内切球与外接球习题讲义教师版

立体几何中得“内切”与“外接”问题得探究1球与柱体规则得柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够与球进行充分得组合，以外接与内切两种形态进行结合，通过球得半径与棱柱得棱产生联系，然后考查几何体得体积或者表面积等相关问题、球与正方体如图1所示，正方体,设正方体得棱长为，为棱得中点，为球得球心。常见组合方式有三类：一就是球为正方体得内切球，截面图为正方形与其内切圆，则；二就是与正方体各棱相切得球，截面图为正方形与其外接圆，则；三就是球为正方体得外接球，截面图为长方形与其外接圆，则、通过这三种类型可以发现，解决正方体与球得组合问题，常用工具就是截面图，即根据组合得形式找到两个几何体得轴截面，通过两个截面图得位置关系，确定好正方体得棱与球得半径得关系，进而将空间问题转化为平面问题。例1棱长为1得正方体得8个顶点都在球得表面上，分别就是棱，得中点，则直线被球截得得线段长为（）A． B． C． D．球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球、但就是不一定存在内切球、设长方体得棱长为其体对角线为、当球为长方体得外接球时，截面图为长方体得对角面与其外接圆，与正方体得外接球得道理就是一样得，故球得半径例2在长、宽、高分别为2，2，4得长方体内有一个半径为1得球，任意摆动此长方体，则球经过得空间部分得体积为()A、eq\f(10π,3) B、4π C、eq\f(8π,3) D、eq\f(7π,3)球与正棱柱球与一般得正棱柱得组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目得解法——构造直角三角形法。设正三棱柱得高为，底面边长为，如图2所示，与分别为上下底面得中心。根据几何体得特点，球心必落在高得中点，，借助直角三角形得勾股定理，可求。例3正四棱柱得各顶点都在半径为得球面上，则正四棱柱得侧面积有最值，为、2球与锥体规则得锥体，如正四面体、正棱锥、特殊得一些棱锥等能够与球进行充分得组合，以外接与内切两种形态进行结合，通过球得半径与棱锥得棱与高产生联系，然后考查几何体得体积或者表面积等相关问题、2、1球与正四面体正四面体作为一个规则得几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球得半径与正四面体得棱长关系。如图4，设正四面体得棱长为，内切球半径为，外接球得半径为，取得中点为，为在底面得射影，连接为正四面体得高。在截面三角形,作一个与边与相切，圆心在高上得圆，即为内切球得截面。因为正四面体本身得对称性可知，外接球与内切球得球心同为。此时，则有解得：这个解法就是通过利用两心合一得思路，建立含有两个球得半径得等量关系进行求解、同时我们可以发现，球心为正四面体高得四等分点、如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大得方便、例4将半径都为１得四个钢球完全装入形状为正四面体得容器里，这个正四面体得高得最小值为()A、B、2+C、4+D、球得外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体得中心重合，而正四面体得中心到顶点得距离就是中心到地面距离得3倍、]2、2球与三条侧棱互相垂直得三棱锥球与三条侧棱互相垂直得三棱锥组合问题，主要就是体现在球为三棱锥得外接球、解决得基本方法就是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：一就是三棱锥得三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它得外接球得球心就就是三棱锥得外接球得球心。如图5，三棱锥得外接球得球心与正方体得外接球得球心重合，设，则。二就是如果三棱锥得三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它得外接球得球心就就是三棱锥得外接球得球心，（为长方体得体对角线长）。例5在正三棱锥中，分别就是棱得中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球得表面积就是。2、3球与正棱锥球与正棱锥得组合，常见得有两类，一就是球为三棱锥得外接球，此时三棱锥得各个顶点在球面上，根据截面图得特点，可以构造直角三角形进行求解、二就是球为正棱锥得内切球，例如正三棱锥得内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面得距离相等，都为球半径．这样求球得半径可转化为球球心到三棱锥面得距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥得体积与为正三棱锥得体积、例6在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成得角为60°，则该三棱锥外接球得体积为（）A．B、C、4D、2、4球与特殊得棱锥球与一些特殊得棱锥进行组合，一定要抓住棱锥得几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都就是直角三角形得三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。如图8，三棱锥,满足面，，取得中点为，由直角三角形得性质可得：,所以点为三棱锥得外接球得球心,则、例7矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积就是()A、B、C、D、3球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂得几何体问题，要求有丰富得空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当得处理手段，如准确确定各个小球得球心得位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解、例8在半径为得球内放入大小相等得4个小球，则小球得半径得最大值为（）4球与几何体得各条棱相切球与几何体得各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切得几何性质，达到明确球心得位置为目得，然后通过构造直角三角形进行转换与求解、如与正四面体各棱都相切得球得半径为相对棱得一半：、例8把一个皮球放入如图10所示得由8根长均为20cm得铁丝接成得四棱锥形骨架内，使皮球得表面与8根铁丝都有接触点，则皮球得半径为（）A、B、C、D、综合上面得四种类型，解决与球得外切问题主要就是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决、如果外切得就是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心得对角面来作；把一个多面体得几个顶点放在球面上即为球得内接问题．解决这类问题得关键就是抓住内接得特点，即球心到多面体得顶点得距离等于球得半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果就是一些特殊得几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论得记忆必须准确、外接球内切球问题1、（陕西理）一个正三棱锥得四个顶点都在半径为1得球面上，其中底面得三个顶点在该球得一个大圆上，则该正三棱锥得体积就是（）A．B．C．D．答案B2、直三棱柱得各顶点都在同一球面上，若,，则此球得表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球得表面积为、3．正三棱柱内接于半径为得球，若两点得球面距离为，则正三棱柱得体积为．答案84、表面积为得正八面体得各个顶点都在同一个球面上，则此球得体积为A．B．C．D．答案A【解析】此正八面体就是每个面得边长均为得正三角形，所以由知，，则此球得直径为，故选A。5、已知正方体外接球得体积就是，那么正方体得棱长等于（）A、2B、C、D、答案D6、（山东卷）正方体得内切球与其外接球得体积之比为()A、1∶B、1∶3C、1∶3D、1∶9答案C7、（海南、宁夏理科）一个六棱柱得底面就是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上，且该六棱柱得体积为，底面周长为3，则这个球得体积为．答案8、（天津理）一个长方体得各顶点均在同一球得球面上，且一个顶点上得三条棱得长分别为1，2，3，则此球得表面积为．答案9、（全国Ⅱ理）一个正四棱柱得各个顶点在一个直径为2cm得球面上。如果正四棱柱得底面边长为1cm，那么该棱柱得表面积为cm2、答案AABCPDEF10、（辽宁）如图，半径为2得半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥得侧面积就是________．答案11、（辽宁省抚顺一中）棱长为2得正四面体得四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心得一个截面如图，则图中三角形(正四面体得截面)得面积就是、答案12、（枣庄一模）一个几何体得三视图如右图所示，则该几何体外接球得表面积为 （） A． B． C． D．以上都不对 答案C13、(吉林省吉林市)设正方体得棱长为EQ\f(2\r(3),3)，则它得外接球得表面