高中数学《函数的表示法》导学案

1.2.2函数的表示法

第1课时函数的表示法

卜课前白主预习

1.函数的表示法

(1)解析法：H用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

(2)图象法：回用图象表示两个变量之间的对应关系.

(3)列表法：叵］列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

2.对三种表示法的说明

(1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明

确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.

(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.

(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变

量要有代表性.

□自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)任何一个函数都可以用列表法表示.()

(2)任何一个函数都可以用解析法表示.()

(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)函数«x)是一次函数，若式1)=1,<2)=2,则函数九¥)的解析

式是.

(2)某教师将其1周课时节次列表如下：

X(星期)12345

y(节次)24531

从这个表中看出这个函数的定义域是,值域是

(3)(教材改编P23T3)画出函数y=|%+2|的图象.

答案(l)Ar)=x(2){123,4,5}{245,3,1}

(3)

卜课堂互动探究

探究1作函数的图象

例1作出下列函数的图象并求出其值域.

2

(l)y=p%£[2,+00)；

(2)y=f+2x,[—2,2].

解⑴列表：

X2345•••

212

1・・・

y325

2

画图象，当x£[2,+8)时，图象是反比例函数>=;的一部分(图

1),观察图象可知其值域为(0』].

画图象，图象是抛物线y=f+2%在一2WXW2之间的部分(图

2).由图可得函数的值域是[-1,8].

拓展提升

常见函数图象的画法技巧

(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得.

(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即

得.

注意：所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关

键处的点.

【跟踪训练1】作出下列函数的图象，并指出其值域.

(l)y=%2+%(—1WxWl)；

2厂

(2)y=-(—24W1,且%#0).

X

解(1)用描点法可以作出函数的图象如图(1).

由图可知y=%2+%(—1W%W1)的值域为一上,2.

图⑴图⑵

(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2).

2

由图可知y=;(—2W%W1,且%/0)的值域为(-8,—1]U[2,

+°0).

探究2待定系数法求函数解析式

例2求下列函数解析式.

(1)已知兀X)是一次函数，且_/[/(切=9%+4,求八%)的解析式;

(2)已知二次函数满足式3%+1)=9/一6%+5,求八%).

解(1)设氏》=丘+仇公£0),

贝I]/伏㈤]=%(丘+力+。=必%+妨+Z?=9x+4.

区左2=9,解得k=3,k——3,

+fI或

h=1h=—2.

•，/(x)=3%+l或y(x)=-3%—2.

(2)设八%)="2+云+C(QWo),

贝lj/(3x+l)=a(3x+1)2+/?(3X+1)+C

=9/+(64+36)%+。+8+。

=9f-6x+5.

’9。=9,a=1,

比较系数，得《64+32—6,解得卜=—4,

、a+0+c=5,、c=8,

「.於)=/—4*+8-

拓展提升

待定系数法求函数解析式

已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件

求待定系数.

待定系数法求函数解析式的步骤如下：

(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设

k

为八%)=数+伏。"0),反比例函数解析式设为«r)=；(ZW0),二次函

数解析式设为“^二^^+云+或。7。).

(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组.

(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.

(4)将所求待定系数的值代回所设解析式.

【跟踪训练2](1)已知函数八%)=%2,g(%)为一次函数，且一次

项系数大于零，若/[g(%)]=4%2—20%+25,求g(%)的表达式；

(2)已知二次函数/U)满足人0)=1,人1)=2,犬2)=5,求该二次函

数的解析式.

解(1)由g(%)为一次函数，设g(x)=or+/?(a>0),

,•?[g(x)]=4%2—2。%+25,

.•.3+b)2=4%2-20x+25,

即a2X1+2abx+Z?2=4xi—20%+25,

从而［2=4,2。/?=—20,廿=25,

解得a=2,b=~5,故g(%)=2x-5(%£R).

(2)设二次函数的解析式为fix)=ax2+bx-\-c(a^0),由题意得

7=1,a=l,

<a~\~h~\~c—2,解得<Z?=0,故«x)=d+i.

、4a+2b+c=5,、c=l,

探究3换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式

例3(1)已知函数凡r+l)=#—2%,求«x)的解析式；

解⑴解法一(换元法)：令％+1=£,则x=Ll,yR,可得就

=«—1)2—2。-1)=-一4-3,即八%)=_?—4x+3.

解法二(配凑法)：因为f-2%=(/+2%+1)—(4%+4)+3=。+1尸

—4(%+1)+3,所以“x+1)=(%+—4(%+1)+3,即凡¥)=%?—4%+

3.

(2)在已知等式中，将x换成；，得彳；］+4%)=§与已知方程联

+2身=%,

+2加)=:，

X

解得兀0=一1+豆2.

［结论探究I对于本例中的(1)若把“求凡X)的解析式”改为“求

式2)的值”，应如何求解.

解解法一：直接求«x)的解析式，然后把％=2代入即可.

解法二：令％=1代入即可，12)=-1.

拓展提升

求函数解析式的五种常用方法

(1)待定系数法：已知函数八X)的函数类型，求;(%)的解析式时，

可根据类型设出其解析式，确定其系数即可.

(2)换元法：令/=g(%),再求出＜/(/)的解析式，然后用工代替所有

的，即可.

(3)配凑法：已知咒g(%)]的解析式，要求./U)时，可从/(g。))的解

析式中拼凑出“g(%)”，即用g(%)来表示，再将解析式两边的g(%)用x

代替即可.

