数学中考总复习之相似习题解析

新版数学中考总复习之相似习题解析

单元知识点呈现

知识点1:相似三角形定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形

知识点2：相似三角形的判定：

定理1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角

三角形也相似。

知识点3：相似三角形的性质：

性质1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径

等）的比等于相似比。

性质2.相似三角形周长的比等于相似比。

性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

知识点4：位似

1.位似图形、位似中心、位似的定义

每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似

图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。

2.位似比

两个相似图形的相似比，成为位似比。

3.位似图形的性质。

4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,

并举出一些他们的实际应用的例子。

重难点及方法解读

一、用思维导图记忆本单元知识内在联系

二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.

已知：如图，aABC中，AB=AC,BD_LAC于D.

求证：BC2=2CD-AC.

A

整体分析：欲证BC2=2CD«AC,只需证三邑=好.但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似

2CDBC

三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单

一线段后，再证明三角形相似.由“2”所放的位置不同，证法也不同.

证法一（构造2CD）：如图，我们很容易想到，在AC截取DE=DC,（或者说在AC上取一点E,使得CD=DE,

这样就有CE=2CD）

VBD1ACTD,

ABD是线段CE的垂直平分线,

.*.BC=BE,；.NC=/BEC,

又AB=AC,

，ZC=ZABC.

ABCE^AACB.

•BCAC•BCAC

''~CE~~BC'2CD~~BC

.,.BC2=2CD•AC.

证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,得到aEBC.

Ee

;AB=AC,

JAB=AC=AE.

AZEBC=90°,

XVBD1AC.

AZEBC=ZBDC=ZEDB=90°,

AZE=ZDBC,

AAEBC^ABDC

.BCCEnnBC2AC

CDBCCDBC

.*.BCZ=2CD•AC.

证法三（构造工BC）：如图，取BC的中点E,连结AE,则EC=，8C.

22

又：AB=AC,

AAEIBC,ZACE=ZC

.,.ZAEC=ZBDC=90°

.,.△ACE^ABCD.

1BC

.•.4="即J=

CDBCCDBC

.".BC2=2CD•AC.

证法四（构造!8C）：如图，取BC中点E,连结DE,则CE=，8C.

22

VBD±AC,；.BE=EC=ED,

.\ZEDC=ZC

又：AB=AC,AZABC=ZC,

.,.△ABC^AEDC.

BCACBCAC

：.——=——，H即n——=-----.

CDECCD1

2

.*.BC2=2CD•AC.

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路要开阔.

对点例题解析

【例题1】(2020•重庆)如图，在平面直角坐标系中，△/及7的顶点坐标分别是4(1,2),8(1,1),C(3,

1),以原点为位似中心，在原点的同侧画△龙上使△妍与△48。成位似图形，且相似比为2：1,则线段

〃产的长度为()

A.V5B.2C.4D.2V5

【答案】D

【解析】把4C的横纵坐标都乘以2得到久尸的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段〃尸的长.

•.•以原点为位似中心，在原点的同侧画△&%,使△&%与成位似图形，且相似比为2：1,

而/(1,2),C(3,1),

：.D(2,4),F(6,2),

:.DF=J(2-6)2+(4-2>=275.

【例题2】(2020•盐城)如图，BC//DE,RBCVDE,AD=BC=A,4班庞=10.则一的值为

【解析】2

【分析】由平行线得三角形相似，得出力加弧进而求得16,DE,再由相似三角形求得结果.

【解析】'：BC//DE,

:.△ADEsXABC,

ADDEAE4DEAE

AB~BC~AC9AB~4~AC"

:・AB・DE=\6,

■:AB+DE=13

:,AB=2,DE=8,

AEDE8

•,•—-—————乙7

ACBC4

【例题3］（辅助线添法）已知在AABC中，AD是NBAC的平分线.

求证：AB/AC=BD/CD

【答案】见解析。

【解析】比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，

可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD为AABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可

考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比

较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.

证法1：如图，过C点作CE〃AI),交BA的延长线于E.

在4BCE中，＜?DA〃CE,

，BD/DC=BA/AE

又•:CE〃AD,

Z1=Z3,Z2=Z4,且AD平分NBAC,

VN1=N2,于是N3=N4,

AC=AE.

.*.BD/DC=BA/AC

证法2：由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线.

如图，过D作DE〃AC交AB于E,则N2=N3.

Z1=Z2,,Z1=Z3.

于是EA=ED.

BEBD

又...EA~DCt

ABBEBE

--

•••ACEDEA»

ABBD

-

•••ACCD♦

证法3：欲证式子左边为AB：AC,而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行

的位置.如图，过B作BE〃AC,交AD的延长线于E,则N2=NE.

B\~--TD~、c

V，

、、/，

\/

E

'：Z1=Z2,

，Nl=/E,AB=BE.

BDBE

又..•而一就，

ABBD

•AC-CD

证法4：由于AD是/BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证.如图，过D

点作DE〃AC交AB于E,DF〃AB交AC于F.

易证四边形AEDF是菱形.则DE=DF.

由△BDES/\DFC,得

BDBEBE

DC-OF-DE

BEAB

又...DE-AC,

ABBD

•~\C~~DC

《相似》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（2019湖南邵阳）如图，以点0为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到AA'B'C',以下说法

中错误的是（）

A.AABC^AA*B'C'

B.点C、点0、点C'三点在同一直线上

C.AO：AA'=1：2

D.AB〃A'B'

【答案】C

【解析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案.

解：•••以点。为位似中心，把△/a'放大为原图形的2倍得到△/'B'C,

：.XABCs[\A'B'C,氤C、点、0、点、C1三点在同一直线上，AB//A'B',

AO：OA'=1：2,故选项C错误，符合题意.

【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键.

2.（2020•牡丹江）如图，在矩形四力中，48=3,10,点£在al边上，DFLAE,垂足为五.若加'=

6,则线段厮的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

AFADDF

【分析】证明△的，得到一=—=—,求出AF,即可求出AE,从而可得EF.

BEAEAB

【解析】•・,四边形切为矩形，

:・AB=CD=3,BC=AD=\Q,AD//BQ

：./AEB=4DAF,

・••△//TM△酗，

#AFADDF

・'BE~AE~AB"

■:DF=6,

：.AF=V102-62=8,

.8106

BE~AE~31

：.AE=5f

：.EF=AF-AE=8-5=3.

3.（2019•海南省）如图，在心△49。中，NC=90°,AB=5,发7=4.点尸是边/。上一动点，过点尸作妆

〃AB交BC于点、Q,〃为线段N的中点，当M平分N4?。时，心的长度为（）

Bi

CpA

且B.15_C.至D.丝

A.13131313

【答案】B.

【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

根据勾股定理求出4C,根据角平分线的定义、平行线的性质得到/网得到〃=初，根据相似

三角形的性质列出比例式，计算即可.

,.'/C=90°,445,6c=4,

A^VAB2-BC2=3,

'：PQ//AB,

二4ABA4BDQ,又AABD=ZQBD,

：.AQBD=£BDQ,

：.QB=QD,

:.QP=2QB,

'：PQ//AB,

:.△CP—XCAB,

.CP=CQ=PQH，|CP_4-QB_2QB

,,CACBAB''34~5~,

解得，CP="

13

J.AP^CA-g匹

13

4.(2020•嘉兴)如图，在直角坐标系中，△物6的顶点为0(0,0),A(4,3),6(3,0).以点。为位似

中心，在第三象限内作与△的6的位似比为1的位似图形△的，则点C坐标()

44

A.(-1,-1)B.(一条-1)C.(-1,-pD.(-2,-1)

【答案】B

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把1点的横纵坐标都乘以一/即可.

【解析】•.•以点。为位似中心，位似比为点

而力(4,3),

点的对应点。的坐标为(一*-1).

5.(2020•安徽)如图，RtZWC中，/C=90°，点。在〃'上，NDBC=/A.若4c=4,cos4=贝ij劭的

长度为()

【答案】C

【分析】在中，由三角函数求得46,再由勾股定理求得比；最后在切中由三角函数求得物.

4

【解析】•・,NO=90°,AC=4,cosA=

/.AB=—co—sAT=5,

：.BC=yjAB2-AC2=3,

'：ZDBC=ZA.

RC4

:・cos/DBC=cos/A=前=5，

515

：.BD=3X]=¥

44

6.（2020•无锡）如图，等边△?1%的边长为3,点〃在边"＞上，AI）=线段刈在边胡上运动，PQ=\,

有下列结论：

①"与。〃可能相等；

②初与可能相似；

③四边形面积的最大值为岑；

16

④四边形闱％周长的最小值为3+字.

其中，正确结论的序号为（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【解析】①利用图象法可知此＞制，故①错误.

②•.♦/4=/8=60°,:.当NA0Q=NCPB时,l\M)gXBPC,故②正确.

③设40=x,则四边形的面积=^x3"x*x§x},x3X(3-x-J)x§=挈+挈*,

4LLLL£.Z.oo

的最大值为3-；=|,

户擀时，四边形/的面积最大，最大值=婪，故③正确，

L1O

如图，作点〃关于48的对称点〃，作〃F//PQ,使得〃F=PQ,连接CF交48于点户，此时四边形"

CD'Q'的周长最小.

过点。作物〃F交.D'户的延长线于〃，交4?于/

由题意，DD'=2砂sin60。=织HJ=^DD'=冬CJ=*,/7/=111

乙乙T*乙乙乙T*T*

：.CH^CJ+HJ=鸣

，CF=y/FH2+CH2=J(1)2+(^)2=缪，

二四边形尸'CDQ'的周长的最小值=3+孥，故④错误。

7.(2020•成都)如图，直线/1〃4〃4，直线〃"和"'被九k，A所截，AB=5,BC=6,EF=4,则应'的

长为()

10

A.2B.3C.4D.—

3

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【解析】I,直线九〃/2〃/3，

.ABDE

BCEF

・・・4?=5,BC=6,EF=4,

,5DE

.•——>

64

・nr10

・・Z/c=

8.（2020•哈尔滨）如图，在△力力中，点〃在州边上，连接力〃，点月在〃边上，迂点、E作•EF"BC,交/〃

于点凡过点后作用〃相，交BC于点、G,则下列式子一定正确的是（）

AEEFEFEG、AFBGCGAF

1.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

ECCDCDABFDGCBCAD

【答案】c

【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可.

【解析】•:EF1/BC,

AFAE

•#•=,

FDEC

9：EG//AB,

.AEBG

••~~~1—,

ECGC

.AFBG

-FD-GC

9.（2020•遵义）如图，△力切的顶点力在函数尸［（x>0）的图象上，/ABO=90：过力。边的三等分点

爪"分别作x轴的平行线交仍于点AQ.若四边形腑牝的面积为3,则左的值为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】易证用吐△力眼由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△“小的面积,

进而可求出△力班的面积，则女的值也可求出.

【解析】

■:NQ//OB、

：.丛ANQs丛AMPsXAOB,

,:M4是小的三等分点，

eAN1AN1

99AM~2AO~3’

.S〉ANQ1

••=-9

S-MP4

•・•四边形』做「的面积为3,

.S^ANQ1

••=一,

3+S"NQ4

S△忠g=1，

・,^___（网、2_1

•一（）一不,

S&AOB“°9

••S^AOH=9,

***k=2S&A0B=18

10.（2020•铜仁市）如图，正方形4及幻的边长为4,点后在边力8上，BE=L/%摩=45°,点尸在射线4v

上，且力代或，过点尸作4〃的平行线交窗的延长线于点//,）与/〃相交于点G,连接反7、EG、EF.下列

17

结论：①的面积为了；②△/£6■的周长为8；③Ed=Dd+B&；其中正确的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】C

【解析】如图，在正方形/比。中，AD//BC,AB=BC=AA4,NB=NBAA9G°,

物片90。，

'：HF//AD,:.ZH=9Q°,

'：Z//AF=900-ADAM=\^°,

/"〃=AHAF.

