第二十八章 锐角三角函数 综合练习2021-2022学年人教版数学九年级下册(含答案)

第二十八章锐角三角函数综合练习

一、单选题

1.如图，在A/WC中，NC=90。,AC=3,A8=5,sin4的值为（）

BD

A-?-i-i

2.如图,一辆小车沿着坡度为i=l：G的斜坡向上行驶了60米，则此时该小车离水平面的垂直高

度为（)

A.30米B.30匹米C.30石米D.35米

3.如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=6,E是BC的中点,将4ABE沿直线AE翻折，点B落在点

尸处，连结C凡则tan/ECF的值为（）

27133后

1313

4.如图，在Rf/kABC中,ABAC=90°,ZABC=30°,CD平分/AC3,ADLCD,若AC=4,则

8。的长为（)

A

A.5B.3GC.3亚D.2"

5.如图，点E在边长为4的正方形A8C£＞的CD边上，连接BE,将△8CE沿直线BE翻折，点C

的对应点为C,延长3。交AO边于点凡若AP=3,贝UtanNCBE的值为（）

仁|D.2

6.如图，扇形A08的圆心角为90。，。是AB的中点，过点C作。。的切线交08的延长线于点区

若。E=4,则阴影部分的周长为（）

D.步4

C.兀+4

7.如图，点C,点。，点E分别是以AB,AC,BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD,

DC,CE,BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为G，则48的长为（）

E

D'

AB

A.2V2B.2C.4D.2A/3

8.为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能

遮光.如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向。米处再建一幢新楼.已知该市冬天

中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平的夹角最小为0,问新楼房最高可建（）

A.atan。米B.(atanf)+l)米C.--—米+1)米

tan。

9.如图，A（4,0）、8（0,3）,在第一象内作心△ABC,其中/区£=90。且tan/48c=2,点尸是直

线AC上的动点，点Q是直线8c上的动点，则P2+PQ的最小值是（）

A.5B.10C.2辨D.4非

10.如图，在AABC中，AB=AC=4,N8AC=120。，M是BC的中点，点E是AB边上的动点，点

F是线段8M上的动点，则ME+EF的最小值是（）

C.4D.2也

11.如图，矩形A8C。的顶点A,8在x轴的正半轴上，反比例函数卜=幺在第一象限内的图象经过

X

3

点、D,交3C于点£若AB=4,CE=2BE,tanZAO£)=-,则左的值为()

A.3B.23C.6D.12

3

12.如图，在△ABC中，NAC3=90,分别以A8,AC,8C为边向外作正方形，连结CD,若sinZBCO=g,

则tan/CDB的值为（）

13.如图，在平面直角坐标系无0y中，四边形AOC5是平行四边形，点。为边45的中点，反比例

函数），="在第一象限的图像交边AB于点，设NAOC=a,已知。4=3,则上的值为（

)

x

A.8sin2aB.8cos2aC.2tanaD.4tana

14.如图，在矩形ABCD中，ZABD=60°,80=16,连接BD,将△BCD绕点。顺时针旋转〃。（0。

<n<90°）,得到/"C'Q,连接BQ,CC,延长CC'交89于点N,连接A夕，当NBAB，=NBNC时,

则AABB，的面积为（)

8回-16屈D21

------------------D.C.8回-246D.-

5104

15.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=2,点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上.点。在x

轴的负半轴上，将矩形A8CQ绕点A逆时针旋转30。得到矩形ABCTT,直线B，C’与CO相交于点

M,则M的坐标为（）

A•⑵W)B.—2,哈C.⑵¥)D.3,苧)

二、填空题

16.在AABC中，(2cosA-夜)2+|i-tan@=0,则△ABC的形状是

17.如图，AABC内接于。O,若。。的半径为6,ZA=60°,则8c的长为.

18.校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树OE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭

前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30。，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶

端。的仰角为60。.已知A点的高度AB为4米，台阶AC的坡度为1：6（即AB：BC=1：G）,且B、

C、E三点在同一条直线上.根据以上条件求出树OE的高度为米.（侧倾器的高度忽

略不计）.

