2024届青海省西宁市大通县高三上学期开学摸底考试数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学试题（理）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：B．2.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以，在复平面内复数对应的点为，位于第一象限．故选:A．3.已知满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗画出满足约束条件的平面区域，如图所示，易得直线与的交点，平移直线，当经过A时，目标函数取得最大值，即．故选：C．4.随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.22 B.0.24 C.0.28 D.0.36〖答案〗A〖解析〗∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：A.5.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且为第四象限角，，，，故选：C6.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7.北京地处中国北部､华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心､文化中心､国际交往中心､科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫､八达岭长城､颐和园､“水立方”､“鸟巢”､798艺术区､首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（）A.120种 B.240种 C.480种 D.960种〖答案〗D〖解析〗顺序排列分2步进行，（1）将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与颐和园､798艺术区､首都博物馆全排列，有种情况，（2）排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有种情况，则有种不同的游览顺序.故选：D.8.函数的图象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为R，又，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选:A．9.已知是自然对数的底数，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以.故选：D10.在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，又，所以．设的外接圆的半径为，所以，解得．故选：D．11.已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故选:D.12.已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗作出与的图象，如图，当时，设与相切于点，则，解得，所以，由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；当时，设与相切于点，由可知，，解得或（舍去），此时，而，由图象知，当时，与有3个交点.综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.故选：A二、填空题13.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以故〖答案〗为：.15.已知球O的表面积为，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为______．〖答案〗1〖解析〗首先说明圆的内接四边形中，正方形面积最大，过程如下：如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，面积为，设，圆的半径为，由三角形面积公式得：，因为，所以，当且仅当为圆的直径且时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形，即半径为的圆内接四边形中，正方形面积最大，最大面积为，如图2，设球的半径为，则，解得：，该四棱锥底面积为，四棱锥的高为，则其体积为，当一定时，要使最大，则要最大，此时四棱锥的底面为正方形，因为，由勾股定理得：，所以，，所以，当时，，当时，，即在单调递增，在上单调递减，在时取得极大值，也是最大值.故〖答案〗为：116.已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗由图可知．连接，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，易知，所以，所以．因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，所以，即．因为，所以当时，，则，于是由，得函数的单调递增区间为，当时，函数的一个单调递增区间为，所以，由题意知，实数的取值范围是．故〖答案〗为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图是市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015~2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．（1）求市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；（2）由统计图可看出，从2019年开始，市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．①参考公式：对于一组数据，，⋯，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，．（2）参考数据：012390330解：（1）平均数为(人次)，中位数为(人次).（2）2019202020212022330510720960简化变量：012390330，，，.，..当时，，，所以，所以.即2024年接待的游客约为1365人次.18.在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一行．第一列第二列第三列第一行16第二行2第三行5128（1）写出，，，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．解：（1）根据等比数列定义和表格中数据，得到，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，故.（2）因为，数列是首项为2，公比为的等比数列，是首项为2，公差为2的等差数列，所以19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是棱PB上一点．（1）求证：平面平面PBC；（2）若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（1）证明：因为，，，，作中点，连接，则，，，则，，所以，又平面ABCD，所以，，所以平面PBC，又平面，所以平面平面PBC；（2）解：易知，，三垂直，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，，设平面法向量为，则，即，令，则，设直线PA与平面EAC所成角，则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.20.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点．（1）求的方程；（2）若，过的直线与交于、两点，求证：．（1）解：设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的端点，不妨设点，则点，则，，成立；若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，∴轴平分，∴．综上所述，．21.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围.解：（1）若，所以，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.又，所以的极小值为0，无极大值.（2）若有且仅有两个零点，即在内有两个不等实根，令，则，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上至多有1个零点，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.若，则，所以在上无零点，不符合题意；若，则，所以上有且仅有一个零点，不符合题意；若，则，又在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；令，所以，令，解得，令，解得1，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，又在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点.所以在上有且仅有两个零点.综上，的取值范围是.（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为，.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，又，，所以，所以曲线的直角坐标方程为.因为曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）.把的参数方程代入，得，所以，设所对应的参数分别为，则，所以同号，所以.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式；（2）若的最小值为，且，求的最小值.解：（1）不等式等价于或或解得，故不等式的解集为.（2）因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.因，当且仅当等号成立，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为2.青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学试题（理）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：B．2.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以，在复平面内复数对应的点为，位于第一象限．故选:A．3.已知满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗画出满足约束条件的平面区域，如图所示，易得直线与的交点，平移直线，当经过A时，目标函数取得最大值，即．故选：C．4.随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.22 B.0.24 C.0.28 D.0.36〖答案〗A〖解析〗∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：A.5.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且为第四象限角，，，，故选：C6.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7.北京地处中国北部､华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心､文化中心､国际交往中心､科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫､八达岭长城､颐和园､“水立方”､“鸟巢”､798艺术区､首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（）A.120种 B.240种 C.480种 D.960种〖答案〗D〖解析〗顺序排列分2步进行，（1）将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与颐和园､798艺术区､首都博物馆全排列，有种情况，（2）排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有种情况，则有种不同的游览顺序.故选：D.8.函数的图象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为R，又，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选:A．9.已知是自然对数的底数，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以.故选：D10.在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，又，所以．设的外接圆的半径为，所以，解得．故选：D．11.已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故选:D.12.已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗作出与的图象，如图，当时，设与相切于点，则，解得，所以，由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；当时，设与相切于点，由可知，，解得或（舍去），此时，而，由图象知，当时，与有3个交点.综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.故选：A二、填空题13.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以故〖答案〗为：.15.已知球O的表面积为，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为______．〖答案〗1〖解析〗首先说明圆的内接四边形中，正方形面积最大，过程如下：如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，面积为，设，圆的半径为，由三角形面积公式得：，因为，所以，当且仅当为圆的直径且时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形，即半径为的圆内接四边形中，正方形面积最大，最大面积为，如图2，设球的半径为，则，解得：，该四棱锥底面积为，四棱锥的高为，则其体积为，当一定时，要使最大，则要最大，此时四棱锥的底面为正方形，因为，由勾股定理得：，所以，，所以，当时，，当时，，即在单调递增，在上单调递减，在时取得极大值，也是最大值.故〖答案〗为：116.已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗由图可知．连接，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，易知，所以，所以．因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，所以，即．因为，所以当时，，则，于是由，得函数的单调递增区间为，当时，函数的一个单调递增区间为，所以，由题意知，实数的取值范围是．故〖答案〗为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图是市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015~2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．（1）求市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；（2）由统计图可看出，从2019年开始，市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．①参考公式：对于一组数据，，⋯，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，．（2）参考数据：012390330解：（1）平均数为(人次)，中位数为(人次).（2）2019202020212022330510720960简化变量：012390330，，，.，..当时，，，所以，所以.即2024年接待的游客约为1365人次.18.在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一行．第一列第二列第三列第一行16第二行2第三行5128（1）写出，，，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．解：（1）根据等比数列定义和表格中数据，得到，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，故.（2）因为，数列是首项为2，公比为的等比数列，是首项为2，公差为2的等差数列，所以19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是棱PB上一点．（1）求证：平面平面PBC；（2）若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（1）证明：因为，，，，作中点，连接，则，，，则，，所以，又平面ABCD，所以，，所以平面PBC，又平面，所以平面平面PBC；（2）解：易知，，三垂直，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，，设平面法向量为，则，即，令，则，设直线PA与平面EAC所成角，则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.20.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点．（1）求的方程；（2）若，过的直线与交于、两点，求证：．（1）解：设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：若直线与轴重合，