高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (19)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（19）

一、单项选择题（本大题共15小题，共75.0分）

1.在44BC中，4B=2y[n,AC=2后,BC=+AC=12,E,尸,G分别为4B,BC,4c三边中点,

将4BE尸,A4EG,/GCF分别沿EF,EG,GF向上折起，使4,B,C重合，记为S,则三棱锥S-EFG的

外接球表面积的最小值为（）

a

A.-nB.16TTC.187rD.36兀

2.在三棱锥P—ABC中，PA1底面ABC,AB1AC,AB=6,AC=8,。是线段4c上一点，且AD=

3DC,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球。表面上，过点。作球。的截面，若所得截面圆的面积

的最大值与最小值之差为16兀，则球。的表面积为（）

A.72兀B.867rC.112nD.1287r

3.在正方体4BCD-&B1GD1中，E,尸分别为棱A8,8c的中点，过点。「E,尸作该正方体的

截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）

4.在正方体48。。-4当6。1中，球名同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为

公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F.若以尸为焦点，4当为准线的抛物线经过01、02,

设球为、。2的半径分别为「1、万，则斌的值为（）

A.V3-V2B.2-V3C.1-yD.

5.在四面体ABC。中，AB=CD=2,AC=BD=再，AD=BC=V7.E，/分别是AD,BC的中

点，若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一

个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（）

A.迥B.V3C.逋D.这

444

6.如图，四边形A8C。为正方形，四边形EFBO为矩形，且平面4BC。

与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为延，则该多面体

3

外接球表面积的最小值为（）

A.67r

B.87r

C.12TT

D.16TT

7.设正方体43。。-4/。1。1内部有两个球。1和。2，已知球Oi与正方体的三个面相切，球内与正

方体的六个面均相切，且球01与球。2也相切.设球。1，。2的半径分别为「，2，则£=（）

A.V3-V2B.2-V3C.亨D1-T

8.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1,则该儿

何体的体积为（）

A.8-兀

2

B.8-F

C.8-2兀

4

D.8-y

9.己知正方体4BC0-公当的。1的棱长为4,E为SB1的中点，尸为线段。内上靠近劣的四等分点,

平面4EF交CCi于点G,则四边形&EGF的面积为（）

A.2A/65B.10V3C.4VnD.2V2T

10.四面体ABC。的外接球球心在CO上，且CD=2,AB=®当力B_LCD时，四面体4BCO的

体积为（）.

A.立B.在C.iD.在

6644

11.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形

B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

12.在棱长为1的正方体4BCD-4B1GD1中，点P在侧面BCG当上运

动.若点P到点4的距离为红金则动点P的轨迹在正方形BCG/内

3

的一段曲线长为（）

A67r

・3

B2x/3;r

,3

C4\/3n

.3

D.回

6

13.如图：AABC^,ABIBC,AACB=60°,。为AC中点，448。沿BZ）边翻折过程中，直线

AB与直线BC所成的最大角，最小角分别记为曲,由，直线AO与直线8C所成的最大角，最小

角分别记为。2，仇，则有

A.a1<«2«61—02B.的<a2,Pi>仇

C.%>oc2,Pi<02D.劭>C?2,Pl>p2

14.如图甲，在△ABC中，AB=BC=2,AABC=120°,。为AC的中点，E为AB上一点，且满

足历•而=0,将AADE沿。E翻折得到直二面角A-DE-B,连接AC,F是4c的中点，连

接8F,BD,DF（如图乙所示），则下列结论正确的是（）

A.AD1BD

B.ADE

C.DA与平面A8E所成角的正切值是旧

D.三棱锥"FDC的体积为卷

15.古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本）一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直

角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直

角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的

圆心角的大小为（）

71

AA.-CB.-37T

C.V27TD.与直角圆锥的母线长有关

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

16.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（0<x<1）的液体，旋转容器，下列说法正确的是

A.当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同

B.Vx6（0,1）.液面都可以成正三角形形状

当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为

C.4

D.当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为2通

17.对于四面体4-BCD,以下命题中正确的命题是（）

A.若4B=AC=4。，则A8,AC,A£>与底面所成的角相等

B.若ACLBD,则点A在底面△BCD内的射影是的内心

C.四面体4-BCD的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体4-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为？

三、填空题（本大题共9小题，共45.（）分）

18.在四面体ABCD中，若A0=0C=4C=CB=l,则当四面体A8CD的体积最大时，其外接球

的表面积为.

19.在各棱长均为2的正三棱柱ABC-4B1C1中，点P在棱A&上运动，。在底面A8C上运动，|PQ|=

V2,R为PQ的中点，则动点R的轨迹所形成的曲面的面积为.

20.在AABC中，AC=2,BC=3,AC1BC,。为8c边上的一点，将△4C0折叠至A4加。的位

置，使点G在平面AB力外，且点G在平面ABO上的射影E在线段48上，设4E=x,则x的取

值范围为.

Cl

D

21.在仇章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱

称之为堑堵，如图，在堑堵ABC-aB1G中，AB=BC,AAA>AB,

堑堵的顶点G到直线&C的距离为m,G到平面&BC的距离为n,则胃的

取值范围是.

22.如图（1）是数学家GeminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称

为“。的de/沅双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相

切，设图中球。1,球。2的半径分别为3和1.球心距离|。1。2|=8,截面分别与球01，球外切

于E,尸（瓦尸是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率为

23.如图，在四面体A8C。中，E、F分别是AB、CD的中点，G、4分别是2C和AO上的动点,

且EH与G尸相交于点K.下列判断中：

①直线B。经过点K-.

@^EIEFC=S团EFH；

③E、F、G、H四点共面，且该平面把四面体ABC。的体积分为相等的两部分.

所有正确的序号为.

24.在长方体ABCC-4$修1。1中，AD=DDr=1,AB=百，E,吃G分别是棱AB,BC,CC1的中点，

P是底面ABCO内一动点，若直线&P与平面EFG没有公共点，则三角形尸8名面积的最小值为

25.我国南北朝时期的数学家祖昭(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖随原理：“募

势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，

则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y=x2,直线/为曲线C在点(1,1)处的切线.如图

所示，阴影部分为曲线C、直线/以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所

得的几何体为2过(0,y)(0<y<1)作。的水平截面，所得截面面积S=(用y表示)；试借

助一个圆锥，并利用祖随原理，得出0体积为.

26.在正三棱锥P-ABC中，PA=2,AB=2近,则P一ABC外接球的半径为；过棱PA中

点M的平面截外接球所得截面面积的范围为.

四、解答题(本大题共4小题，共48.0分)

27.如图，在四棱柱4800-4/165中，底面ABC。是边长为2的菱形，ABr=CBr.

(1)证明：平面8。2为，平面4BCC；

(2)若=60。，ADBiB是等边三角形，求点名到平面C/D的距离.

28.如图所示，在直三棱柱ABC-4出6中，底面是等腰直角三角形，乙4cB=90。，侧棱=

2.CA=2,。溟CC］的中点，试问在线段上是否存在一点E(不与端点重合)使得点必到平面

AED的距离为乎?

29.如图，已知正四棱柱ABCD-4出加。1底面边长AB=2,侧棱=3,M为侧棱CC1的中

(1)求证：801AM；

(2)求证：4传1〃平面当。”：

(3)求三棱锥儿-&DM的体积.

30.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器□的高均为32cs,容器I的底

面对角线AC的长为10V7cm，容器II的两底面对角线EG,E6的长分别为和62cm.分别

在容器I和容器口中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒/,其长度为40cm.(容器厚度、玻

璃棒粗细均忽略不计)

(1)将/放在容器I中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱CCi上，求/浸入水中部分的长

度;

(2)将/放在容器n中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求/浸入水中部分的长

度.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查常用不等式的应用以及球的表面积的求解，同时考查立体几何中的补形问题，属中档题.

将三棱锥补形成长方体，可得三棱锥S-EFG的外接球的直径的平方为7+等，进而可得7+等2

16,即可三棱锥S—EFG的外接球面积最小值.