19.如图，在WAABC中，4cB=90。，CE是斜边A8上的中线，过点E作£F_LAB交AC于点尸.若

8c=4,户的面积为5,则sin/CEF的值为.

20.如图，在4ABP/中，BP!±API,AP/=2,NA=30°,且PiQlLAB,P2QI±AP!.......PnQn±AB,

Pn+iQUAPi,则长为

三、解答题

21.计算：

(1)sin2450-tan60°-cos30°+(sin2450-1)°

(2)卜26|-(8-乃)°-4sin600+

22.如图，在四边形ABC。中，NB=NDCB=NAPD=90°,且以=PD

(1)求证：XABPQ/XPCD；

(2)若48=6,CD=2,求tan/D4C的值.

23.如图，在。。中，A3是直径，C£＞是弦，ABA.CD,垂足为尸，过点。的。。的切线与A2延长

线交于点E,连接CE.

(1)求证：CE为。。的切线；

(2)若。。半径为3,CE=4,求sin/Z)EC.

24.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正执

行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔户在北偏东60。方向

上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔产在北偏东45。方向上.

⑴求NAP3的度数；

（2）己知在灯塔尸的周围35海里内有暗礁，向海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据:

>/2=1.414,^»1.732）

25.春节期间，开州厚坝“月亮湾”美景刷爆开州人的朋友圈.大家争相去打卡.一盏形如弯月的射

灯悬挂在如图的。处.小北在A处测得。的仰角为52。，然后乘坐扶梯到达平台B处，已知A8坡

度i=3：4,且AB=10米，BC=7米，于点C（A,B,C,D,E,尸在同一平面内，AE//

BF）.

⑴求平台上点B到山体底部地面AE的距离;

⑵求。到山体平台8尸的距离的长.（精确到1米，参考数据:sin52%0.8,cos52o=0.6,tan52。出.3）

26.△ABC和△。瓦都是等腰直角三角形，点。是8c的中点，N84C=/E£>F=90。，点E,尸分

别在区4和AC的延长线上，8c的延长线交EF于点G,AF与交于点

(1)如图1,证明：FCFH=FGFE；

(2)如图2,AD=AE,求tan/AE尸的值;

(3)如图3,若点H是。E的中点，求会的值.

27.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更

是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示

意图，/是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm,AB=30cm,C£)=22cm,且CD//AB.壶嘴EF=80cm,

ZFED=70°

(1)求FE与水平桌面I的夹角

（2汝口图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF//1,求此时点下

下落的高度.（结果保留一位小数）.

参考数据：si"80%0.98,cos80%0.17,ra«80°~5.67,5m700~0.94,COS70年0.34,fan70°~2.75.

参考答案:

1.A

解：vZC=90°,AC==5,

\BC7AB2-AC?=4,

\.3C4

\sinA=----=—.

AB5

故选A

2.A

解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了白工米.

根据勾股定理可得：f+(8x)2=602.

解得m30.

即此时该小车离水平面的垂直高度为30米.

故选：A.

3.A

解：・・・8C=6,E是BC的中点，

：.BE=3,

由翻折变换的性质得：△AFEZaABE,

・•・NAEF=NAEB,

：.EF=CEt

:.ZEFC=ZECF,

•?ZBEF=ZEFC+ZECF,

・・・ZAEB=ZECFf

AR2

tanNECF=tanNAEB==—,

BE3

故选：A.

4.D

解：过点。作。于〃，

B

•・•在R/AABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,AC=4f

AZACB=900-ZABC=60°,BC=2AC=8,

♦・・C。平分NAC3,

J/ACD=/BCD=-ZACB=30°,

2

VAP1CD,

CDCD

工在放△ACO中，cosZAC£)=—=—=cos30°,

AC4

即CD=4COS30O=25

■CHCH

在CDH中，DH=—CD=^/3,cosZ.DCH=——=—广=cos30°,

2CD2/3

即C”=2GXCOS300=3,

:.BH=BC—CH=8—3=5,

・・・在放△8。“中，BD=dBH2+DH?=收+(52=2币.

