备考2025届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第1讲直线的方程

第1讲直线的方程1.[2024江苏南京联考]过两点A（3，y），B（2，0）的直线的倾斜角为120°，则y＝（D）A.33 B.3 C.－33 D.解析设直线斜率为k，则k＝tan120°＝y－03－2＝y2.已知点A（－2，3）和B（4，2），若直线l：x＋my＋m－1＝0与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（C）A.（－∞，－1）∪（34，＋∞B.（－1，34C.[－1，34D.（－∞，－1）∪[34，＋∞解析如图，直线l：x＋my＋m－1＝0恒过定点P（1，－1），kAP＝－43，kBP＝1.当m＝0时，直线l的方程为x＝1，与线段AB有交点，符合题意；当m≠0时，直线l的斜率为－1m，则－1m≥1或-1m≤－43，解得－1≤m＜0或0＜m≤34.综上，m∈[－3.[2024四川成都七中段考]若直线l的方程为6x－6ycosβ＋13＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（D）A.[0，π] B.[π4，πC.[π4，π2）∪（π2，3π4） D.解析当cosβ＝0时，l的方程为6x＋13＝0，直线l的倾斜角α＝π2；当cosβ≠0时，由直线方程可得斜率k＝1cosβ＝tanα，∵cosβ∈[－1，1]，且cosβ≠0，∴tanα∈(-∞，－1]∪[1,+∞)，又α∈[0，π），∴α∈[π4，π2）∪（4.[2024贵州联考]若直线l：（a－2）x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则实数a的取值范围为（C）A.（－∞，0）∪（2，＋∞） B.（－∞，0）∪[2，＋∞）C.（－∞，0）∪（32，＋∞） D.（－∞，0）∪[32，解析若a＝0，则l的方程为x＝－32，不经过第四象限.若a＝2，则l的方程为y＝－12，经过第四象限.若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－a－2ax－2a－3a，因为l经过第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－25.[2024山西模拟]将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形纸片折叠，使点O落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（D）A.[0，1] B.[0，2] C.[－1，0） D.[－2，0]解析要想折叠后使点O落在线段BC上，可取BC上随意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与点D重合，如图.因为kOD≥kOB＝12，且k=-1kOD，所以－2又当折叠后点O与点C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，所以实数k的取值范围是[－2，0].6.[2024广东佛山容山中学校考]已知直线l的斜率小于0，且l经过点P（6，8），并与坐标轴分别交于A，B两点，C（4，0），当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为（C）A.－33 B.－354 C.－433解析由题意可设直线l：y＝kx＋b（k＜0），将点P的坐标代入，得8＝6k＋b，则b＝8－6k，则y＝kx＋8－6k（k＜0）.不妨设A在x轴上，则A（6－8k，0），B（0，8－6k）记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－8k，8－6k，所以△ABC的面积S＝12（6－8k－4）（8－6k）＝12（64－64k－12k）≥12×（64＋2×64×12）＝32＋163，当且仅当－64k＝－12k（k＜07.[多选/2024黑龙江牡丹江段考]已知直线l过点P（4，5），且直线l在两坐标轴上的截距的确定值相等，则直线l的方程可能为（ABC）A.5x－4y＝0 B.x－y＋1＝0C.x＋y－9＝0 D.x＋y＋1＝0解析当直线l过原点时，设直线方程为y＝kx，又直线过点P（4，5），则直线l的方程为y＝54x，即5x－4y＝0，故A当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa＋ya＝1，又直线过点P(4，5)，则9a＝1，得a＝9，则直线l的方程为x＋当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xb－yb＝1，又直线过点P（4，5），则－1b＝1，得b＝－1，则直线l的方程为x－y＋1＝0，故B正确8.[多选]已知直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，则下列结论正确的是（ACD）A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率确定存在C.当t＝－12时，直线l的倾斜角为D.点P（1，3）到直线l的最大距离为22解析对于A，当t＝－2时，直线l的斜率为0，故A正确；对于B，当t＝1时，直线l的斜率不存在，故B错误；对于C，当t＝－12时，直线l：32x－32y＋3＝0，即y＝x＋2，斜率为1，倾斜角为π4，故C正确；对于D，直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，即2x-y+3+tx+y=0，恒过2x－y＋3＝0和x＋y＝0的交点M（－1，1），易知点P（1，39.已知直线l的斜率为16，且与两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的斜截式方程为y=1解析设直线l的方程为y＝16x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－6b，所以12｜b｜·｜－6b｜＝3，即b2＝1，所以b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝110.已知点M（x，y）是函数y＝－2x＋8图象上的一点，则当x∈[2，5]时，y+1x+1的取值范围为解析y+1x+1＝y－（－1）x－（－1）的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率.设A（2，4），B（5，－2），因为点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]，所以点M在线段AB上.因为kNA＝53，kNB11.若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为（DA.y＝2x＋1 B.y＝2x＋1C.y＝12x＋1 D.y＝12x解析易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则｜b｜k2+1＝55①，设直线l与曲线y＝x的切点坐标为（x0，x0）（x0＞0），则y'｜x＝x0＝12x0－12＝k②，x0=kx0+b③，由②③可得b＝12x0，将b＝12x0，k＝12.[多选/2024江西宜春丰城中学月考]已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满意｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（BD）A.0 B.π4 C.π2 解析将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，∴点A，B不行能同时在直线l上，又｜AB｜＝（－2－2）2＋（－1－2）2＝5，且PA+PB=5，∴点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点.又直线l：2ax－2y＋3a－3＝a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，∴直线l恒过定点C(-32，-32)，作出示意图如图所示，此时kAC＝－1+32－2+32＝－1，kBC＝2+322+32＝13.[情境创新]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发觉，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于探讨，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB