高考高中数学必考：函数常用性质超全面总结

高中数学必考：函数常用性质超全面总结

【高考微专题】“剪不断，理还乱”

——函数常用性质例谈

【导读】

函数常用性质包括泡调性、奇偶性、对称性和周期性,一中奇偶性、对称性和周期性之

间有「丝万缕的联系，可以做到••知:求■,,»看起来有点我扯不消的“二:用恋”关系，单单是

这样，可能学生.还不会觉得函数•繁杂;在这•:位牵扯不清的同时，单调性也不什寂寞，。

他们:个乂一起发生各种关联,在本来就已经混乱的局面上又加r一把火

今天我们就来理清楚这个混乱的问题,先从我是玳，再到他们是i隹,最后是我们应该怎

么样，这样个认知的过程。卜•而，我们开始吧!

【知识梳理】

主要考点：小调性、奇偶性、周期性、对称性等

一、函数的的调性

1.函数单调性的定义

增函数减函数

•般地，设函数/(X)的定义域为/,如果时「定义域/内某个|/间。上的任

意两个自变量的值1，三

定义

-'l.r,<x2ll-t,都仃那么»再<当时，都仃/(xj>/(xj,那

就说函数/(.v)佐卜:间。1：足增函数么就说函数/(.、•)任1<间。上是减函数

设x,,x2e,[a,b],xl*x1.若仃(怎-x,)[/(xj-/(x,)]>0或"*)~~"%)>0，则f(x)在闭

区间[a,句上是增函数；花行(&一x,)[/(xJ_/(x,)]<0或--"一)<0,则/(x)住闭区间

X'f

[a,b]K是减函数.此为函数不调性定义的等价形式.

2.单调区间的定义

若函数y=/(x)在区间。上是增函数或减函数，则称函数y=/(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，区间。叫做函数/(x)的单调|<问.

注意：色)单调性是与“区间”紧密相关的概0,一个函数在不同的区间上，可以有不同的单

调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的

定义域.

(3)”函数的单调区间是月”与“函数在区间3上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然

Ba.4.

(4)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数y=L分别在

X

(-8,0),(O,+a>)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域,即(一8,0)11(0,田)内单调

递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(-8,0)和(0,+00).

3.函数单调性的常用结论

(D若〃x),g(x)均为区间.4上的增(减)函数,则/(x)+g(x)也是区间.4上的增(减)函数;

(2)若k>0,则"(x)与/(x)的单调件相同；若上<0,则犷(x)l/(x)的雅调性相反；

(3)函数y=/(x)(/(x)>0)住公共定义域内与”_/(x),y=卷的单调性相反；

(4)函数y=/(."(/(X)20)任公共定义域内与y=J而的单调性相同；

(5)奇函数在其关「原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调

性相反；

(6)些重要函数的单调性:

第2页共43页

①J.=X+：的单调性：在（73,-1］和［1,+OD）上单调递增，在（-1,0）和（0,1）上单调递减;

('1)y=ax+—(a>0,6>0）的单调性:在I二单调递增,

x

和Sa上单调递减.

4.函数的最值

前提设函数y=/（X）的定义域为/,如果存住实数M满足

<1）对于任意的xe/,都有/（x）4"；（3）对于任意的xe/,都有/（x）>M；

条件（2）存在x°e/,使得/（x0）=M（4）存在使得〃%）=M

结论M为最大值M为最小值

注意：T）函数的值域--定存在，而函数的最值不一定存住;

（2）若函数的最（tt存在，则•定是位域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值,

若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

二、函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对「函数/（X）的定义域内任意•个X,都图象美于

偶函数

有〃-X）=/（切,那么函数/（X）是偶函数y轴对■称

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都图象关于

奇函数

有f（-x）=那么函数/（X）是奇函数原点对称

第3页共43页

判断了(-x)的关系时，也可以使用如下结论：如果〃-x)-/(x)=O或

与R=l(/(x)*0),则函数/(X)为偶函数.如果/(-x)+/(x)=0或与，=-l(/(x)+0),

/(x)/(X)

则函数/(X)为奇函数.

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意

•个X,-X也在定义域内(即定义域关于原点对称).

2.函数奇偶性的几个重要结论

1)奇函数在关f原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调

性相反.

(2)/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:

fMg(x)y(x)+g(x)/*)-g(K)/(X)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

(3)若奇函数的定义域包括0,则〃0)=0.

(4)若函数〃x)是偶函数，则/(-x)=/(x)=/(W).

(5)定义在(-8,+8)1：的任意函数/(X)都可以唯浓示成个奇函数与•个偶函数之和.

(6)若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，则/(x)+〃-x)为偶函数，〃x)-/(-.v)为奇

函数，为偶函数.

(7)掌握•些立耍类型的奇偶函数：

①函数/(x)=a*+/*为偶函数，函数/(x)=a'-ar为奇■函数.

第4页共43页

②函数/(》)=：「、7rzi(。〉0且。工1)为奇函数.

。。a+1

③函数y(x)=iog“匕£(a>ona*i)为奇函数.

l+x

M・函数/(x)=log.(x++1),a>011.</*1)为奇函数.

三、函数的周期性

1.周期函数

时于函数)，=/(x),如果存在一个非零常数7,使得节工取定义域内的任何值时，都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7■为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数/(x)的所有周期中存任一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

/(x)的最小正周期(若不特别说明，7•股都是指最小正周期).

注意：并不是所行周期函数都行最小正周期.

3.函数周期性的常用结论

设函数y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x-a),则函数的周期为2a;

,2若/(x+a)=-/(x),则函数的周期为2a；

③若/(x+u)=」一,则函数的周期为2a；

/(A)

④若/(x+a)-----,则函数的周期为2a；

/(x)

⑤函数/(X)关于直线X=a与X=b对称，那么函数/(X)的周期为2g-aI；

⑥若函数〃x)关于点(。,0)对称，又关于点传,0)时称，则函数/W的周期是2\b-a\;

⑦公函数/(x)大『直线x=。时称，乂关广点@，0)对称，则函数/(x)的周期是4|6-叫

⑧若函数〃x)是偶函数，其图象关于内线x=a对称，则其周期为3；

第5页共43页

。若函数/(“是奇函数，其图象关「直线x=。对称，则其周期为40.

四、函数的对称性

1、对称性的概念

(1)函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则

称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.

(2)对称中心:如果一个函数的图像沿一个点旋转180。,所得的图像能与原函数图像完全重

合>则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心.

2、常见函数的对称性

(1)-个函数的对称性

对广函数f(x),对定义域内的每一个x都有：

①/(a+x)=/(a-x)(或/(x)=/(2a-x);O函数［(x)图像关于宜线x=a对称；

②/(a+x)=/(b-x)。函数/(x)图像关f-直线》=等对称；

【括号内加和是常数,这个常数除以2即为对称轴】

3/S+x)+/(a-x)=0(或/(a+x)=-/(a-x))<=>函数/(x)图像关于点(。,0)对称;

④/(a+.v)+/(b-x)=0(或f(a+x)=-f(b-x)，<=>函数/(x)图像关于点［一^—,oj对称;

⑤f(a+x)+f(b-x)=2c=函数/(x)图像关了点(竽,c)对称;

【函数值加和为零(或函数值互为相反数)，括号内的加和为常数，这个常数除以2为对称

中心横坐标】

(2)两个函数的对称性

①函数y=f(x)与函数)•=/(2a-x)的图像关I-白线x=a时称；

②函数y=/(x+a)与函数丁=/(b-x)的图像关「在线》=容对称；

③函数y=/(x)Lj函数2b-y=/(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.

第6页共43页

【例题精讲】

一、简单单调性问题

[1.11(2019黄沛二模)若函数/(刈=卜"2，x'L在区间[0,内)上单调递增，则实数用的

[lg|x-m|,x>\

取值范围为.

【答案】(田,2

\ioJ

7W<19

【解析】山题意乔解得

l2-2<lg|l-/w|10

[1.2](2019奉贤二模)已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+o>)单调递减，

"ix+y=2019时，恒行/(x)+/(2019)>f(y)成立,则x的取值范围是_______.

【答案】(y,0)

【解析】由题意，可以用特殊函数做，比如y=/(x)=-x,则可得-x-2019>-y=-(2019-x),

可解得x<0.

