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文档简介
Page20考生须知:1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.全部答案必需写在答题纸上,写在试卷上无效.4.考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.设集合,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】集合,则.故选:C.2.下列各组函数是同一个函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】A【解析】【分析】利用同一函数的概念推断即可.【详解】与定义域和对应关系均相同,是同一函数,故A正确;与定义域不同,对应关系相同,不是同一函数,故B错误;与定义域不同,对应关系相同,不是同一函数,故C错误;由解得或,则的定义域为或,由且得,则的定义域,∴与定义域不同,不是同一函数,故D错误.故选:A.3.已知,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据指数幂及对数的运算性质计算.【详解】∵,∴,∴,∴.故选:D.4.已知,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据根式的性质,利用充分条件、必要条件的定义推断作答.【详解】当为奇数时,,,当为偶数时,,若,则,则“”是“”的必要而不充分条件.故选:B.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据函数的奇偶性及特值解除错误选项即可.【详解】的定义域为,∵,∴奇函数,图象关于原点对称,故AC错误;∵,故B错误,∴D正确.故选:D.6.已知,且,则的最小值为()A.1 B. C.9 D.【答案】C【解析】【分析】依据已知等式,结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为,所以,则当且仅当,即时,等号成立.故选:C.7.定义在上的偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得在上单调递增,在上单调递减,,,当或时,;当时,,由条件列出不等式组,求解即可.【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增,且,∴在上单调递减,且,∴当或时,;当时,,∵,∴或,∴或,∴或,即,则不等式的解集是.故选:A.8.取整函数最早出现在闻名科学家阿兰•图灵(AlanTuring)在20世纪30年头提出的图灵机理论中.图灵机是一种理论上的计算模型,其中操作包括整数运算和简洁逻辑推断.由于图灵机须要进行整数计算,因此取整函数成为了必需的工具之一.现代数学中,常用符号表示为不超过的最大整数,如,现有函数在区间上恰好有三个不相等的实数解,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可知时函数与恰有三个不同的交点,利用数形结合即得【详解】作出函数与的大致图像时,,从图像可知,当,即时,两个函数的图像在上恰有三个不同的交点.∴所求范围为.故选:B二、多选题(本大题共4小题,每题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.我们常拿背诵圆周率来衡量某人的记忆水平,假如记圆周率小数点后第位数字为,则下列说法正确的是()A.是一个函数B.当时,C.D.【答案】ACD【解析】【分析】依据函数的定义以及函数性质推断各选项,即可得答案.【详解】由题意可知,圆周率小数点后第位数字是唯一确定的,即任取一个正整数都有唯一确定的与之对应,因此是一个函数,故A正确;当时,,故B错误;,故C正确;,故D正确.故选:ACD.10.已知定义在上的函数是奇函数,且时,则下列叙述正确的是()A.当时B.C.在区间上单调递减D.函数在区间上的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函数的定义和性质即可推断选项AB,依据推断函数单调性的定义法即可推断选项C,结合基本不等式即可推断选项D.【详解】由题知,是奇函数,令,则,所以,故此时,A错;因为是上的奇函数,所以,B正确;由上述可知时,,,则,因为,所以,,,所以,即,所以在区间上单调递减,C正确;当时,,当且仅当,即时取等,D正确.故选:BCD11.下列命题叙述正确的是()A.且时,当时,B.且时,当时,C.且时,当时,D.且时,当时,【答案】CD【解析】【分析】利用特值法及作差法进行推断.【详解】对于A,因为且时,当时,取,所以,则,故A错误;对于B,因为且时,当时,取,所以,则,故B错误;对于C,因为且时,当时,则,所以,则,故C正确;对于D,存在,,满意,故D正确.故选:CD.12.若函数在定义域内的某区间上单调递增,且在上也单调递增,则称在上是“强增函数”,则下列说法正确的是()A.若函数,则存在使是“强增函数”B.若函数,则为定义在上“强增函数”C.若函数,则存在区间,使在上不是“强增函数”D.若函数在区间上是“强增函数”,则【答案】ACD【解析】【分析】依据对勾函数的单调性结合“强增函数”的定义即可推断A;依据“强增函数”的定义举出反例即可推断B;依据“强增函数”的定义结合指数函数的单调性举例即可推断C;依据“强增函数”的定义结合二次函数和对勾函数的单调性即可推断D.【详解】对于A,由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数,而函数在上为增函数,所以存在使是“强增函数”,如,故A正确;对于B,因为,所以函数在上不增函数,所以不是定义在上的“强增函数”,故B错误;对于C,函数在上单调递增,令,因为,所以函数在上不是增函数,故存在区间,使在上不是“强增函数”,如,故C正确;对于D,若函数在区间上是“强增函数,则函数在上都是增函数,由函数在区间上是增函数,得,解得,因为函数在区间上是增函数,当时,在区间上是增函数,符合题意,当时,因为函数在上都是增函数,所以函数在区间上是增函数,符合题意,当时,,由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增,所以,所以,综上所述,,因为函数在上都是增函数,所以,所以,故D正确故选:ACD【点睛】方法点睛:“动轴定区间”型二次函数最值的方法:(1)依据对称轴与区间的位置关系进行分类探讨;(2)依据二次函数的单调性,分别探讨参数在不同取值下的最值,必要时须要结合区间端点对应的函数值进行分析;(3)将分类探讨的结果整合得到最终结果.非选择题部分三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.______.【答案】【解析】【分析】依据根式及指数幂的运算求解.【详解】原式.故答案为:.14.函数的单调递增区间是______.【答案】(区间开闭都符合)【解析】【分析】先求函数定义域,再依据复合函数单调性确定结果.【详解】,由,解得,令,当时单调递增,当时单调递减,又在时单调递增,所以函数的单调递增区间是.故答案为:.15.函数当时,实数______.【答案】【解析】【分析】由所给的分段函数以及函数值,对其分类探讨即可.【详解】令,则,当时,有,解得或(舍去),即,当时,有即,因为,此时无实数解,当,有满意题意,当时,,不满意题意,故实数,故答案为:8.16.已知函数与函数,满意,当和在区间上单调性不同,则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”,则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】两函数图象关于轴对称,分,,,四种状况,结合函数图象和单调性,得到不等式,求出答案.【详解】,若,在上单调递增,在上单调递减,满意要求,若,画出与的图象,如下:可以看出两函数图象关于轴对称,要想是函数的异动区间,则,解得,满意,当时,,,画出两函数图象,可以看出两函数图象在上单调性相同,不合要求,舍去,当时,画出两函数图象,可以看出两函数图象关于轴对称,要想是函数的异动区间,故,解得,满意,综上,的取值范围为.故答案为:四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知集合.(1)若,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)依据集合的交并补运算可得解;(2)由题意,对集合探讨,可得解.【小问1详解】当时,集合,,或,.【小问2详解】,,当即时,,则,解得,;当即时,,符合题意;当即时,,则,解得,;综上,实数的取值范围为.18.已知二次函数(为实数,且)(1)若,方程有两个相等的实数根时,求函数的解析式;(2)不等式的解集是,求函数的解析式.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题意得函数图象关于直线对称,结合条件“有两个相等的实数根”,列出关于的方程组,求解即可;(2)由题意得方程有实数根,且,利用韦达定理求解.【小问1详解】,的图象关于直线对称,又依据条件“有两个相等的实数根”,列方程组如下:,【小问2详解】不等式即的解集是,即方程有实数根,且,依据韦达定理:,.19.已知函数,其中.(1)当,求函数的值域;(2),求区间上的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用判别式法求值域;(2)求得,对分类探讨,依据二次函数的性质求最值.【小问1详解】时,,即,整理得,当时,,当时,由,得,解得,且,综上,,则的值域是.【小问2详解】且,当时,即时,函数在区间上单调递增,此时;当时,即时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,综上所述:20.已知指数函数,且,定义在上的函数是奇函数.(1)求和的解析式;(2)若对随意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)依据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解;(2)依据是奇函数,得恒成立,依据在上单调递减,得恒成立,再利用判别式求解.【小问1详解】设且,,,;是定义在上的奇函数,,对恒成立,.【小问2详解】恒成立,恒成立,又可知在上单调递减,恒成立,恒成立,,.21.天气渐冷,某电子设备生产企业打算投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万,每生产万个还需投入生产成本万元,且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只,每只售价45元并能全部销售完.(1)求出利润(万元)关于年产量万个的函数解析式;(2)当产量至少为多少个时,该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本;(3)当产量达到多少万个时,该公司所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】(1)(2)22472个(3)30万个,利润最大为410万元【解析】【分析】(1)依据利润的定义,结合所给函数的含义即可求解;(2)时,取最小值即可,仅需,求解即可;(3)利用一次函数,二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值,比较大小可得答案.【小问1详解】总销售额:万元,总成本:固定成本万元,∴利润【小问2详解】时,取最小值即可,仅需万,取22472个.【小问3详解】当时,,当时,,当时,,当且仅当时取等号,综上,当万个时,利润最大为410万.22.定义在的函数满意:对随意的,都有,且当时,.(1)求证:函数是奇函数;(2)求证:函数在上是减函数;(3)若,且恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见
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