新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用微专题1平面向量中的最值与范围问题学生用书新人教A版必修第二册

微专题1平面对量中的最值与范围问题平面对量中的最值和范围问题是中学数学的热点问题，由于平面对量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．类型1目标函数法求最值(或范围)【例1】(1)已知向量a，b满意a＝(t，22－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为()A．π6B．(2)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－3，1)，则|2a－b|的最大值为________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2坐标法、几何意义法求最值(或范围)【例2】(2024·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是()A．(－2，6) B．(－6，2)C．(－2，4) D．(－4，6)[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3基本不等式法求最值(或范围)【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满意AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则1m＋1n的最小值为[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型4极化恒等式法求最值(或范围)【例4】(1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC·OB的最大值是________．(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的随意一点，则PA·PC的最小值为________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________微专题1平面对量中的最值与范围问题例1(1)C(2)4[(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，cos〈a，b〉＝a·bab＝b2ab又因为2t2－42t＋8＝2[(t－2)2＋2]≥2[(2-2)2＋2]＝所以0<cos〈a，b〉≤12所以a，b的夹角的最小值为π3(2)法一(构造函数法)：由题意得|a|＝1，|b|＝2,a·b＝sinθ－3cosθ＝2sinθ-所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sinθ-π3＝8－所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，故|2a－b|的最大值为4此时θ法二(几何意义)：由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4．例2A[法一(坐标法)：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，且－1<x<3．所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．法二(几何意义法)：AB的模为2，依据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义，可知AP·AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以AP·AB的取值范围是(－2，6)，故选A．]例37+434[由题意得AD＝AC+CD＝AC－14AB，所以AP＝mAB＋nAD＝mAB＋nAC-14AB＝mm－14n＋n＝m＋34n＝1(m，n所以1m＋1n＝1m+1nm+34n＝74＋3n(当且仅当3n2＝4m2，即m=4-23，n=-4+83例4(1)2(2)－27[(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC·