={吊力1},所以03={x|x41},所以AuG8={x|x44}；

故选：D

7.B

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求集合A、解绝对值不等式求集合B,再应用集合的交补运算求

々(A8).

【详解】

由题设，A={x|-l<x<3},B={x|-l<x<l},

所以AB={x|-l<x<l},则4(AcB)={x|x4-l或x>

故选：B

8.B

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合B,再根据并集的定义计算可得；

【详解】

解：由x(x-l)>0,解得x>l或x<0,所以B={x|x(x—l)>O}={x|x>l或x<0},又

A={x|x>2},所以AU3=(^K),())51,+8)；

故选：B

9.B

【解析】

【分析】

根据对数型函数的性质，结合集合并集的定义进行求解即可.

【详解】

因为A=(2,”)，B={x|l<x<3},

所以AuB=[l,+8),

故选：B

10.D

【解析】

【分析】

利用补集定义求出"A,利用交集定义能求出风A)B.

【详解】

解：集合佳={x[-l<xl2},B={-2,-1,0,2,4},

则QA={x|x4-l或x>2},

.•.低A)cB={-2,-1,4}.

故选：D

11.D

【解析】

【分析】

根据条件求出两个函数在[1,2]上的值域，结合若存在与,々€[1,2],使得/(X1)=g(七),等

价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可.

【详解】

当14x42时，log/W/GYlog?2,gpO</(x)<l,则/(x)的值域为[0,1],

当14x42时，a-4<g(x)<a-2,则g(x)的值域为,

因为存在菁,使得/a)=g(X2)，

则[a-4,a—21[0,1]工0

若出—4,a-2]i[0,11=0,

则1<。一4或0>a—2,

得a>5或“<2,

则当[。-4,。-2][0,1]=0时，24a45,

即实数a的取值范围是⑵5],A,B,C错，D对.

故选：D.

12.B

【解析】

【分析】

联立方程，解方程组，考察方程组的解的组数，即为集合A的元素个数；

【详解】

也__V2

、Iy=x"?一2

联立方程得2,J解得;或

[X+y=1V2

y=­一2

所以集合M与N的交集A中的元素个数为2个；

故选：B.

13.D

【解析】

【分析】

利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】

由已知可得Q,A={0,3},因此，(^A)c8={3},

故选：D.

14.C

【解析】

【分析】

根据分式不等式和对数不等式求出集合A和8,利用交集的定义

和集合的包含关系即可求解.

【详解】

3

由一..1,得OvxW3,

x

所以A={xeN：.“={1,2,3}.

由log2(x+l)41,W-l<x<l.

所以B=[eN|log2(x+l)<l}={0,l}.

由SRA,SC8R0,知S中必含有元素1,可以有元素2,3.

所以S只有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},即集合S的个数共4个.

故选：C.

15.B

【解析】

【分析】

先求出集合A,8,再根据交集的结果求出”即可.

【详解】

由已知可得A=卜卜2Mx<3},Sx<——j

又•；4cB={x|-2VE},=

a=-2.

故选：B.

二、填空题

16.{1}

【解析】

【分析】

由空间向量的加法得：A"AB+Bq,根据向量的垂直和数量积得"=,B『=1,

484月=0计算即可.

【详解】

由题意得，x,=ABAP,=AB^AB+BP^=AB+ABBP.

又QAB_L平面84冗6，

ABLBP.,则

所以X,=A/+A8.Bq=|AB『=1,

则x,=ABA^(i=l,2,,8)=1,

故答案为：{1}

17.Cg/7AIaABr\a=BCDua

【解析】

【分析】

根据元素与集合，集合与集合之间的关系，由图可写出答案

【详解】

(1)C为元素，平面夕为集合，所以，由图可得C/6.

(2)A为元素，平面a为集合，所以，由图可得Aia.

⑶直线A8为集合，平面。为集合，所以，由图可得ABca=5.

⑷直线为集合，平面a为集合，所以，C£>ua.

故答案为：①Ce尸；②Aia；③=④COua；

18.{2,3}##{3,2}

【解析】

【分析】

由交集的运算求解

【详解】

A={l,2,3,4},B={x|2<x<3},则A8={2,3}

故答案为：{2,3}

19.①②③

【解析】

【分析】

①由补集定义直接判断；②按照函数定义进行判断；③元素一一对应即可判断；

④〃=3时，不成立.

【详解】

因为4={",€乂'},3={“|〃=3%-2,%€川,},故②正确，又6"8={3〃=3左一1或

n=3k,kwN*},故①正确；

A、B两个集合元素一一对应，元素个数相等，故③正确；当〃=3时，23<32,故④错误.

故答案为：①②③.

20.a4-4或aN5

【解析】

【分析】

由a<a+3可得AH0,根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案.

【详解】

由题意a<a+3,则AH0

要使得AB=0,则a+34-1或aN5

解得q4-4或a25

故答案为：aWT或。25

21.[-1,1]

【解析】

【分析】

由题意可得集合48表示的曲线有一个交点，可得=有一个根，当。=0时，符

合题意，当“HO时，凶=：+1，分别作出丫=凶与y=?+l的图象，根图象求解即可

【详解】

因为C=AC3,且集合C为单元素集合，

所以集合48表示的曲线有一个交点，

所以a|x|=x+a有一个根

当。=0时，符合题意，

当awO时，国=；+1,分别作出y=W与y=?+l的图象，

由图象可知‘21或时，两函数图象只有一个交点，

aa

解得0<。41或一lKa<0,

综上，实数a的取值范围是「1,1],

故答案为：[-1,1]

22.[L+8)

【解析】

【分析】

由题可得人={乂y=x-W}=[O,l),然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即

求.

【详解】

V[A]表示不超过x的最大整数，

/.[A-]<x,0<x-[x]<l,即A={y|y=x-[x]}=[0,1),

又MA是yeB的充分不必要条件，B={y|O<y</w},

.M。8,故mNl,即机的取值范围是[1,+℃).

故答案为：[L+00).

23.7

【解析】

【分析】

由Au8=A可得8=A,所以求出集合8的所有非空子集即可

【详解】

因为AuB=A,所以B=

因为4={1,2,3},

所以非空集合8={1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

所以非空集合8有7个，

故答案为：7

24.{-1,0,1,2)

【解析】

【分析】

根据给定条件求出集合B,再利用并集的定义直接计算作答.

【详解】

解方程V—2x=0得：x=0或x=2,则3={0,2},而4={-1,0,1},

所以4B={-1,0,1,2).

故答案为：{-L0,1,2}

25.0,{-1},{1},{-1,1}

【解析】

【分析】

利用子集的定义写出所有子集即可.

【详解】

由子集的定义，得集合{-11}的所有子集有：

0,{-1),{1},{-1,1}.

故答案为：0,{-1},{1},{-1,1}.

三、解答题

26.(1){x|44xV7,xeZ},{4,5,6,7}；(2){0,1,3,5,7,9,10}:(3)a=\,元素为-1.

【解析】

【分析】

(1)根据补集和交集的定义直接计算作答.

(2)利用补集的定义直接计算作答.

(3)利用元素与集合的关系推理计算作答.

【详解】

(1)由。={x|-5VxV10,xeZ},N={x|-2Wx<4,xeZ},

得：6N={x|-5Vx<-2或4VE0,xeZ},而“={x|0W7,xeZ},

所以@N)M={x|4<x<7,xeZ}={4,5,6,7}.

(2)由)=4-8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={2,4,6,8},得«,B={2,4,6,8},

所以B=赖<B)={0,1,3,5,7,9,10}.

(3)当a=0时，P=0,不符合题意，

当"HO时，因集合P只有一个元素，则方程or?+2ar+l=0有等根，A=4a2-4a=0,

此时a=l,集合户中的元素为-1,

所以〃=1,这个元素是T.

27.⑴(-co,2-20]

(2)①心2；②N=Z(Jl+2a—

【解析】

【分析】

(1)当a=l时，求得/(x)=—2"+2_,令/=sinx+cosxe[-l,l),令

sinx+cosx-l

o

zn=r-l6[-2,0),〃(机)=/(*)=初+*+2,利用双勾函数的单调性可得出函数M〃z)在

m

12,0)上的值域，即可得解；

(2)①分析可知-14三40,可得出。22,分[一忙2、也三2两种情况讨

aa\aa\a

论，化简函数p(/)="止^的函数解析式或求出函数|F(x)|的最小值，综合可得出正实

ut—1

数〃的取值范围；

(2)^n=at-le[-a-l,a-l],可得出〃«)='n+l+2aa-+2=°(〃)，分

aan

析可得出-1v1+2-a?<0<tz-1<\]l+2a-a2，利用双勾函数的基本性质结合比较

法可求得N.

⑴

5wsin2x+2

解：当a=l时，f(x)=-----------

sinx+cosx-1

贝卜+?£-(A)，令1=sinx+cosx=\^sin[x+工卜[-1,1),

因为工£一

则/=l+2sinxcosx=l+sin2x,可得5吊2无=/一1,

/2.1

设g⑺=〃力=号1,其中

令机力T,则f!!=(〃?+i『+i=_+2+2,

t—1mm

令力(加)="+\+2,其中一24〃z<0,下面证明函数〃("。在[-2,-垃)上单调递增，在

(-60)上单调递减，

任取〃4、«-2,0）旦叫＜帆2，则〃（町）一〃（生）=班+—+2-?+—+2

2（町一色）（见一团2）（小加2-2）

（町一，巧）一

町团2/4网

当一24叫vm2c一£，则町%＞2,此时〃（犯）＜〃（，巧），

当一正〈町＜网＜0,则0＜叫叫＜2,此时人（犯）＞力（“），

所以，函数〃（〃?）在[-2,-垃]上单调递增，在（-及,0）上单调递减,

贝股（叫„「«亚）=2-2&'

因此，函数.“X）在-会0）上的值域为卜8,2-20].

(2)

rIn7T7T

解：因为XG一万，°贝"+a£~49~4

I22-a

a\t+-----

设，/\/.\ar+2-aka

小P

)=(')=F"at-1

①若。/⑸},必有*与々0,因为。＞o,则心2,

当工=目时,即当a=]+立时，则p«）=/+，=r+&-]=0,可得/=1_收，合乎题

a\aa

意；

当:w/P时，即当“22且aH1+啦时，则|p（f）L=O,合乎题意.

综上所述，a＞2；

②令"="一16[一。一,贝Ij[二^"^,

nl[

则/、VaJa1\+2a-a2、,、，

p\t）=-------------------=—n+---------+2=（pin）

nan

令s（x）=x+4+2（q＞0）,下面证明函数s（x）在（0,&）上单调递减，在（荷,”）上为增函

数，

任取4、%e（0,&）且X＜工2，则公—x2＜0,0＜x1x2＜q,

所以，

4&-玉）（%-王）心电-9）

s(xj_s(%2)=|X|—~+2-1x-y++2]=(X]-%2)->0,

中2

所以，s（xj＞s（%）,故函数s（x）在（0，G）上单调递减，

同理可证函数s（x）在（«,+«＞）上为增函数，在（7,-6）上为增函数，在卜&,0）上为减

函数，

因为1<々<2,则1+2〃一〃2=一(々一1『+2£(1,2),

且1+2。-/=2。(2-。)>0，所以，y]i+2a—a2>a-i>09

又]+2々_々2_(_〃_1)=-2a~<0,1.-a—1v—Vl+2a-/，

-a-l<-yjx+la-a1<Q<a-\<^\+2a-a1，

由双勾函数的单调性可知，函数勾〃)在卜川+2a-〃)上为增函数,

在卜，1+2〃-/,0)上为减函数,在(0,a-1]上为减函数，

4a-2-2（a-l）Vl+2（z-a24a-2-2何a-1）_2（夜-1）（缶+1）

/\—7r=7r>0

a\a-\）