湖南省长沙市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

Page4（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满意，且，则中全部元素之积为（）A. B. C.8 D.163.若函数定义域为，则的定义域是（）A. B. C. D.4.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的必要条件5.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的全部可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.76.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.7.已知，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发觉并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.A.的值域为 B.C. D.以上选项都不对二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且 B.C. D.不等式的解集是10.命题，为假命题，则实数m的取值可以是（）A. B.0 C.1 D.211.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年头，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（）A. B.C. D.12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（）AB.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，那么f(x)解析式为________.14.设集合，，若，则实数t取值范围为____________．15.已知函数，，若对随意，存在，使得，则的取值范围______．16.若，且，则的最小值为_______.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是必要不充分条件，求实数的取值范围.18.已知，，均为正实数，且．（1）求证：；（2）求的最小值．19.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值..20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满意，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会削减，削减的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.21.已知二次函数（，为实数）（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围．22.已知函数，．（1）求函数的定义域和值域；（2）已知为非零实数，记函数的最大值为，求．

雅礼中学2024年下学期高一第一次月考数学（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】依据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.故选：A.2.设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满意，且，则中全部元素之积为（）A. B. C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】依据集合的定义先求出集合，然后再把集合中全部元素相乘即可求解.【详解】由题意，，由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④，依据集合中元素满意互异性去重得，所以中全部元素之积为.故选：C.3.若函数的定义域为，则的定义域是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数中，即可得出，即可选出答案.【详解】因为函数的定义域为，即所以所以的定义域是故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的必要条件【答案】D【解析】【分析】依据充分条件、必要条件的定义推断即可；【详解】解：对于A：由推不出，如，满意，但是，故A错误；对于B：由推不出，如，满意，但是，即不是的必要条件，故B错误；对于C：由推不出，当时，故C错误；对于D：若，则，即，所以，即是的必要条件，故D正确；故选：D5.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的全部可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】依据题意可得或，进而探讨a的范围，确定出，最终得到答案.【详解】因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.【点睛】对于新定义的问题，确定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学学问和方法有很大关联；另外当时，简洁遗漏a=0时的状况，留意细致分析题目.6.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为，则，则，又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有⫋.故选：B.7.已知，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】依据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】，，，，，，当且仅当，即，时等号成立，故选：A8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发觉并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.A.的值域为 B.C. D.以上选项都不对【答案】B【解析】【分析】设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，依据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析探讨即可．【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：①当，，则，；②当，，则，＝0；③当或，则，，所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且 B.C. D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】依据一元二次不等式的解集可推断出的正负以及的关系，由此可推断各选项的对错.【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的状况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确；故选：ABD.10.命题，为假命题，则实数m的取值可以是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题，为真命题，则，解得，所以当命题，为假命题时，，符合条件的为、B、C选项.故选：BC.11.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年头，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据新定义逐个选项代入，化简后依据基本不等式与柯西不等式推断即可.详解】A：，故A对；B：，故B错；C：，，而，故C对；D：由柯西不等式，，故D错.故选：AC.12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】【分析】依据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可推断；对B，利用基本不等式可推断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可推断.【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，由于，所以.A，，当时等号成立，故A正确.B，，当且仅当时等号成立，故B正确.C，不等式的解集为，，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，，故D正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，那么f(x)的解析式为________.【答案】.【解析】【分析】用代换已知式中的，可得，留意有取值范围．【详解】解：由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，用代换，代入上式得：f(x)==，故答案为：．【点睛】本题考查求函数解析式，驾驭函数这定义是解题关键．求解析式时要留意自变量的取值范围．14.设集合，，若，则实数t取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由可知，探讨与，即可求出答案.【详解】因为，所以，当时：，满意题意；当时：，无解；所以实数t的取值范围为.故答案为：15.已知函数，，若对随意，存在，使得，则的取值范围______．【答案】【解析】【分析】由题意可推断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知；当时，，故需同时满意以下两点：①对时，∴恒成立，由于当时，增函数，∴；②对时，，∴恒成立，由于，当且仅当，即时取得等号，∴，∴，故答案为：16.若，且，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】依据a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.【详解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，则xy=1且a，b，所以a2+b2=()2+()2，当且仅当x2，y2时取等号.故答案为.【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的实力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，当时，，因为全集，则或，或，因此，或.【小问2详解】易知集合为非空集合，因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.因此，实数取值范围是.18.已知，，均为正实数，且．（1）求证：；（2）求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）依据结合基本不等式即可得证；（2）依据结合基本不等式即可得解.【小问1详解】原式.当且仅当是取等号，所以；【小问2详解】原式.当且仅当是取等号，所以的最小值为．19.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值..【答案】（1）64（2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵，，，∴，当且仅当时取等号，∴∴，当且仅当时取等号，故的最小值为64.【小问2详解】∵，则，又∵，，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为18.20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满意，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会削减，削减的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出解析式，探讨