'：AF=yl2,：.AH=HF=\=BE.：.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

：.丛EH阻△CBE(%S),EF=EC,ZHEF=ZBCE,

■:/BCE+/BEC=9Q°,:.HERNBEC=9Q°,侬'=90°,

...△呼是等腰直角三角形，

在Rt△碗中，BE=\,BC=A,

:.E¥=B^+BE=\I,

二SMC产剂•EC=匏4=争故①正确；

过点厂作FQ1BC于Q,交49于P,

:.NAPF=9Q°=ZH=Z.HAD,

四边形4版/是矩形，

'：AH=HF,；.矩形序厅是正方形，：.AP=PF=AH=\,

同理：四边形馥是矩形，

：.PQ=AB=4,60=4户=1,FQ=FPrPQ=5,CQ=BC-BQ=Z,

'：AD//BC,:.XFPGsXFQC,

FPPG1PG38

—=—,=—,:・PG=E，:・AG=ARPG=r,

FQCQ5355

在Rt4£4G中，根据勾股定理得，EG=V/1G2+AE2=^-

，△据；的周长为叱筋心|+兴+3=8,故②正确;

12

,."Q4,:.DG=AD-AG=诗,

144,.169

：.D^+BE=芯+1=芯，

J7、2289169

,:喈=(7二不力芯'

:.资丰D$+B&,故③错误,

.•.正确的有①②,

二、填空题(每空3分，共30分)

11.(2019广西百色)如图，与△/夕C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，若点4(2,2),B

(3,4),C(6,1),B(6,8),则的面积为.

【答案】18.

［解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.

与△/'80是以坐标原点。为位似中心的位似图形，点［(2,2),B(3,4),C(6,1),B(6,

8),

：.A'(4,4),C(12,2),

...△ISf的面积为：6X8-yX2X4--1-X6X6-yX2X8=18.

【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键.

12.(2020•湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点

的三角形称为格点三角形.如图，已知Rt△/比■是6X6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与航△

/回相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是

B

【解析】5V2.

【解析】；在Rt"6C中，然=1,BC=2,

：.AB=V5,AC-.BC=k2,

.•.与RtZ\4a1相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线段为6VL但此时画出的直

角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,在图中

尝试，可画出上同，厮=2同，""=5近的三角形，

V102V105V2I-

•,----------------尸=Vio,

12V5

:.XABCsADEF,

:./DEF=NC=9Q°,

此时△两的面积为：V10X2V10-2=10,△叱为面积最大的三角形，其斜边长为：5V2.

13.（2020•无锡）如图，在口△/%中，NACB=90°,48=4,点〃，£分别在边4?,然上，且分=24。,

AE=3EC,连接质CD,相交于点。，则△4?。面积最大值为.

O

【解析】

【解析】如图，这点D作DF"AE、

,DFBD2

则tl一=—=一,

AEBA3

..EC_1

•=—，

AE3

:・DF=2EC,

：.DO=2OC

：.DO=^2DC,

.22

S&\[X产个WDC，SXBD（产qS〉BPC，

•*•SAAB产qSfBc,

VZJC®=90°,

・・・C在以力6为直径的圆上，设圆心为G,

当Cd夕时，△加。的面积最大为：-x4X2=4,

2

2Q

此时△4%?的面积最大为：-x4=

14.（2019•浙江宁波）如图所示，服△/欧中，ZC=90°,点〃在边欧上，CD=5,勿=13.点

〃是线段力〃上一动点，当半径为6的。夕与△力弘的一边相切时，的长为.

【答案】6.5或3后.

【解析】：在应ZUSC中，ZC=90°,/1C=12,如318,

:"B=q]22+182=®VT3>

在中，ZC=90°,/f=12,CD=5,

AJZ?=VAC2+CD2=13,

当。尸于a'相切时，点一到8c的距离=6,

过一作PH1BC于H,

则P46,

'：ZC=90°,

：.AC1,BC,

：.PH//AC,

：.!\DPH^/\DAC,

.PDPH

'Em，

.PD_6

••-----''f

1312

:,PD=6.5,

・・・/!P=6.5；

当。户于相切时，点P到16的距离=6,

过户作尸于G,

则PG=6,

♦・・AD=BD=13,

:・/PAG=/B,

VZAGP=ZC=90°,

：./\AGP^^BCA,

・APPG

••二,

ABAC

.AP_6

♦.访FIT

••"々3限，

：35<6,

半径为6的。尸不与△4外的4c边相切,

综上所述，4。的长为6.5或38,

故答案为：6.5或3后.

15.2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片/仇?，//==90°,45=10,4:=6,点〃为8C边上

的任一点，沿过点〃的直线折叠，使直角顶点，落在斜边相上的点£处，当△仇应是直角三角形时，则必

的长为.

【答案】3或丝

7

【解析】在ABDE中，NB是锐角，.•.有两种可能，NDEB或NEDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.

如图1,NDEB是直角时，，46=10,AC=6,.*.BC=>/10复不=8,设CD=x,则BD=8-x,由折叠

DF6x

知CD二ED二x,VZ/1C®=ZDEB=90°,AABED^ABCA,——=——,即一=----,解得x=3;

ABDB108-x

如图2,NEDB是直角时，ED〃AC,•••△BEDsaBAC,・・・生=空，即9=^匚，解得x二竺，综上，CD的

CBDB88-x7

长

为3或2斗4

7

图1图2

16.（2019•山东泰安）如图，矩形4腼中，4?=3&，8c=12,£为4?中点，尸为4?上一点，将△/原沿

跖折叠后，点力恰好落到⑦上的点。处，则折痕跖的长是.

【答案】2任.

【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的

辅助线，连接四，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果.

连接必利用矩形的性质，求出仇；，庞、的长度，证明比、平分/比?；再证/在。=90°,最后证△旗Csa

EDC,利用相似的性质即可求出必的长度.

如图，连接

•••四边形/颇为矩形，

.,.ZJ=ZZ?=90o,BC=AD=12,DC=AB=3遥,

为力〃中点，

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，△AEP^XGEF,

:.AE=GE=6,4AEF=2GEF,NEGF=/EAF=9Q°=/〃，

:.GE=DE,

:.EC平■令4DCG,

:"DCE=/GCE,

•.•/GAC=90°-^GCE,NDEC=9G°-ADCE,

：.AGEC^ADEC,

：./FEC=NFE侪NGEC=Lx\8Q。=90",

2

:.NFEC=ND=9Q°,

又Y4DCE=/GCE,

:.△FECS/\EDC,

.FEEC

,•而北，

•••£，=而居旧石鬲^=3/,

.FEXio

••~----1—1,

6376

:.FE=2任

17.（2019江苏常州）如图，在矩形四切中，力片3/6=3厢.点p是4。的中点，点〃在比'上，CE=2BE,

点〃、4在线段劭上.若△阳州是等腰三角形且底角与/〃1相等，则明k.

【答案】6.

【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数

等几何知识点.首先由勾股定理，求得知=10,然后由‘3〃=34?=3用.点尸是的中点，点£■在a'

上，CE=2BF,求得加=3叵，（3=2而，这样由tan//T=2C=L；第四步过点户作分工助于点

2EC2

H,在加上依次取点材、使MH=NH=2PH,于是因此△局那是所求符合条件的图形；第五步由△力少s4

PJJ—>/io

PHPHrrz7Q

DBA,得“1=*,即刀==^----,得力=三，于是腋V=4/7/=6,本题答案为6.

