数学选择性必修第一册13基本计数原理的简单应用

1.3基本计数原理的简单应用

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I教材要点］

要点一两个原理的关系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问

题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中

任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的

方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.

状元随笔

加法原理乘法原理

完成一件事，共有n类办法，关键词是完成一件事，共分n个步骤，关键词是

区别一

，，分类，，“分步”

每一步得到的只是中间结果，任何一步

每类办法中每种方法都能独立地完成这

都不能独立完成这件事，缺少任何一步

区别二件事，它是独立的、一次的且每次得到

也不能完成这件事，只有各个步骤都完

的是最后结果

成了，才能完成这件事

各种方法之间是互斥的、并列的、独立各步之间是关联的、独立的，“关联”

区别三

的确保不遗漏，“独立”确保不重复

要点二两个计数原理在解决计数问题中的用法

在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，分

清是分类还是分步.

状元随笔分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择

分类加法计数原理的各类方法是相互独立的，用任何一种方法都可以完成这件事.而分

步乘法计数原理的各个步骤是相互依存的，必须完成每个步骤，才能完成这件事.

根据具体问题的特征，正确认识分类和分步的特征，才能正确选择分类加法计数原理或

分步乘法计数原理来解决问题.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“，错误的画“X”)

(1)如果完成一件事情有W个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法办(i=l,2,

3,n),那么完成这件事共有7"1〃22/3…种方法.()

(2)所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有72个.()

(3)应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况，可以适当的重复.()

2.某小组有8名男生、6名女生，从中任选男生、女生各一■名去参加座谈会，则不同

的选法有（）

A.48种B.24种

C.14种D.12种

3.一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方

法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的选法种数是（）

A.8B.15

C.16D.30

4.一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共

有不同的选派方法种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不

同的选派方法种.

勿用加"皿皿"皿川川川皿用“川皿M川加国国隰国•席摩画透叫"/皿"皿用川"川M"伽"川川""川加川川川用川加

题型一抽取与分配问题

例1在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋,

另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛,

共有多少种不同的选法？

方法核父।

求解抽取（分配）问题的方法

（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.

（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘

法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件

的抽取方法数即可.

跟踪训练15个工程队承包某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其

中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有多少种？

题型二组数问题

例2用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）四位密码？（2）

四位数？（3）四位奇数？

方法核的

1.对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特

殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.

2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，

要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.

跟踪训练28张卡片上写着0,1,2,…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一

起.

（1）可组成多少个不同的三位数？

（2）可组成多少个不同的三位偶数？

题型三涂色（或种植）问题

例3如图，要给地图A、B、C、。四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许

同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？

变式探究本例中的“3种不同颜色”改为“4种不同颜色”，结果又怎么样呢？

方法归他

解决涂色(种植)问题的一般思路

(1)按涂色(种植)的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数.

(2)按颜色(种植品种)恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.

(3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理.

(4)如果正面情况较多，可用间接法计算.

跟踪训练3将3种作物种植在如下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻

的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？

易错辨析分类标准不清致误

例4甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每

门学科只有1名冠军产生，问有多少种不同的冠军获得情况？

解析：可先举例说出其中的1种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分

别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完

成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.

第1步，产生数学学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；

第2步，产生物理学科冠军，因为夺得数学学科冠军的同学还可以去争夺物理学科冠军，

所以物理学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；

第3步，产生化学学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况.

由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4X4X4=43=64(种).

【易错警示】

易错原因纠错心得

错解：分四步完成这件事.用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的

第1步，甲同学去夺3门学科的冠军，有3问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元

种不同情况；同理，第2,3,4步分别由其素作为分步的依据.

他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自

有3种不同情况.

由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情

况共有3X3X3X3=34=81（种）.

要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识

竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产

生”.但错解一、二中都有可能出现某一学

科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，

另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情

况.

［课堂十分钟］

1.由数字1,2,3,4组成的三位数中,各位数字按严格递增（如“134”）或严格递减（如“421”）

顺序排列的数的个数是（）

A.4B.8

C.16D.24

2.某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1

名女生，那么不同的选派方案有（）

A.6种B.7种

C.8种D.9种

3.我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有（）

A.10种B.16种

C.25种D.32种

4.如图所示，用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A,B

所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有种.

AB

5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土

地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.

1.3基本计数原理的简单应用

新知初探•课前预习

［基础自测］

1.d）V（2）X（3）X

2.解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，有8种不同的选法；从6名女生中

任意挑选一名参加座谈会，有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知，不同选法共有8义6

=48（种）.

答案：A

3.解析：第1类，从会第1种方法的3人中选1人，有3种不同的选法；第2类，从

会第2种方法的5人中选1人，有5种不同的选法，共有5+3=8（种）不同的选法.

答案：A

4.解析：由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5+4=9种选派方

法，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5X4=20种

选派方法.

答案：920

题型探究•课堂解透

例1解析：方法一分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比

赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3X2=6（种）；

第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会

下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3X2=6（种）；

第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会

下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有选法2X2=4（种）；

第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛,

有选法2X1=2（种）.

故不同的选法共有6+6+4+2=18（种）.

方法二分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7

人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛.有选法3X4=12（种）.

第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时7人中还有

3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛.有选法2义3=6（种）.故不同的选法共有12+6

=18（种）.

跟踪训练1解析：方法一完成承建任务可分五步：第一步安排1号子项目有4种；

第二步安排2号也有4种；第三步安排3号有3种；第四步安排4号有2种；第五步，安排

5号有1种.

由分步乘法计数原理知共有4X4X3X2X1=96（种）.

方法二完成承建任务可分步安排各工程队，第一步，安排甲队有4种，第二步安排乙

队有4种，第三、四、五步安排其余工程队共有3X2X1,由分步乘法计数原理知共有

4X4X3X2X1=96（种）.

例2解析：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：

第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位

置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法;

第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.

由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5X4X3X2=120个.

（2）直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：

第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，

从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同

的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方

法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法.

由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4X4X3><2=96个.

间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5X4X3X2=120种排法，其中不合要求

的有4X3X2=24种排法.所以排成无重复数字的四位数为120—24=96个.

（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步，定个位，只能

从1,3中任取一个有2种方法；第二步，定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3

个可任取一个有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括。在内的还有3个数字先排百位有

3种方法，再排十位有2种方法.

由分步乘法计数原理共有2X3X3X2=36个.

跟踪训练2解析：（1）先排放百位，从1,2,…，7共7个数中选一个有7种选法；再

排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数（包括0）中选一个，有7种取法；最后排个位，

从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法.由分步乘法计数原理.共可

以组成7X7X6=294（个）不同的三位数.

（2）首先分两类，第一类是0排个位，由分步乘法计数原理得1X7X6=42个.

第二类是2,4,6排个位，由分步乘法计数原理得3X6X6=108个，所以由分类加法

计数原理为42+108=150个.

例3解析：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，

第一步，mi=3种，

第二步，m2=2种，

第三步，的=1种，

第四步，m4=l种，

所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N=3X2XIX1=6种.

变式探究解析：涂色方案种数是4X3X2X2=48.

跟踪训练3解析：从左往右5块试验田分别有3,2,2,