2

故选:D

5.A

解：连接EF,

•.•正方形ABC。的边长为4,

:.AB=AD^CD=4,ZA=Z£)=ZB=90°,

vAF=3,

：.BF=yl32+42=5>

：.FD^AD-AF=\,

••・折叠，

:.BC'=BC=4,ZFC'E=ZBCE=ZC=90°,CE=CE,

FC'=1,

FD=FC,

在Rt&DE与Rt^FCE中，

[FE=FE

=DF'

:.DE=CE,

3

/.DE=CE=-CD=2

2f

CE21

tanZCB£

8c42

故选：A.

6.D

解：连接OC,

YCE是。。的切线，

：.ZOCE=90°,

•••C是A8的中点，

'AC=BC<

：.NAOC=ZBOC=-ZAOB=45°,

2

.•.△OCE是等腰直角三角形，

：.OC=CE=OEsin45。=与0E=2O,

：.BE=OE-OB=4-2^2,BC的长度为'，包"=—兀,

1802

阴影部分的周长为2四+4-20+日兀=4+2^兀,

故选：D.

7.A

4

解：设A8的长为2x,

由题意，ZACB=90°,ZAC1)=30°,NBCE=60°,

.,.ZDC£=180°,

:.D、C、E三点共线,

点C是半径为2x的半圆弧AB的一个三等分点，

1Q0O

AC对的圆心角为——=60°,

,NABO30。，

♦・・AB是直径，

JZACB=90°,

AC=；AB=x,BC=AB*COS30°=gx,

BE=BC*cos30=—xCE=DC=——x,AD=-x

2f22t

且四边形为直角梯形，外层4个半圆无重叠.

从而，S阴软梯膨ABED+—(———CE2T—BE~)-S^ABC--(—AC2H—BC?)

K24444244

••S阴静=S^AQC+SABCE，

・石_1/1>/3x1zyfi3、

••\l3=—(—x-----V)+—(—x«—x),

222222

解得：尸血(负值已舍去).

・・・43的长为2&.

故选：A.

8.B

5

解：如图，过点。作。与点E,

在RSAOE中，ZADE=Q,OE=BC=“米，

则AE=tanQ'DE=atanQ,

而EB=OC=1米，

；.AB=AE+EB=（dtanO+1）（米），

答：新楼房最高可建Q/tanO+l）米，

故选：B.

9.D

解：延长BA到夕，使WA3,过方点作8c于点。，交AC于点P如图所示:

；A(4,0)、2(0,3),

6

：・0B=3,OA=4f

在RS0AB中根据勾股定理可知，AB=yjo^+OB2=742+32=5，

：.BB'=BA+AB'=1(),

*/ZCAB=90°,

:.CALBB\

:.C4垂直平分〃r,

:.PB=PB'，

：.PB+PQ=PB*PQ=B'Q,

・・•直线外一点与直线上各个点的连线中垂线段最短，

・•.此时夕。最小，即P8+PQ最小，

VtanZABC=2,

工设8Q=w,pl!|BQ=2m,

・・•在Rt"Q9中，根据勾股定理可知，BQ2+B'Q2=BB，2,

>+(26)2=1()2,

解得：町=2石,/%=-2石(舍去)，

则8'。=2m=4百，

・・.PB+PQ最小值为4百，故D正确.

故选：D.

10.B

7

解：如下图所示，作点M关于AB的对称点点M，，再过点作MD，3c于点。，交AB

于点G,连接M53,M8和AM.

"：AB=AC=4,N84C=120。，M是8C的中点，

/.ZABM=ZACM=30°,AMLBC.

：.MB=ABxcosZABM=2石.

点M关于AB的对称点是点M',

:.M，B=MB=28,M'E=ME,ZABM'ZABM=30°.

：.NM'BD=ZABM'+ZABM=60°,M'E+EF=ME+EF.