解：根据题意，三棱锥S-EFG的对棱分别相等，将三棱锥S-EFG补成长方体，则对角线分别为

Vn,Vm,VT4,

设长方体的长宽高分别为%,%z,则/+V="，y2+z2=14,x24-z2=m,

所以/+y2+z2=7+*

所以三棱锥S-EFG的外接球的直径的平方为7+等，

而标+返=6,等之(叱后)=9,当爪=n=9时取等号，

所以7+等216,

所以三棱锥S-EFG的外接球面积最小为167r.

故选B.

2.答案：C

解析：解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球。,设三角形48c的

中心为0',

设外接球的半径为七球心。到平面ABC的距离为x,即。O'=》,连接02,则0'4=5,.-.R2=r2+25,

在三角形ABC中，取AC的中点E,连接。'。，O'E,则O'E=(AB=3

O'D=713，

在RtA。。'。中，0D=7T2+13,由题意得当截面与直线。。垂直时，

截面面积最小，

设此时截面半径为r,则/=R2-0D2=x2+25-(x2+13)=12,

B

所以截面圆的面积为兀/=1271,

当截面过球心时，截面圆的面积最大为兀/?2,...兀R2-12兀=16兀，

所以R2=28,

所以表面积S=4TTR2=112兀，

故选：C.

由题意一条侧棱垂直于底面，补成三棱柱，若所得截面圆的面积的最小值时截面与垂直，所得

截面圆的面积最大值时过球心，分别求出两种情况的半径，进而求出面积的和，求出球的半径，进

而求出表面积.

本题考查球的表面积的求法，考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积公式等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

3.答案：D

解析：

本题考查了立体几何的截面及体积问题，考查空间想象能力，属于较难题.

设正方体力BCD—4B1GD1的棱长为6,则其体积为216,延长交DA的延长线于点K,连接KE,

延长。1N交。C的延长线于点连接FL,分别求出力「Da，VM-AKE＞进而求出较小部分与较大部

分的体积，从而求出答案.

解：如图，可以作出截面DiMEFN,设正方体4BCD—的棱长为6,则其体积为216,

延长。交D4的延长线于点K,连接KE,延长£)iN交0c的延长线于点3连接FL

因为E,尸分别为棱A8,BC的中点，M,N分别为两棱的三等分点，

所以4K=CL=3,AM=CN=2,

所以，DI-DKL=孑X6X（5X9X9）=81,^M-AKE=VN-CFL=&X2XQX3X3）=3,

所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81-6=75,另外一部分的体积为216-75=

141,

所以较小部分与较大部分的体积的比值为工=符.

14147

故选。.

4.答案：B

解析：

本题考查抛物线的定义，内切球问题，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于较难题.

由题意，两个球的球心。「外和两球的切点产均在正方体-48修［£)1的体对角线4G上，作

出图示，得到O2F=T2=1，4。2=牛=百，所以力尸=4。2—。2尸=遮一1，结合4F=A0i+

。1尸=百厂1+「1，可解得6，从而求出会

解：由题意，根据抛物线的定义，点。2到点F的距离与到直线AB1的距离相等，其中点。2到点尸的

距离即半径「2，

也即点。2到平面CDD©的距离，点。2到直线4B1的距离即点。2到平面的距离，

因此球。2内切于正方体，不妨设「2=1,两个球心。1，。2和两球的切点尸均在体对角线4C1上，

两个球在平面4殳(?1。处的截面如图所示，

4Ks-------\

二・一

则02F=r2=1,AO2=等=1所以AF=4。2-。2/=次一1，

7因此+l)q=V3—1,解得r1=2—V3,

又A/=AOr+0、F=W丫1+,

咤=2-△

故选B.

5.答案：B

解析：

本题考查了补形法的应用，二倍角公式及三角形面积公式，基本不等式的应用，属于较难题.

补成长，宽，高分别为2,6,1的长方体，在长方体中可解决.