[1.31(2019普陀二模)设函数/(x)是定义在R上的偶函数,记g(r)=/(x)-x2,且函数g(x)

在区间[0,+8)上是增函数，则不等式/(A+2)-/(2)>A-2+4x的解集是.

【：，案】(-8,-4)o(0,+co)

【解析】介意:由题意可得，函数g(x)为偶函数，由/(x+2)-/(2)>x?+4x得,

/(x+2)-卜+2丁>/(2)-22,即g(x+2)>g(2),:虱*)为偶函数，且在区间[0,+8)递增，

.,Jx+21>2..1x<-4或x>0.即解集为(-8,-4)0(0,+s)

解法：：取特殊值，不妨设/(x)=2/,解得解集为(-s,-4)U(0,+s).

第7页共43页

[1,4]<2019长宁嘉定•模)某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出「如卜两个命题:

己知函数y=/(x)的定义域为D,xt,x2eD.

①若当/(怎)+/。2)=0时,都有$+电=0,则函数y=/(x)是D上的奇函数.

②若当/(项)〈/(三)时，都有演〈三,则函数y=/(x)是。匕的增函数.

卜列判断正确的是()

A、I.和②都是真命题B、①是真命题，②是假命题

C、；1:和都是假命题D、①是假命题，②是其命题

【解析】村于命题①，存在另个角度思考，定义域关于原点对称没rr说明，其次不能衣示住

意性即存在/(&)+/(%)=0,有&+%=0，不符合奇函数的定义.

对于命题②，同样也不能表示任意性，即存在/(演)</(5)，有占<三，也不符合单调增函

数的定义.故，1和⑵都是假命题，故答案选C.

[15](202()黄浦:模)己知函数/(x)=a'+6(。>0,。*1)的定义域和值域都是[-2,0].则

/(-1)=

【答案】6-3

0<a<l

【解析】由题意得:⑴/(一2)=0,解得T，此时/(-1)=石-3；②"(-2)=-2,无

/(0)=-2b=-3,/(0)=0

(“-3)x,x41是忖)上的减函数，那么。的取值范围是()

[1.6]-知函数/(x)=

-2ax,x>l

A、(0,3)B、(0,3]C、(1,3)D、13)

[JD

a—3<0

【倘析】由题意得:-2a<0,解得aeR,3),

(a-3)xl>-2axl

第8页共43页

[1.7](2020金山：模)已知函数/(x)=lg匕土+sinx+l，若/(而)=4,则/(_>»)=______.

1+X

【答案】-2

【解析】易知函数y=1g-~—为奇函数，令g(x)=/(x)-1=1g-~—+sinx为奇函数，

1+x1+x

g(m)=/(m)—1=3,g(—，")=/(-，")一1=—g(，")=—3,2.

【1.8]已知函数/(x)隹及上是单调函数，艮满足时任意xeR，都有/|/(x)-2']=3,则〃3)

的值是()

A,3B、7C^9D、12

【答案】C

【解析】•.•函数/⑴是R上的单调函数，乂//(x)-2']=3,可令，=/(x)-23.•J(x)=2'+r,

又•••/(f)=3,即2'+/=3,解得f=1,r./(x)=2'+l,.,./(3)=9.

2、简单奇偶性问题

[21](2019奉贤-模)函数g(x)对任意的xeR，ffg(x)+g(-x)=x'.设函数/(x)g(A")~y，

且/(x)在区间[0,+8)上单调递增，若/(a)+/(a，-2)近0,则实数。的取值范围为.

【答案】[-2』

【解析】g(x)=/(x)+千g(x)+g(-x)=/(*)+^-+/(-x)+^-=x1=>/(x)+/(-x)=0

“X)是在R上的奇函数，/(&)+/(/-2)W0=>f(a)<-f[a!-2)=f(2-a2)即aW2-『

ae[-2,l]

[2.2](2019金山-模)设函数/(x)=lg(l+|x|)-一二,则使得/(2x)</(3x-2)成立的x的

1+X

取值范围是.

7

【答(-<x),M)D(2,+8)

第9页共43页

【解析】由题可得/(x)=/(-x),当x20时,/(X)=增-减=增,

2

故只需：|2.v|<|3x-2|,(Wft1xe(-00,|-)u(2,+co)

[2.3](2019宝山一模)关于函数/(x)=-y^的下列判断,其中正确的是(:〉

A、函数的图像是轴对称图形.B、函数的图像是中心时称图形.