I•点E是AB边上的动点，点尸是线段8M上的动点，且MDL8C,

AM'D<M'E+EF,当点E与点G重合，点尸与点。重合时，等号成立.

VM'DVBC,ZM'BD=60°,

，M'D=M'BxsinNM'BD=3.

：.ME+EF>3.

故选：B.

11.A

An3

解：VtanZAOD=——=二，

OA4

/.设AD=3a^0/4=4(7,

8

贝|J3LAZ>3〃，点。坐标为（4m3a）,

,:CE=2BE,

••BE=—BC=a,

3

VAB=4,

:•点E（4+4。,a）,

•••反比例函数尸&经过点D、E,

X

•.k=\2a2=（4+4a）a,

解得：。=g或。二0（舍），

则ZF=12X—=3,

4

故选：A.

12.D

解：如图，过点8作BE,CO于点，过点。作于点F,

•••△ABC,ABED,/XBEC,△BCF都是直角三角形，

HD

9

VsinZBCD,

・/nrr—BE_3

♦・sinDCE———,

BC5

设BE=34，BC=5a,

CE=4BC2-BE?=4"，

过点C作£>8延长线于点G,得矩形CFBG,

：.BF=CG,

设AC=x,AB=y,

在RtZ\A8C中，根据勾股定理，得

222

AB-AC=BCf

Ay2-f=25〃2,

・.・S/\ABC=-xAB*CF=-xAC-BC,

22

.\y*CF=5ax,

5ax

：.CF=—,

y

在RtZxBCP中，根据勾股定理，得

BF=4BC'-CF2—J25a2-(--)2=一a,

Vyy

25

:.BF=CG=——a,

y

在正方形AB£>H中，AB=BD=y,

在RtZSBDE中，根据勾股定理，得

10

DE=yjsD2-BE2=y]y2-9a2，

：.CD=CE+ED=4a+7/-9a2,

•；SACBD=LXCD，BE=LXBD,CG,

22

：.CD-BE=BD'CG,

_______25

**.(467+^/-9£72)X3=yX—«,

BE3〃o

tanZCDB=tanZEDB=——=一/,,=—

DEyjy2-9a213

故选：D.

13.D

如图，过点。作轴于点M,过点。作ONLx轴于点N

.•・ZOMC=ZAA©=90°

,・泗边形AOCB是平行四边形

・•.OC//AB,OC=AB

・•.ZAOC=ZDAN

:.DOMC〜DAND

11

.OCOMCM

\\D~~AN~~DN

丁点。为边AB的中点

:.AB=2AD=OC

.?_OMCM

"一而一而

：,2AN=OM,2DN=CM

设0M=a,贝IJAN=L

2

CM

,/ZAOC-a,tana------

OM

:.CM=a»tana

?.DN=­a^wa

2

1

D-

:.C(〃，67*tana),MC

代入反比例函数解析式为％=a2“ana=(3+g〃)(；〃*tana)

整理得/一2〃=0

解得4=2,%=0(舍去)

.,.Z=4tana

故选：D.

14.C

解：过点。作。及LA夕，交8/的延长线于点E,如图，

12

在矩形ABC。中，

VZABD=60°,BD=16,

：.AD=BC=BD-sinZABD=\6x—=86.

2

由旋转可知：DC=DC,DB=DB\NCDC=/BDB1

.CDBD

♦•获一丽'

：.ZDCC=ZDBB,.

：.ZBNC=ZCDB.

Q

*：NCDB=/ABD,/BNC=/BAB%ZABD=60f

・・・NB4夕=60。.

VZBA£>=90°,

・,.ZEAD=\SO°-ZBABf-ZBAD=30°.

••・aE=gA。=45

13

AE=AD9COSZEAD=875x—=12.

2

‘B'E=SIB'EP-DE2=4>/13■

：.AB'=B'E-AE=4y/l3-12.

:NBAB，=NABD=60。,

：.AB'//BD.

...△A8£中AS边上的高等于DE.

：.S^ABB.=^xAB'xDE

=gx(4713-12)x4超

=8回-246

故选：C.