解：补成长，宽，高分别为2,6,1的长方体(如下图)

由于EF1a,故截面为平行四边形MNKL,可得KZ,+KN=<7,

设异面直线BC与4。所成的角为。，则sin。=sin/LHFB=sin上LKN,

算得sin。=sin24HCB=2shi乙HCBcos乙HCB=—，

7

•••S四边形MNKL=NK-KL.S5「NKL<竽(^)2=百,

当且仅当NK=KL时取等号.

故选：B.

6.答案：A

解析：

本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及球的表面积公式，属

于较难题.

由题意可得AC1面EFBD,可得以BCDEF=VC-EFBD+VA-EFBD=2VA_EFBD,再由多面体ABCOE/的

体积为延，计算求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球

3

的表面积的最小值.

解：设正方形ABC。的边长为m矩形BDEF的高为b,

因为正方形A5CD,所以4。180,设4。仆80=。'，

由因为平面A8CQ与平面EF8O互相垂直，ACc®ABCD,平面4BCDn平面EFBD=BD,

所以4CL面£F3£),

所以匕BCDEF=^C-EFBD+^A-EFBD

1,

=^A-EFBD=2*JEFBD'。。

=--y[2a-b--a=-a2b^

323

由题意可得以B8EF=竽，

所以a2b=2或；所以Q2=W^,

b

矩形EFBO的对角线的交点O,连接。O',可得OO'LBD,而。O'u面EFBD,

而平面ABC。1平面EFBD,平面/BCDn平面EFBD=BD,

所以。O'J■面EFBQ,

可得。4=OB=OE=OF都为外接球的半径R,

所以R2=©)2+(¥a)2=?+?

b20b2a近

-----+------=----+-----+-----

4b42b2b

>3任.纥在=三，

—\42b2b2

当且仅当6=a时取等，

所以外接球的表面积为S=47TR224兀•|=6兀，

所以外接球的表面积最小值为67T.

故选A.

7.答案：B

解析:

本题考查正方体与球相切的问题，属于中档题.

根据正方体与球相切画出截面图，利用正方体体对角线和球半径的关系即可求解.

解：不妨设正方体的棱长为2,球名同时与以A为公共顶点的三个面相切，

由题可知，两个球心01，。2和两球的切点均在体对角线AC1上，两个球在平面处的截面,

如图所示，则。2尸=万=1,4。2="=百，

所以4F=AO2-O2F=

又因为4F=A0r+0rF=y/3rr+rx,

所以（百+l）r2=V3—1>解得r[=2—V3.

所以F=2一遮.

•2

故选B.

8.答案：B

解析：

本题考查的知识点是由三视图，求体积，是基础题.

由三视图可知，此几何体为一个正方体挖去一个以2为半径的圆锥的四分之一，即可求出其体积.

解：由三视图可知：此几何体为一个边长为2的正方体挖去一个以2为半径，高为2的圆锥的四分

之一，

11o

V=>^----X-X22X7T=8--7T.

433

故选民

9.答案：C

解析:

本题主要考查点、直线、平面的位置关系等知识，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻

辑推理，属于较难题.

首先确定点G的位置，然后判断出四边形的形状，最后求解.

解：如图，在SB】上取一点T,使得B7=1.因为F为线段上靠近5的四等分点，所以2F=1,

连接CT,则&F=CT=V42+1=V17,

22

因为E为BBi的中点，所以Br=7E=l,ArE=<4+2=2V5.

连接&T,FC,由平面平行的性质定理可知四边形&FC7为平行四边形，

故C77/A1F,同理在CG上取一点G',使得CG'=1,

连接EG',FG',贝IJ有C77/G'E〃4F,EG，=CT=A#=E，

故EG'与4F共面，即G'与G重合，且四边形&EGF为平行四边形.

取。4的中点K,连接EK,则EK=BD="+42=4位,

在RtAFEK中，EF=J(4V2)2+1=V33>

在中，cos血1尸=2*2后旧=礴=后

sinz.E/l1F=

故四边形为EGF的面积为2x|x2V5xV17x^=4向,

故选C.

10.答案：A

解析：

本题考查球的内接多面体，棱锥的体积，涉及线面垂直的判定，属于基础题.

