高中数学人教A版 习题考前过关训练(三)

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考前过关训练(三)

柯西不等式、排序不等式与数学归纳法

(35分钟60分)

一、选择题(每小题3分，共18分)

1.函数y=2f+在1j的最大值为()

A.V3B.-V3C.-3D.3

【解析】D.y=V2-V2^2x+l-V2xTl

wJ[(遮/+I2]•[(V2-2x)2+(V2XT1)2]=3,

当且仅当悬=去,即x=0时，等号成立•

2.已知实数a,bed满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,贝!]a的最大值是

()

A.1B.2C.3D.4

【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.

【解析】选B.由柯西不等式彳导

(2b2+3c2+6d2)(|+|+^)>(b+c+d)2,

BP2b2+3c2+6d2>(b+c+d)2,

当且仅当隼箸爷时等号成立.

1

236

又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,

故5-a2之（3-a）2,

解得lwa42,即a的最大值是2.

3.一组实数为21立田,设ci,c2,C3是另一组数bihh的任意一个排列，则

aici+a2c2+a3c3的（）

A.最大值为aibi+a2b2+a3b3,最小值为aib3+a2b2+a3bl

B.最大值为aibz+a2b3+a3bi,最小值为aibs+azbi+a3b2

C.最大值与最小值相等为aibi+a2b2+a3b3

D.以上答案都不对

【解析】选D.ai,a&a3与bihh的大小顺序不知，无法确定其最值.

4.对于正整数n,下列说法不正确的是（）

A.3n>l+2nB.0.9n>l-0.1n

C.0.9n<l-0.1nD.0.1n>l-0.9n

【解析】选C.由贝努利不等式知，选项C不正施

5.（2016•荷泽高二检测）已知x+y+z=l厕2x2+3y2+z2的最小值为（）

A

AB旨c旨D-n

【解析】选D.由柯西不等式得,

(2x2+3y2+z2)Q+1+l)>(x+y+z)2=l,

所以(2x2+3y2+z2)哈

6.(2016•苏州高二检测)已知凡股£口+,且工+2+3工贝”+%争勺最小值为

xyz，3

()

A.5B,6C.8D.9

【解析】选D.由柯西不等式，知

(；+^+!)(X+2+1)-(1+1+1)2=9J

因为工+2+；=L所以x+^+|>9.

xyzNJ

即x+>|的最小值为9.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.已知点P是边长为2V5的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x,y,z,则

x,y,z所满足的关系式为，x2+y2+z2的最小值是.

【解析】利用三角形面积相等彳导

|x2V3(x+y+z)=Yx(2V3)2,BPx+y+z=3.

S(l+l+l)(x2+y2+z2)>(x+y+z)2=9,

得x2+y2+z22,当且仅当x=y=z=l时取等号.

答案:x+y+z=33

8.如图所示，矩形OPAQ中,aiWazbiWbz,则阻影部分的矩形的面积之和

空白部分的矩形的面积之和.

【解析】由题干图可知，阴影部分的面积:aibi+a2b2,而空白部分的面积

=aib2+a2bL根据顺序和之逆序和可知,aibi+a2b22aM+a2bl.

答案:N

9.(2016•聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线厕凸n+1边形对角线条数

f(n+l)与f(n)的递推关系为.

【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,

所以凸n边形有f(n)条对角线厕凸n+1边形对角线条数f(n+l)与f(n)的递推

关系为f(n+l)=f(n)+n-l.

答案:f(n+l)=f(n)+n-l

三、解答题(每小题10分，共30分)

121212

a+b+£10+1010

10.已知a,b,ceR+/W：V—r^ab+c.

becaab

【解题指南】可以发现左右两边的次数相等，因此，应该进行适当的拼凑，使其成为

积的形式.

【证明】不妨设a2b">0,则占之2之士>0且a12>b12>c12>0,

becaab

12121212

milabcl2、a12bc

二阻+'+”之里+比+£ll=aio+bi°+cio

bcaabc

ll.ai,a2,...,an是互不相等的正数其中ae[L+8),且i£{l,23…,n},nN2.证明:

(l)|z+|i>ai+a2.

a2,a2

.+-^+—>11

anal

【证明】(1)因为ai>0,a2>0,且ai”2,

a「a2=吊⑸一划一攻aif).小2)@1舒>0,所以鸳右a1+a2.

813i3oai^2

(2)不妨设l<ai<a2<...<an,

22

贝Ha<a<

u12.且—>—>>一.

31组an

由排序不等式知,乱序和不小于反序和，又等号均不成立,

2222

a1a2aan22I21

以

所--++n-a.+a.Ta.-

---->1.1.2+n

a2a3a立

anallan

J22口2。2

BP—+—+...+-Qz:i+—>ai+a2+...+a>l+1+1+…+l=n.

ns

a2a3ana】--------------------'

n个

12.(2016厦门高二检测)设an=l+i4i+…+i：(n£N+),是否存在n的整式g(n),使

得等式ai+a2+a3+…+an-i=g(n)(a『l)对大于1的一切正整数n都成立?证明你

的结论.

【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时，

由ai=g⑵⑶-。即l=g(2)(l+

所以g(2)=2;

当n=3时，由al+a2=g⑶(a3-l),

即1+(1+^)=g(3)(l+|+|-1),所以g⑶=3,

当n=4时，由31+32+33=9(4)(34-1),

即1+(1+升(1+扛9

/111

=4)\(XI+++

g(/\2-3-4-1),所以g(4)=4,

由此猜想g(n)=n(n>2,neN+).

下面用数学归纳法证明：

当nN2,n£N+时，等式ai+a2+a3+.・.+an-i=n(an-l)成立.

⑴当n=2时,ai=l,

g(2)(a2-l)=2x(l+号-1)=1，结论成立.

(2)假设当n=k(kN2,k£N+)时结论成立,

即ai+a2+a3+...+ak-i=k(ak-l)成立，

那么当n=k+l0tai+a2+...+ak-i+ak

=k(ak-l)+ak=