15.B

解：•.•矩形A8'CD'是将矩形A8CO绕点A逆时针旋转30°得到,

直线8'C与C。相交于点M,AB'和CO'相交于点N,

AZ1=30°,AB'=AB=5,

14

•.•A8CC是矩物

：.AB//CD,AD=BC=2

.*.N2=N1=3O°,

在RrZVlOV中，

DN=%=$26

tan3073

；•AN=SJAD2+DN2=百+(2我2=4,

：.B'N=AB'-AN=5-4=1,

在RtAMNB，中，

VZMNB'=/2=30°,

.B'NG2+

cos3023

，MD=MN+DN=亚+26=更，

33

点M(-2,随)，

3

故选：B.

16.等腰直角三角形

解：C2cosA~y/2)~+|l_tan5|=0,

2cos/一血二0，且l—tan8=0,

BPcosJ=——，tan5=l，

2

AZA=45°,ZB=45°,

ZC=90°

15

・・・△ABC是等腰直角三角形,

故答案为：等腰直角三角形.

17.6月

解：连接05,0C,过点。作0。，3c于点。,

：・BD=CD=；BC,

・・•NA=60。，

・・・ZBOC=2ZA=120°,

・：0B=0C,

180。一/80c…

：.Z0BC=Z0CB-----------------=30°

•/03=6,

同

JBD=O8・cos30。=6x^=3\/3，

2

:,BC=2BD=66

故答案为：6月.

18.12

解：如图，过点4作AF1DE于点F,则四边形A8所为矩形,

16

设。E=x,

在&ACDE中,

DE

CE=

tan60~3

在mAABC中,

AB1…)

•「-----=—j=,AB=4,

BC百

BC=，6

在用AAF。中，DF=DE-EF=x-4,

.•.4尸=上去=石(>4),

tan30

•;AF=BE=BC+CE,

>/3(x—4)—4>/3+---x,

3

解得尤=12,

故树DE的高度为12,

故答案为：12.

3

19.二##0.6

5

解：连接所，

丁CE是斜边A3上的中线，EF上AB,

17

・・・E尸是A3的垂直平分线，ZAEF=90°,

**-BF=AF，S^AEF=S公BFE~5，

AZFR4=ZA,S△花B=gA尸30=10,

,:BC=4,

：.BF=AF=59

在Hr.BCF中,由勾股定理得：

CF=^BF--BC~=V52-42=3,

•:CE=AE=BE=-AB,

2

：.ZA=ZFBA=ZACE9

又NBCA=NBEF=90。,

・•・ZCBF=9()°-ZBFC=9()°-2ZA,

NCEF=90。-NBEC=90。-2/A,

:./CEF=/CBF,

CF3

・,.sinZCEF=sinZCBF

BF5

3

故答案为：j

18

20-©

解：-：PIQ!!AB,AB=2,NA=30。，

:.々Qi=A《-tanNQ|A《=1,ZAP.Qt=60°,

-：P2QI-LAPI,

：.Ptp2=60cosNQqQi

3

・・・AP2=^y

3

・,・6。2=1，

同理可得603=(£|'

n-\

..•可以推出以2“=E

故答案为：（［Ji

21.(1)0(2)3

解：（1）原式=（交

22

l-3+l

22

=0

(2)原式=2g-14x立

2

=26-1-2行+4

19

二3

2

22.⑴见解析⑵石

(1)

证明：vZB=ZDCB=ZAPD=90°,

NBAP+/APB=90°,ZAPS+/CPD=90°,

:.ZBAP=ZCPD1

又PA=PDf

・.△ABP^APCD(AAS)；

(2)

在R3ABC中，AB=6,BC=BP+PC=2+6=8,

・•・AC=y/AB2+BC2=762+82=10，

过点。作。ELAC于点瓦

BP

：.ZDEC=90°,

:.NEDC+NECD=900,

*/ZBCD=9O°,

:.ZECD+ZACB=90°,

20

，NEDC=ZACB,

又•：ZB=/DEC=90。,

：./\DCE^/\CAB,

.DEDCCE

.DE2CE

••---=—=—,

8106

・・・DE=|,CE=1,

644

.・・AE=AC-CE=10--=—,

55

DE8442

在Rt>AED中，tanZ.DAC==—+—=—.