BABDV10102

18.（2019•山东省滨州市）如图，口4%力的对角线4C,劭交于点0,CE平分NBCD交AB于点、E,交切于点

F,且//於=60°,AB=2BC,连接留下列结论：®EOVAC-,②九如=4砺加③/C：加=技：7；④序

=OF・DF.其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④.

【解析】1•四边形/腼是平行四边形,

C.CD//AB,OD=OB,OA=OC,

:.ND侬4ABC=180°,

VZABC=60a,

.♦./〃％=120°,

■:EC平分4DCB,

：.ZECB=LNDCB=6Q。，

2

:"EBg/BCE=NCEB=6Q°,

•*.AECB是等边三角形，

:・EB=BC,

♦：AB=2BC,

:.EA=EB=EC,

：.ZACB=90Q,

・・・%=",EA=EB,

：.0E//BC,

：.ZAOE=ZACB=90°,

：.EO±AG故①正确，

♦：0E〃BC,

:AOEFSMBCF,

.OE=OF=1

**BCFB~2f

OF=^OB,

3

**•S^AOD=宓减=3SAOCF，故②错误，

设BC=BE=EC=a,则力4=2a,AC=\[^a,0D=0B=4a)2=^^a,

.\BD=yfjaf

**.AC：BD=\a=yj21：7,故③正确，

•.•OF=LoB=W-a,

36

:.BF=®a,

3

.72八匚、nL,JY/W,W、72

96269

:・BP=OF、DF,故④正确，

故答案为①③④.

19.（2019四川泸州）如图，在等腰。中，/。=90°,〃=15,点£在边⑦上，CE=2EB,点、D在

边四上，CDIAE,垂足为凡则49的长为.

A

【答案】9V2

【解析】过〃作力小熊于巴

;在等腰中，ZC=90°,AC=15f

:.AC=BC=15,

・・・NOZH45°,

:,AH=DH,

：・CH=13-DH,

*/CF工AE,

:・/DHA=/DFA=9G,

:./HAF=/HDF,

•••△/CFs△砌

•_DH_C_H

•.1=»

ACCE

YCE=2EB,

：.CE=109

.DH15-DH

••,

1510

:.DH=9,

:.AD=9五,

故答案为：9V2.

20.（2019•四川省凉山州）在。力乞力中，〃是/〃上一点，且点£将例分为2：3的两部分，连接跖、〃'相

交于F,则S&AEGS&CNF是-

【答案】4：25或9：25.

【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比

的平方是解题的关键.

分IEED=2：3、AE-.劭=3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

①当4反破=2：3时，

•••四边形］腼是平行四边形，

J.AD//BC,AE：BC=2：5,

△侬；

:♦S&AEPS&CB产（―）2=4：25；

5

②当/E被=3：2时，

同理可得，砺的题的=（3）2=9：25o

5

三、解答题（6个小题，每题10分，共60分）

21.（2020♦荷泽）如图1,四边形口的对角线/C,切相交于点。，OA=OC,OB=O正CD.

（1）过点A作AE"DC交BD于点E,求证：AE=BE；

（2）如图2,将△48〃沿翻折得到△/1函.

①求证：//CD-,

②若AD"BC,求证：CB=2OKBD.

【解析】见解析。

【解析】（1）证明：'：AE//DC,

：,NCDg4AE0,^EAO=ADCO,

又,：OA=OC,

:.△AOgXCQD(44S),

CD=AE,OD=OE,

'：OB=OE+BE,0B=0讣CD,

:.BE=CD,

:.AE=BE；

(2)①证明：如图1,过点A作AE〃DC交即于点、E,

由(1)可知AE=BE,

：.AABE=ZAEB,

:将△/即沿股翻折得到△/瓦7,

NABD=AABD,

:.NABD=ZBAE,

:.BD//AE,

又,：AE//CD

:.BD//CD.

②证明：如图2,过点、A作AE〃DC交BD于点、E,延长熊交融于点尸,

D'r

图2

■:AD//BC,BD//AE,

四边形所为平行四边形.

/.=NAFB,

:将△/即沿翻折得到△/曲.

=/ADB,

：.Z.AFB=ZADB,

又■：/AEA4BEF,

:.△AEMXBEF,

.AEBE

••=，

DEEF

9：AE=CD,

.CDBE

••,

DEEF

•:EF"CD,

:ZEFSABDC,

.BEBD

••,—,

EFDC

.CDBD

••—,

DECD

：.5=DE/BD,

：.OD=OE,

：.DE=20D,

:@=20»BD.

22.(2020•武汉)问题背景如图(1),己知唐，求证：△/您

尝试应用如图(2),在△45C和施中，NBAC=NDAE=9Q°,/ABC=NADE=30°,47与庞相交于点

ADr-DF

凡点〃在比边上，­=V3,求77的值；

BDCF

拓展创新如图(3),〃是△/园内一点，4BAD=/CBD=3G：/BDC=90°,AB=4,AC=2®直接写出

的长.

【解析】见解析。

【解析】问题背景

证明：,：AABCSXADE,

ABAC

：.一=一,4BAC=4DAE,

ADAE

ABAD

：.ZBAD=/CAE,一=一,

ACAE

二△ABMAACE：

尝试应用

解：如图1,连接况；

BD

图1

•:/BAC=ZDAE=9G,/ABC=NADE=3C,

:AABCSRADE,

由（1）知XABMMACE,

4EAD/—

一=一=、3,NACE=4ABD=/ADE,

ECBD

在RtZ\4应中，ZADE=30°,

AD

AE

AD

EC

.：/ADF=2ECF,/AFD=/EFC,

:.XADFS{\ECF,

DFAD

•••——_OQ•

CFCE

拓展创新

解：如图2,过点力作47的垂线，过点〃作助的垂线，两垂线交于点』/,连接的/,

图2

•・•/胡片30。,

・・・NZHQ60°,

：.AAMD=^°,

JAAMD=/DBC,

又•：/ADM=/BDC=9G0,

:、MBDCSAMDA,

.BDDC

・'MO-DA"

又/BDC=NADM,

・•・/BDC+/CDM=/AD祖/ADC,

WJ/BDAf=NCDA,

△血

BMDM

：.—=—=<r3,

CAAD

9：AC=2y[3,

二止=28x6=6,

：・A9仕ylBM2-AB2=V62-42=2^5,

：.AD=^AM=V5.

AD4/D

23.(2020•南京)如图，在和△力'夕C中，D、〃分别是/氏4少上一点,

AB~A7B

CDACAB

(1)当有一-=—~r=——7时，求证△力的△/BC.

C'D'AfCfA7

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

⑵当k=k=寸时,判断△,与△小叱是否相似，并说明理由•

【解析】见解析。

【解答】(1)证明：•..黑=

ABAzB

.AB

,,Z一A，B，、

CDAC____48

'C，一ZU-4'，

.CDAC____4。

Dz~AfCf~A'D"9

:•△MCsXND'C,

・・・N4=N/,

AC_______AB

・//(?/~AfB

:.XABCsXA'B'C.

CDACAD

故答案为：,ZA=ZA'.

~A,C~ArD

(2)如图，过点〃，D'分别作然〃8GD'E'//B'C,DE交AC于E,D'E'交A'C于■E'.

u：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

ADDEAE

ABBC~AC

「A/D/D'E，AE

同理，,

AB'一B，L~AC

/f

・.4。AD

//，

*AB~AB

/

.DEDE

・・/,，

BCBC

DEBC

f

••D，E，B/c'

同理，*A'E'

=

ZicA'cz

.AC-AEA'C'-A'E'ECE/C

B|J—

**ACA'C'ACA/C

ECAC

f

・・E，C，A'cz

一CDACBC

*c，o/A'c'-B'c'

CDDEEC

,•C，D'D'E'一E'c'

:ADCESAD'CE',

：.ACED=ZC,E'Df,

'：DE//BC.

:./CE讣/ACB=9Q°,

同理，ACE'D'+N/'CB'=180°,