连接。A,OB,取A8中点M,先证得4B1平面CQM,进一步证明CD_L平面AO8,以。48为底面

的两个三棱锥的体积和即为所求.

解：由已知可得当4B1CD时，

取AB中点M,•••0A=0B,OMLAB,

又TC014B,CDCiOM=0,CD,OMu平面COM,

AB1平面CDM,DM,CMu平面CDM,

AB1DM,AB1CM,

又：M为AB中点，

・•・AD=DB,AC=CB,

又「四面体ABCD的外接球球心在C£＞上，

.••球心。为CO中点，

0A1CD,OB1CD,

又•••40,BO是平面0A3中的两条相交直线，

•••CD1平面AOB.

四面体4BCD的体积为

11

^A-BCD=3'S-OB•0C+鼠SMOB'0D,

又•.•外接球的直径CD=2,AOA=OB=1,

又丁AB=V3»BM=—，***OM—

2/

匕-BCD=g,SAAOB,CD=/.*2=*

故选A.

11.答案：C

解析：解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.

故A和8错在有可能是斜棱柱，

D错在上下底面有可能不是正方形，

底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面.

故选C.

上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.仔细考虑四个备选取项，按照正

四棱柱的概念进行求解.

本题考查正四棱柱的概念，解题时要认真思考，仔细解答，注意区分题设条件.

12.答案：D

解析：

本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度.

本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度.

解：由题意得动点尸的轨迹是以A为球心，半径为十的球面被平面BBiGC截得的的圆，落在正方

形BBiGC内的曲线即为四分之一圆弧，

截面半径为r=J（叫=净

故这段弧长为工x2兀x⑨=&.

436

故选O.

13.答案:D

解析：

本题考查空间几何体中线线夹角的应用，属于基础题.△ABD沿8。边翻折过程中，形成以为轴，

AB为母线的圆锥和以8。为轴，AO为母线的圆锥.

解：翻折到180。时，所成角最小，可知片=30。，4D,BC所成角最小，的=。°，翻折。°时，

48,BC所成角最大，可知的=90。，翻折过程中，可知A。的投影可与BC垂直，所以2D,BC所成最

大角a?=90。，所以即=90,/?1-30",a2—90二年=。

故选D

14.答案：D

解析：

本题考查简单多面体及其结构特征，考查空间中直线与直线的位置关系，考查线面平行的判定，考

查棱锥的体积计算，考查空间思维能力，属于较难题.

由题，利用多面体及其结构特征，分别对选项进行分析讨论，求证其正确性，即可求解得到答案.

解：如图甲，•••AB=BC=2,/.ABC=120。，

在折叠前的团ABC中，取。C的中点G,连接BD,BG,

由余弦定理可得4c=2g，^DAE=30°.

•••D为AC的中点，

***AD=DC=\/3«DD.LACBD=1,

・•瓦F-OELAZ?，

在Rt&lOE中，DE=^-,AE=~,故=

2'22

在RtZiSOG中，*”/8仁。=器=负=竽，

tailZ.ADE=tan60,=5/3

NBGDrNADE=>BG与。E不平行.

vDEA.AB,将4力DE沿OE翻折,得到直二面角力一DE-B,如图乙,

AE1DE.EBLDE

AEC\EB=E,AE,EBu平面AEB,

：.DE1平面AEB,Z.AEB=90

对于4选项，AB2=AE2+EB2=AD=6,BD=1，

：.BD2+AD2AB2,故AO与B。不垂直；

对于B选项，;G为。C的中点，F为AC的中点,

FG//AD,•••FG,平面ADE,ADu平面ADE,

故FG〃平面ADE,

假设8/7/平面ADE,

•：BFCFG=F,BF,FGu平面8GF,

可得平面BGF〃平面ADE,

•••平面BGFn平面DEBC=BG,平面ADEn平面。EBC=DE,

进而可得BG〃OE,

这与BG与OE不平行矛盾，故8尸与平面AOE不平行；

对于C选项，•••DEJ•平面AEB,D4与平面ABE所成角为NO.AE-3（）,

・•・tan/ZME=3，故C选项错误：

3

对于。选项，VAE1BE,AE1DE,

BECDE=E,BE,OEu平面5EDC,

xx

可得4E_L平面BEDCfVB-FDC=^F-BDC=9sABDC•="^V3xlxix|=^,

3zozzzo

故选o.