AE5511

24

23.⑴见解析⑵不

(1)

如图，连接OC、OD,

・：OC=OD,ABtCD,

：.ZCOE=ZDOEf

在△COE和△OOE中，

21

OC=OD

«Z.COE=NDOE,

OE=OE

：.^COE^DOE(SAS),

ZOCE=ZODE,

是。。的切线，

'NODE=90。,

：.NOCE=90°,

♦.•OC是。。的半径，

，CE为。。的切线；

(2)

如图，过。作OFLCE交于点R

由(1)知，ZOCE=90°,

在R/AOCE中，

•；CE=4,OC=3,

/•OE=yjoc2+CE2=V32+42=5,

22

•・♦AB±CDf

：“广

.S△Aczct=-2OCCE2=-CPOE,

A3x4=5CP,

CP=y,

•：OC=OD,AB工CD,

：.CP=DP,

24

：.CD=2CP=—f

12_\6

在R4CPE中,PE=y/CE2-CP2=

~~5

VCE,DE是。。的切线,

:.DE=CE=4,

■:S=-CEDF=-CDPE,

ALCDDEF22

：.4DF=—x—,

55

・•・DF费

96

在3—-啜咛嗡

24.(1)15°(2)海监船继续向正东方向航行安全，理由见解析.

(I)

解：由题意得，ZPAB=90°-60°=30°,ZABP=90°+45°=135°,

ooo

.*.ZAPB=180°-ZPAB-ZABP=180-30-135=15°;

23

⑵

解：海监船继续向正东方向航行安全，理由如下:

作PHLAB于H,如图：

则APBH是等腰直角三角形，

/.BH=PH,

设BH=PH=x海里，

由题意得：AB=60x三30=30(海里)，

60

在RSAPH中，tanZPAB=tan30°=—=—

AH3

即一^=立，

30+x3

解得：x=1573+15®40.98>35,且符合题意,

二海监船继续向正东方向航行安全.

25.(1)6米(2)14米

(1)

解：如图，过点8作5GLAE,

24

D

・••AB坡度i=3:4,且AB=1()米，

BG3

——=-,

AG4

设8G=33贝ljAG=4A,

:.AB=5k,

:.k=2,

二.AG=4X2=8米，BG=3x2=6米，

即平台上点B到山体底部底面AE的距离为6米;

(2)

解：如图，延长。C交AE于点”，

25

vCDrBF,BGYAE,AE//BF,

，四边形CBG”是矩形.

则C"=3G=6米，GH=BC=1米,

：.AH=AG+GH=8+7=15^:.

,•・在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°,

即ZDAE=52°,

..在RfAAO〃中，-tanZZME=15x1.3»19.57^.

BC=DW-BG=19.5-6=13.5sl4^.

即摩天轮顶端D到山体平台的距离CD的长为14米.

26.⑴见解析⑵血+1⑶半

(1)

解：:△ABC和△。所都是等腰直角三角形，且/BAC=/EO尸=90。,

ZFCG=ZACD=45°,ZFEH=45°.

：.NFCG=NFEH,

又NCFG=NEFH,

:./\FCGS/\FEH,

.FGFH

即FCFH^FGFE.

(2)

解：♦.•△ABC和AOEF都是等腰直角三角形，点。是8C的中点，

26

:・DE=DF,ZADC=ZEDF=90°tAD=CD,

：./ADE=/CDF,

：./\ADE^/\CDF(SAS),

:.AE=CF9

9：AD=CD,NAOON90。，

・・・△ACO是等腰直角三角形.

又・・・AD=AE,

,AC=6AD=6AE,

,：AF=AC+CF=6AE+AE，

AE+AE

・,.在ROAE尸中，tanZAEF=—=^=72+1.

AEAE

(3)

解：过点