(4)代入法：已知y=«r)的解析式求y=/[g(%)]的解析式时，可直

接用新自变量g(%)替换y=Ax)中的％.

(5)方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或

互为倒数关系时，可构造方程组求解.

【跟踪训练3】⑴已知犬也+1)=%+2也，求心:)的解析式；

(2)已知%)=#+2%,求人x)的解析式.

解(1)解法一(配凑法)：

1)=A:+2^/X=("\/X+I)2—1(也+121),

「.於)=/一1(%21).

解法二(换元法)：

令也+1=/Q与1),则％=«—1尸"》1),

.,.〃)=«_1)2+29—1)2=/—1«21).

.'./(x)=x2—1(%N1).

(2)因为«x)+纨-x)=#+2%,

将％换成一%,得/(—%)+纨%)=f-2尤，

将以上两式消去八一%),得3兀x)=%2—6羽

所以式%)=52-2].

f------------------------------1涕融升1

1.函数三种表示法的优缺点

2.作函数图象时应注意的几点

(1)在定义域内作图.

(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个

图象.

(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点

等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

卜随堂达标白测

1.y与％成反比，且当％=2时-，y=l,则y关于％的函数关系

式为()

答案C

bk2

解析设y=人:(%N#0),则1=5，:人.k=2,

/%+1,[—1,0],

2.已知函数1%)=2「则函数/(%)的图象是

x+1,x£(0,1],

答案A

解析当％=—1时，y=0,即图象过点（一1,0）,D错；当％=0

时，y=l,即图象过点（0』），C错；当％=1时,y=2,即图象过点（1,2）,

B错.故选A.

3.某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y（元）表示为茶杯个

数%（个）的函数，则y与％的函数关系式为.

答案y=2.5%,x£N"

解析由题意得，y=2.5%（x£N*）.

4.若浜%—1）+纨1—%）=2x,则火%）的解析式为.

2

答案人%）=2%+弓

解析（换元法）令/=%—1,则％=f+l,

原式变为37⑺+M一。=2«+1）,①

以一方代替/,①式变为训一。+纨。=2（1一/）,②

22

由①②消去八一/）得火。=2/+5，.,./（%）=2%+亍

5.已知/(x)=x+h,式。%+1)=3%+2,求a,。的值.

解由犬%)=%+。，得/(ax+l)=ax+l+。.

，。%+1+。=3%+2,.*.<7=3,。+1=2,即。=3,6=1.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.若g(%+2)=2x+3,g(3)的值是()

A.9B.7C.5D.3

答案C

解析解法一：令％+2=3,则％=1,

.•.g(3)=2X1+3=5.

解法二:令％+2=7,则％=/-2,.—«—2)+3,

•%(3)=5.

2.设函数«x)=2x+3,g(%+2)=/a),则g(x)的表达式是()

A.g(x)=2%+lB.g(x)=2x—1

C.g(%)=2x—3D.g(%)=2%+7

答案B

解析解法一：•.飞(%+2)=2%+3=2(%+2)—1,

.,.g(x)=2x—1.

解法二：g(%)=/(九一2)=2(%—2)+3=2工一1.

3.已知3%)是一次函数,且轨2)—浜1)=5,浜0)一八-1)=1,则

()

A./U)=3%+2B.兀的=3%—2

C.犬%)=2X+3D.1%)=2%—3

答案B

解析设«0=丘+仇攵WO).因为然2)—3液1)=5,加0)一八—1)

2(2k+b)~3(k+b)=5,

=1,所以

2b—(—k-\-b)~1,

k—b—5,k—3,

即所以所以«x)=3%—2.

k-\~b—1,

4.李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比

较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了

家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是（）

答案D

解析由题意知当时间，=0时，离家的距离不应为0,故排除A,

B.又因为一开始慢，到最后快，比较C,D,只有D符合题意.

5.若％£R,<%）是y=2—y=x这两个函数中的较小者，则

兀x）的最大值为（）

A.2B.1C.-1D.无最大值

答案B

解析在同一坐标系中画出函数y=2—%2,y=%的图象，如图所

示，根据题意，图中实线部分即为函数7U）的图象....当％=1时，｛%）max

=1,故选B.

二'填空题

6.观察数表:

X-3-2—1123

於)41—1-335

g(%)1423-2—4

则;[g(3)-A—1)]=.

答案4

解析由数表，可得g(3)=-4,＜-1)=—1,1)=

-3,.W3)-X-D]=X-3)=4.

7.若现x)+y[?=2%+；(%W0),则＜2)=.

答案|

解析令％=2得现2)+娘量，

令％=义得需)+式2)=|,

消去得＜2)=|.

8.一水池有2个进水口，1个出水口，每个口进出水速度如图

甲、乙所示.某天。点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少

打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点

不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论

断序号是.

答案①

解析设进水量为y,出水量为y2，时间为K由图象知

以=2L由图丙知，从0〜3时蓄水量由0变为6,说明0〜3时两个进

水口均打开进水但不出水，故①正确；3〜4时蓄水量随时间增加而

减少且每小时减少一个单位，若3〜4时不进水只出水，应每小时减

少两个单位，故②不正确；4〜6时为水平线说明水量不发生变化，

因为至少打开一个水口，所以是所有水口都打开，进出均衡.故③不

正确.

三'解答题

9.作出下列函数的图象：

（1孙）=%+x。；

（2yu）=l—%（x£Z,且一2W%W2）；

（3次0=#—2|%|-1；

（4yu）=|f+3%—4|.

解⑴如图.

/-I\()X

(2)如图.

o-3

o-2

卜12