15.答案：C

解析：

本题主要考查圆锥的侧面展开图以及扇形圆心角的求法，属于基础题.

关键在于熟悉圆锥的侧面展开图所得扇形与圆锥本身各个系数之间的关系.

解：设该直角边长为。，

・••圆锥的侧面展开图所得扇形弧长1=2Tia,

圆锥的侧面展开图所得扇形半径即圆锥母线r=V2a,

.••直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为1毫瓜k,

故选C.

16.答案：ACD

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，考查了学生的空间想象能力，属于较难

题.

利用正方体的对称性，逐项判断得结论.

解：当x=T时，由正方体的对称性知：

容器被液面分割而成的两个几何体完全相同，因此A正确;

平面EFGHMN〃平面ABiDi，与对角线4c垂直，

而此时截面EFGHMN的面积最大.

因为六边形EFG4MN是边长为正的正六边形，

2

2

所以面积为6x^x（曰）=乎，因此B不正确，C正确;

由正方体的对称性知：过正方体的某条对角线的截面,

截面周长最小时，P、。分别是所在边的中点，

此时平行四边形APGQ的周长为4X苧=2花，因此。正确.

所以说法正确的是ACD

故选ACZ).

17.答案：ACD

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；对于B,根据线面垂直的判定和性质可知，0是4BCO的垂心，

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于。作出正四面体的

图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

解：对于A选项，因为ZB=AC=AD,设点A在平面BCO内的射影是0,

因为。=—,smZ-ACO=—,smZ-ADO=—,

sinZJlBABACAD

所以sin乙4B。=sin乙4C。=sinZ-ADO,

则A8,AC,AO与底面所成的角相等，故A正确；

对于8选项，设点A在平面BC。内的射影是0,

则4。1平面BCD,CDu平面BCD,

故A。LCD,又4B1CD,

AOnAB=A,AO,ABABO,

故CDL平面ABO,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是△BCO的垂心，故B不正确；

如图：将四面体A-BCD置于正方体中，直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故

C正确；

如图，。为正四面体ABC。的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

所以4E=11==纥

、33

因为8。2-0E2=BE2,所以(当-0E)2-0E2=(4产

所以。E=立，所以球的表面积为4兀-0E2=£故。正确.

126

故选：ACD.

18.答案:京

解析：

本题主要考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积以及利用导数求最值，综合性较强，属于

中档题.

当BC1平面AC£),四面体ABCD的体积最大，求出球的半径，代入表面积公式中求解即可.

解：当BCL平面AC。，四面体ABCD的体积最大.

正三角形AC。的外接圆半径为r=O-=隹，

2sin43

从而，外接球半径R满足R2=r2+G)2=.

所以外接球表面积为4兀产=：兀.

故答案为1兀.

7T

19.答案:

6

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，考查了球的表面积，考查了立体几何中的轨迹问题，考查立体

几何的空间想象能力，属于较难的题目.

先画出图形，可得动点R的轨迹所形成的曲面是以4为球心，半径直的球面的一部分，因为

2

NBA。=:,由此得解.

解：各棱长均为2的正三棱柱ABC-中，点尸在棱441上运动，

。在底面ABC上运动，\PQ\=V2,R为尸。的中点，

如图所示：

因为Z4PQ是直角三角形，AR

所以动点R的轨迹所形成的曲面是以A为球心,

半径直的球面的一部分，因为:

2

分析可知动点R的轨迹所形成的曲面的面积为1•

故答案为...

20.答案：（等,2）

解析：

本题考查简单多面体及其结构特征折叠问题以及余弦定理，考查空间想象能力和运算求解能力，属

于难题.

2

连接CE交AO于F,设CD=3贝IJBD=3-t,CAD=t,BE=V13-x.ACr=2,CrE=V4-x.

可求

得”=瞿，因为。<"3,所以警。（房由CJ>EF,可求得。<x<2,综上可得警<

x<2.

解：如图，连接CE交AO于F,设CD=3

C

2

因为4c=2,BC=3,贝i」BD=3-t,CXD=t,BE=713-x>ACX=2,CXE=V4-x.

在©BOE中，DE2=BEP+BE2-2BDBE-cosB

=(3-t)2+(V13-x)2-2(3-t)(V13-x)--^=,

222

在AG。*,CXE+DE=CjD,

所以4-炉+(3-t)2+(g-x)2--^=(3-t)(A^13-x)=t2,

整理得x=生亘，

3t+4

因为0<t<3,所以警<x<m，①

由折叠过程知CE14。，

ACCD2t

CF=GF=

EF=JC/2_C[E2=JW-4+1,

显然，CrF>EF,

所以£>卓一4+7,解得0<x<2,（2）

/+4d+4o

由①②知粤<x<2,

故答案为e浮,2）.

21.答案:（季⑨

解析：

设=1,=a,利用等面积法和等体积法求出m,w与a的关系，根据a的范围得出:的值.

本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题.

解：设4B=BC=1,AAA=a(a>1),

22

则AC=近，AXC=Va+2.=Ta+1,且8到平面ACqAi的距离为日.

m==鲁

4]CVa2+

•••AiA_L底面ABC,BCu底面ABC,AXA1BC,

ABIBC,ABC\AA1=A,AB,u平面4送8,

•••8C_L平面例B,4iBu平面BC14B,

xV<，+1

S&A、BC=1xBC=2

2

IZ1rVa+1

遇C-.n=~~n，

1°V211rxy[2a

IBCAGCXXXaX=,

又匕：-A=%-35A41C1C,T=i2^T6

’71=而于

m_V2a2+22—2,

n\la2+2a2+2

42

•,-a>l,.,-<2--<2,

故答案为：除m

22.答案：誓

解析：

本题考查椭圆的简单几何性质及圆锥的结构特点，画出轴截面，利用已知求出a,c即可求解.

解：画出轴截面如下图，

o

由已知O2/7/O1E,|。2用=1,|0[E]=3,02F1BC,OrE1BC,\OiO2\=8,

所以皿=12起!=工

得|。2*=2,|。1川=6,

又皿=工

人|。％|3'

所以QEI=4,\OA\=6,

所以siiMBOA-[.Z：OAB3(),

1

+,1/阴|0周I。川

在AOAB中，由正弦定理有.=.小力=.//：八」…心，

s\nZ.l3()AsinZ(J£>-4sin(Z.A()U+.>())

所以|4引=城泉=旧一遍，

同理在△04C中，求得|/1(；|=底+行，

所以椭圆中长轴2a=\AB\+\AC\=2同，

求得|4F|=V3,|A£|=3V3，

所以椭圆中焦距2c=\AF\+\AE\=4w,

所以椭圆的离心率为e=£=等=延.

av155

故答案为区.

5

23.答案：①③

解析：

本题考查了平面的基本性质和推论中关于三线共点问题，三角形的面积，三棱锥体积等基本知识，

考查了空间想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力，属于较难题.

通过平面的基本性质与推论很容易证明三线共点，①正确；两个三角形的面积，一个为定值，另一

个不是定值，②不正确；通过K点的特殊位置和运动，空间想象体积的变化，通过严谨的逻辑推理，

得出结论③正确.

解：

①项，因为E“nFG=K,所以KeEH,且EHU平面48D,

K6平面ABD

同理可得，Ke平面

又因为平面48。n平面：BD，所以Ke8。，

所以EH,BD,尸G三条直线相交于同一点.故①正确.

②项，5团£也为定值，"为A。上的动点，又因为AO与£尸为异面直线，

所以4到EF的距离是变化的，所以S@EFH是变化的，故②不正确.

③项，当K与。重合时，”与。重合，G与C重合，如图(1)所示，

此时平面EGFH即为平面ECD,

因为E为AB中点，所以平面EC。把四面体分成体积相等的两部分.

D(KH)

图⑴

当K远离。时，平面EGFH使两部分体积发生了变化,

一部分在三棱锥4-ECO的基础上，

多出了一个三棱锥E-GCF的体积，如图2所示，

少了一个三棱锥E—FD”的体积，如图3所示，

过低D做DM//AB,DN〃BC,分别交EK,GK于点M,N,

连接MN,如图4所示:

・PH_MD_MD_DK

••DM//AB,HA~AE~BE~BKf

・CG_DN_DK

••DN//BC,BG-BG-BK'

—DH=—CG,・•・D一H=C—G=,h

HABGADBC

•••yE-GCF=^hVA_BCD,VE_HDF=VH_EFD=\hVA_BCD,

"%-GCF=%-HDF，

所以无论E、F、G、”如何变化，平面把四面体ABC。的体积分为相等的两部分，③正确.

故答案为：①③

24.答案:遗

4

解析：

本题考查多面体的截面性质，属较难题.利用面面平行的性质补全截面EFG为截面EFGHQR,得到

△B/P为直角三角形，再求面积的最小值.

解：如图，补全截面E『G为截面ErGH”,H、Q、R分别为所在棱的中点，

易知平面ZCDi〃平面设BRIAC于点R,

vD]Pu平面ACDi，

二直线DiP〃平面EFG,又P6AC,

・••当P与R重合时，BP最短为BR,此时APBBi的面积最小，

由等积法：^BRXAC=^BAxBC,

得BR=—,又BBi_L平面ABCD,

2

：.BBr1BP,ZiPBBi为直角三角形，

故S哂p="SB】xBP=今

故答案为立.

4

.答案：；(l-y)2(O<y<l)

25qiz;

解析：

本题考查几何体的截面面积与几何体的体积计算，属于中档题.

第一问，因为过(0,y)(0<y<1)作0的水平截面为环形，且等高时，抛物线对应的点的横坐标为与，

切线对应的横坐标为小，则*=y，%2=?，则截面面积即可求解；

第二问，借助一个圆锥,设高为y时，此时的圆锥截面半径的r,圆锥的底面半径为R，则42=7r(号I),

得r=1,由三角形相似得3=?,解得/?=；,即可求解.

NK1L

解：由y=%2得，yr=2x,

则k=yr\x=i=2,

则直线I为y-1=2(%-1),即y=2x-1,

因为过（0,y）（04y41）作0的水平截面为环形，且等高时，

抛物线对应的点的横坐标为%,切线对应的横坐标为犯，

则好=y,x2-等，

则截面面积S=7rx22—7T%12=TC（言'）—Tiy=TC（号

7T

=1（1-y）2（04y41）;

借助一个圆锥，设高为y时，

此时的圆锥截面半径的r,圆锥的底面半径为R,

则n"=n（与，＞

得“?，

由三角形相似得£=字,

解得R=

则I后推二;X7TX（；）X1=工,

由祖晒原理得，0体积为盘

故答案为：（1一y）2（04y《l）；合.

26.答案:V3;\n,3TT]

解析：

本题考查正三棱锥的外接球的半径与棱长的关系及过一点的截面的面积的最值，属于中档题.

由正三棱锥的棱长可得棱锥的高及底面外接圆的半径，再由外接球的半径和高，底面外接圆的半径

之间的关系求出外接球的半径，而过PA中点M的截面过球心时最大，即大圆的面积，当0M垂直

于截面时可得截面面积的最小值，即以PA为直径的圆，进而求出截面的面积的范围.

解：在正三棱锥中，

取底面三角形ABC的外接圆的圆心E,

则底面外接圆的半径r=4E=22x立x2=延.

233

连接尸E可得PE，面A3C,

所以棱锥的高PE=旧2_正=*一律j=第，

设外接球的圆心为0,半径为七则R2=N+（R-PE）2,

22

即：2PE-R=N+PE2,即2x苧♦/?=（呼）+（言），

解得：R=百，

由外接球的半径可得球心在三棱锥的外部，

过M的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大值为过球心的大圆，

所以截面的面积的最大值为：77x卜8）’：加