C、函数有最大值.D、当*>0时，y=/(x)是减函数.

【答柒】A

[firtill由--230,得xw±3定义域关于原点对称，由/(-*)=—4—=—=/")

(-X)-2x-2

所以是偶函数，图像是轴对称图形，A正确，B错误.函数值域为R,C错误.

当x>0时，y=/(x)的减IW间为(0,e)U(&,+8),D错误，选A

[2.4](2019虹口二模)若函数/(x)=log,(9'+l)+fcv(ksR)为偶函数,则％的值为____.

【答案】-1

QA.1

【解析】由/(k)-/(—x)=log,-----+2kx=log9X+2kx=2x+2kx=0可得k=-l

9-*+13

[25](2019杨浦：模)若定义域为(F,0)U(0,+8)的函数/(r)=[j2'”>°是奇函数，

[2"+”1x<0

则实数m的值为.

【答案】-1

【斛折】由已知，/(1)=1./(-l)=|+m,：/(*)是奇函数，,g+g+n»=O,...m=-1,经

检验，当〃7=-1时，/")是奇函数，故〃?=T.

[2.6](2020金山：模)函数/(x)是定义住K上的奇函数，为偶函数，^ixe[0,l]

时，〃x)=4.若函数g(x)=/(x)-x-,"行三个零点，则实数切的取值范围是(

第10页共43页

B、(1-V2.V2-1)

C、(4A---,4A-+-)(A-eZ)D、(4k+1-4k+及-1)(keZ.)

44

【答案】c

【解析】由题意，函数/(x)关于原点对称，也关于直线x=-l对称，作出图像如图，易知函

数周期为7=4.

g(x)=Off：个不同的解，即/(x)=x+m方程Tf3个不同的解，

即函数y=/(x)与函数y=x+w的图像有3个不同的交点，

由图像易知，相切时候为临界条件，此时有2个交点，

Vx=x+m,令7=正整理得/一，+，"=0,A=0,解得小=1，

由对称性可知，在xe[-2,2]的这个周期内，满足题意的，”取值范围为

又♦.•函数/(x)的周期为4,.•・加€[4*-1,4*+；),keZ.

[27](2020松江二模)若函数/(x)=logz(2'+l)+b是偶函数，则4=.

【答案】」

2

(W析】因为函数/(X)是偶函数，.•./⑴=/(-1),解得K=_；.

[2.8](2020浦东二模)已知函数/(x)=x2+alog2(Y+2)+a-2的零点有且只有•个，则实

数a的取值集合为.

【答案】{1}

【解析】易知函数/(x)为偶函数，乂因为函数/(x)有三个零点，../(0)=0,;“=1.

第11页共43页

[2.9](2019松江一模)已知函数/(x)=a-岛(常数aeR).

1)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由;

(2)当“X)为奇函数时，若对任意的xeR.3],都有/(x)Z?成立，求m的最大值.

【答案】(1)若当a=l时，/(x)为奇函数；(2)山,即帆的最大值是]

【解析】(I)若/(x)为奇函数，必有〃0)=a-l=0得a=l.

、“…22X-12-x-11-2X

2|a=1Hj»/(x)=1---------,f(-x)=-------二———二-/(x)，

2*+12X+12-x+l2r+l

工当且仅当a=1时,/(x)为奇函数

又/(l)=a-|,/(-l)=a-g,二对任意实数a,都有/(-1-/(I),

.••/(X)不可能是偶函数

(2)由条件可得:m<21/(x)=2Ia—)=(2X+1)+——-3恒成立,

2T+12r+1

记，=2*+1,则由xe[2,3]得f€[5,9],

此时函数g(/)=/+：-3在丘[5,9]上单调递增，

所以g⑺的最小值是g(5)=£,

所以加与二，即用的最大值是

55

[2.10](2020杨浦模)己知函数/(X)=2'+£,其中。为次常数.

(1)若/(0)=7,解关于x的方程/(x)=5；

(2)判断函数/(x)的奇偶性,并说明理由.

【7；案】(1)x=1或x=logz3；

(2)a=l时为偶函数，。=-1时为奇函数，费非奇非偶函数

【解析】(1)由/(0)=1+。=7,所以。=6,

方程2'+挤=5即⑵y-5W+6=0,

第12页共43页

解得x=1或不=log,3

(2)解法：函数的定义域为R

①当。=1时,/(x)=2x+—,

21

时任意xwR,均有/(-x)=27+3=5+2'=/(x)

所以/(x)=2，+*为偶函数；

V

②当。=-1时，/(A-)=2-^?,

对任意xeR,均有/(-x)=2-x——1-----21—/(x)

2r2*

所以/(x)=2*+5为奇函数；

③当awlHaw-l时，/(x)=2A+^-.

由/⑴=2+人，f(-l)=-+2a

22

/⑴+/(-1)=^+不。#0./⑴-/(-1)=#0

所以/*)=2、/为非奇非偶函数。

2,解法：：函数/(x)的定义域为R.

/(x)为奇函数当且仅当/(-x)+/(x)=0而任意xeR恒龙江，

2-，+*+2»+>0,即⑵+3)(l+a)=0,

x任意l+a=0»即a=—1.

【说明】：/(0)=0=。=一1，须将0=-1代I可解析式验证/(f)=-/(》)恒成立.

/(X)为偶函数当IL仅当/(—•)-/*)=0对任意xeR恒成立,

2T+—2'—不-=0*H|J(2'——1)=0»

,:x任意:.a-1=0>即a=1.

综上所述：当。=1时/(X)为偶函数；当a=7时/(x)为奇函数；

当"±1时/(x)为非奇非偶函数.

第13页共43页

[2,11](2020普陀二模)设函数/(x)=F"l-2MXM0是偶函数

[g(x)0<x<w

(1)求实数m的值及g(x);

(2)设函数g(x)住区间［0.附］上的反函数为gT(x),当g"⑵>log《(。>0口.亦1,时，求实

数。的取值范围.

【备案】(1,w=2.g(x)=3*-l；(2)(0,-)U(l,+oo)；

【解析】(D•••函数/(x)为偶函数，...定义域关于原点对称Fl/(-x)=/(x),则加=2,

当0<xv2时，/(x)=g(x),Wi］-2<-x<0,/(-x)=3x-l=/(x),

g(x)=3*-l.

(2)函数g(x)在区间［0,2］卜.的反函数为g\x),

则3丁⑶-1=2,npg-'(2)=1,

22

明。g1<l，则产产或性广I

0<a<Ia>1

2

即0<a<,或a>1,

.,.实数a的取值范围为(0,1)U(1,+8).

3、函数的周期性和对称性

［311(2019奉贤•模)天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天千与十二地支.

十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

十二地文：广、H、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支纪年法是按顺咋以个大干和个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，

天干天呷”起,地支由“子”起，比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙

支”，…，以此类推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲，嚏新开始，即“甲戌”，“乙亥”,之后地

支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推.已知2016年为丙申年，那么到改革开放100

年时，即2078年为年.

第14页共43页

【答案】戊戌

【解析】等基数列，天干以10为周期，地支以12为周期,分别计算.

[32]2019静安一模)若定义住实数集R上的奇函数y=/(x)的图像关于直线x=l对称,

且当0vxv1时，/(x)=J,则方程f(x)=L在区间《10)内的所有实根之和为.

1答案】24

【解析】(1)易知数y=/(x)为周期函数，且周期为4,则由对称关系知：

玉+*+/+…+/=2x(-3)+2x1+2x5+2x9=24.

[3.3](2019普陀一模)记。为常数，记函数/(x)=Llog。」一(a>0Ila*1,0<x<a)

2a-x

的反函数为/T(X),则/T(J;)+/T(：7J)+/T(J7)+…+尸(区)=_______

la+1la+12。+12a+1

【笞案】a2

【解析】由题意得:

12a22o-l

-----1-----=------I-=-----=-1

2a+12。+12a+12a+1

乂+外=1

/(x1)+/(x,)=l+log„-^---士一=1

a—x{a—x2

x,x2.

------=—=1a=X)+x2

]+广舄卜『

卜广(高卜广(击)+•••

2a+1

第15页共43页

x<0

[3.4](2019虹口二模)若函数f(x)=，则/(2019)的值为.

/(x-l)-/(x-2)x>0

【答案】-1

【解析■】x>0,/(x+3)=/(x+2)-/(x+1)=[/(X+1)-/(x)]-/(x+l)=_/(x)，

/(x+6)=-/(x+3)=/(A),；./(2019)=/(3)=-/(0)=-1.

[3.5](2019浦东二模)一知/(')=。,-q+0,则时任意非零卖数。,6，(\,”,",，，方程

切'«)+布(》)+7=0的解集不可能为()

A、｛2019｝B、｛2018,2019｝C、｛1,2,2018,2019｝D、｛1,9,81,729)

(]D

【解析】本题考察且合方程，肛』+"y+，=01),f(x)a\x-+c②，先解决前者，后分

析后希函数图像，当)f程।行-解，记为外，.得外代入H程⑵得：丹=°卜-耳+c,即为

常住函数y=y0与函数/(x)=akM+c交点问题，若交点有1个，则原方程为1解，故A

选项可以；若有两交点，即两解，则B选项可以；若方程①有两解，记为外,为，同上，则

看函数y=M，y=%与函数/*)=a|x6|+c的交点，可行4个交点，从图像中可得，其4

个解两两关于直线x=b对称,对于C选项,可知4个解两两关于直线x=1010对称,可满

足；D选项不存在自线x=b使得这4个解两两关于内线x=b对称，则不可能成立；故选

D.

[3.6](2020崇明一模)已知函数“X)是定义在R上的周期为2的奇•函数.当0<xvl时，

f(x)=x3-ax+\,则实数a的值等于.

【答案】2

【解.析】T=2,1)=/(1),•••/(x)为奇函数，/(1)=-/(-1),；./⑴=-/(1),即/(1)=0,

/(1)=2—a=0(即a=2.

第16页共43页

［37］(2020拧浦一模)已知时于任意给定的正实数上函数/a)=2'+h2T的图像都关于

直线X=〃7成轴对称图形，则〃7=.

【容£】log2k

【解析】由题意知，f(x)=f(2m-x),：.2s+k-2'5=22m'x+k-2x-2m=-^-2x+22"'.2'1,

：.2‘M=k,;.，”=；log2a.

4、抽象函数问题

［4.1］设/(x)是尺上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A、〃x)/(-x)是奇函数B、〃x)|/(-x)|是奇函数

C、〃x)-/(-x)是偶函数D、/(x)+/(-x)是偶函数

【答案】D

【解析】由于xeR,对于A,令尸(x)=/(x)/(-x),F(-x)=/(-A)/(X),F(x)=F(-x),

则尸(x)为偶函数,同理可得y=/(x)-/(-x)为奇函数,y=/(x)+/(-x)为偶函数，对于B

是无法确定的，可举反例，y=x,y=x—1，y=0等.

【4.2］已知定义在R上的偶函数/(x)满足〃x+4)=-/(x),I］.隹区间［0,4］上是减函数，则

()

A、/(10)</(13)</(15)B、/(13)</(10)</(15)

C、/(15)</(10)</(13)D、/(15)</(13)</(10)

【答案】B

【，洋折】lll/(x+4)=-/(x)ur知7=8,又因为函数/(x)为偶函数，且在［0,4］递减，由图像可

知，函数住［4,8］上递增，/(15)=/(7)=/(-1)=/(I)>/(2)=/(10)>/(3)=/(5)=/(13),故

选B.

第17页共43页

[4,3]已知定义为&的函数/(x)满足〃-x)=-/(x+4),且函数/(x)在区间(2,+»)上单调

递增.如果为<2<七,ILjTj+x2<4,则/(xJ+/(X2)的值(

A、恒小于0B、恒大于0C、可能为0D、可正可负

【答案】A

【解析】III/(-x)=-/(x+4)知，函数/(x)关于点(2,0)对称，又因为函数/(%)在区间(2,七»)

上单调递增，当Xo+X[=4时，/(Xo)+/(xj=0,现在X]+x?<4,x0>x2,f(x0)>f(x2),

，/(a)+/(三)<。.

【4.4]已知定义在区间(0,+«))上的函数满足/%=/(A-)-/(.V,).IL当x>l时,

<X2,

/(X)<0.

(1)求八1)的值；

(2)判断/(x)的单调性;

(3)若〃3)=-1,解不等式/(|x|)<-2.

【答案】(1)0；(2)减函数；(3)(-oo,-9)U(9,+8)：

【解析】(1)令%=x?=l"(ihO；

(2)JfiXj>x,>0././I—|<0,

A㈤

由/仁卜/(&)-/“)，可得

/(a)-/(均)=彳.)<0,

二.函数f(x)K(0,+oo)为减函数.

第18页共43页

(3)令*=93=3,.•.《，=7•⑼一/(3),Zv/(3)=-l,.-./(9)=-2,

.,./QX|)<-2可化为/QX|)</(9),Fh(2)知/(x)为(0,+00)的减函数，

：]x|>9,xe(-oo,-9)U(9,-H»).

5、函数性质综合应用

[51](2020闵行二模)已知/(x+2)是定义在R上的偶函数，』再,三e[2,+oo)Fix产x?时,

总有二三三—<0,则不等式/(-3田+1)</(12)的解提为_____.

/区)-/(三)

【答案】(1,+8)

【解析】由题意，/(x)关于x=2对称，且在[2,+00)递减，；./(-3"1+1)</(12)=>-3"'+1>12

(舍)或-3»"+1<-8,解得x>l

[5.2](2020虹.11-模)已知函数/(》)=k+2|.双幻=k+;|,定义函数

产(X)=•[/(')'当/(X)-8(X)，若对任意的XGR,都有尸(x)=尸(2-X)成立，则f的取值为

[g(x),当/(x)>g(戈).

()

A、-4-2C、0D、2

【答案】A

【解析】函数/(x)对称轴为x=-2,g(x)对称轴为x=T,,.,F(x)=77(2-x),关于x=l对称,

[5.3](2020黄浦一模)已知函数J，=/(K)ijy=g&)的图像关于直线丁二x对称，若

x

f(x)=x+log2(2+2),则满足/(x)>log,3>g(x)的式的取值范围是.

(??>：](0,logJ5)

第19页共43页

xv

【倘析】/(x)=A+log,(2+2)=log2丫+2(2)]>log23*解彳.}•x>0：g(x)<log23的x的范

围,即当工<log?3时，/(x)的范围，・・・/(x)单调递增，.・J(x)</(log23)=log215,即

8(》)<10823的解为为<108215；综E：xe(0,log,15).

[54](2020宝山二模)己知〃x)是定义在&上的奇函数,对任意两个不相等的正数X，4

做冷。，

都行XJ5)-•'"(三)<0,则函数g(x)=X(

NF0,x=0,

A,是偶函数，且在(0,+oo)上单调递减.B、是偶函数，且在(0,48)上单调递增.

C、是暂函数，且单调递减.D、是奇函数，且单调递增.

【答案】A

【解析】当xwO,g(x)=Z^，/(-x)=-/(x),g(-x)="=g(x),

X-XX

.♦.g(x)为偶函数.当0<苦<2，/(占)一芭/(三)<0二三/(i)_./(三)>0,

Xl~X2

即吃/区)>菁/区)="")>"")=>g(M)>g(X2)，即g(K)在(0,+00)上单调递减.

X]x2

[55](2019青浦一模)对于在某个区间[a,”)上有意义的函数〃x),如果存在一次函数

g(x)=fcv+b使得对■于任总的xw[a,+oo),仃|/(K)-g(K)|sl恒成立，则称函数g(x)是函数/(X)

在区间[。,例)上的弱渐近函数.

(1)若函数g(x)=3x是函数/&)=3丫+史在区间[4,+8)上的弱渐近函数，求实数m的取值

范围；

(2)证明：函数以刈二2工是函数/8)=2，口企区叫2,+8)上的弱渐近函数.

【答案】(1)|w|<4=>-4</w<4

(2)函数8(外=2不是函数/(》)=2"工工在区间[2,收)上.的弱渐近函数.

【解析】1)因为函数g(K)=3x是函数/(K)=3K+巴■住1<间[4,+8)上的弱渐近函数，

第20页共43页

所以|/(')-8(戈)|二?41，即|向引为|在区间［4,+00)上恒成立,

即|?w|<4=>-4<w<4

(2)|/(x)-g(x)\=|2Vx2-1-2x|=2|Vx2-1-x|

x€[2,+co),/.\f(x)-g(x)|=?|x-Jx2-1|=2(x-Vx2-1)

____2-Vx2-lj(x+y/x2-ij2

令人(丫)=|/。)-g(x)|=2(K-7X2-1)=一

x+\lx2-1x+yjx2-1

任取2<X,<A,»则3WK；一1<x；-1,<Jx；一1<Jx；-1

j,22

0<X]+—1<k,+Jx；—1------/>------/h(xj>/7(A,,)

K[+4x；—1X,+yjXy-1

即函数A(x)=|/(x)-g(x)\=2(x-\/x2-1)住区间[2,上单调递减，

所以|/(x)-g(x)|«0,4-23卜

又,即满足g(x)=2x使得对丁“E点:的xe[2,+oo)仃|/(x)-g(x)|vl恒成立,

所以函数g(x)=2x是函数/(》)=2/^工任区间[2,+oo)上的弱渐近函数

[5.6],2019闵行•模)对「函数)，=/(.、-)，方函数尸(x)=/(x+l)-/(x)是增函数，则称函

数y=/(x)具有性质X.

⑴若/(6=心+2，，求尸(x)的解析式,并判断了(x)是否具有性质小

(2)判断命题“减函数不具有性质人”是否真命题,并说明理由;

(3)若函数/(x)=fcv2+/(x20)具有性质N,求实数★的取值范围，并讨论此时函数

g(x)=/(sinx)-sinA-住区间上零点:的个数。

【答案】(1)具有；(2)假命题；

(3)当ke-1,o|lb]-,零点个数为2；当《=0时，零点个数为3；当%<0,+8)时，零点个

数为4；

第21页共43页

【解析】(1)F(X)=/(A+1)-/(X)=(X+1)2+2X+1-X2-2A=2X+2X+1,

lWF(A)=2X+2x4-1rE(-co,+ao)上是增函数，所以/(x)具有性质A

(2)举例：/(x)=-A(x20)是减函数，F(x)=/(x+1)-/(.v)=-\/x+l+>/x

1

可得F(X)=-y/x4-1+\/x=-在［O,X)上单调递增,

x/x+1+>/x

所以f(x)=-^(x>0).性质X,所以该命题是假命题.：

(3)F(x)=^(x+l)'+(A*+1)3-kx2-x3=3x2+(2Ar+3)x+/:+l(x>0),

因为f(x)=kx2+x3(x>0)具有性质A>则-2W0=上>--

62

g(x)=/(sinx)-sinx=^sin2x+sin3x-sinA*»lllg(K)=0f号

Arsin2x+sin3x-sinx=0=>sinx=0或ksinx=-sin2x+1=x=0或x=不或

k=-^sin.v-——j.re(0,^)»设sinx=r,则左=一卜一1)/w(0,1］,ill函数

k=<0』的图像可知：

'--Ike-0卜h/=/j>l,sinx=无解；

>l］攵=0时，t.=l,sinx=1x=—;

2

当£w(0,+co)时，/=/,e(0,l),sinA=/,在(0,”)上Tf两个解；

综上所述：与丘-：,())时，g(x)任区间［0用上的书点个数为2

当左=0时,g(k)在区间［0,可上的零点个数为3

当kw(0,+oo)时，g(x)在区间［0,1］上的零点个数为4

第22页共43页

[5.7](2019长宁嘉定一模)已知函数/(x)=-/+mx+l,g(x)=2sin(cox+-).

6

(1)若函数y=/(x)+2x为偶函数，求实数用的值；

(2)若。>0,g(x)<g(rl)tH.函数g(x)在[0,夕上单调,求实数。的值；

(3)令0=1,若当演«1,2]时，总仃勺«°，可，使得g(》2)=/(A)，求实数m取值范围.

【答案】(1)zw=-2；(2)@=(3)/we[l,2]；

[iij-'i-析】(1)设A(x)=f(A)+2xf则A(K)=-x2+(m+2)x+1

由于h(x)是偶函数，所以对任意X£&,/?(-X)=，7(.v)成'X.

即一(一x)2+2)