济南市育英中学2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试卷

全等三角形+生活中的轴对称测试A卷5月30日一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30° D．10°如图AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6则AC长（）A．3 B．4 C．5 D．63.如图D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（）A．65° B．50°C．60° D．57.5°(1)(2)(3)(4)4、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对6．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°7．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（）A．10 B．11 C．11.5 D．13(5)(6)(7)(8)8．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE＝∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，若点D为BC的中点，过点D作∠MDN＝90°，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则下列结论中：①△DMN是等腰直角三角形；②△DMN的周长有最小值；③四边形AMDN的面积为定值8；④△DMN的面积有最小值．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个(9)(10)(12)(13)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小值，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11、等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为12、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为．13．如图，△ABC是等边三角形，AC＝AD，连接BD，∠BCD＝110°，则∠ADB的度数为．14，如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有个(14)(15)(16)15．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AE＝（AB+AD）；②∠ADC+∠B＝180°；③CD＝CB；④SACE﹣SBCE＝SACD．其中正确的是．16．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是．三．解答题（共4小题，共36分）17、（6分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．18、（9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，如果点B，C，D在同一条直线上．那么BD与CE有怎样的关系呢？请说明理由。19、（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．20、（12分）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．北师大新版七年级（下）中考题单元试卷：第4章三角形（03）参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（）​A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴×6×2+×AC×2＝10，解得AC＝4．故选：B【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（）A．65° B．50° C．60° D．57.5°【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD＝DF，∵D是AB边的中点，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．5．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC＝70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC＝∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝×50°＝25°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABO＝180°﹣70°﹣25°＝85°，∴∠DOC＝∠AOB＝85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BDC＝180°﹣85°﹣60°＝35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC＝（180°﹣70°）＝55°，故D选项正确．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．7、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（）A．10 B．11 C．11.5 D．13【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【解答】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是6+4＝10．故选：A．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．8．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE＝∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF＝AE，继而证得①∠AFE＝∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠ADE＝∠ADF，DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF，故正确；②∵DF＝DE，AF＝AE，∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，故正确；③∵S△BFD＝BF•DF，S△CDE＝CE•DE，DF＝DE，∴；故正确；④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行BC．故错误．故选：A．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，若点D为BC的中点，过点D作∠MDN＝90°，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则下列结论中：①△DMN是等腰直角三角形；②△DMN的周长有最小值；③四边形AMDN的面积为定值8；④△DMN的面积有最小值．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据等腰直角三角形的性质可证△AMD≌△CND（ASA），得DM＝DN，可知①正确；当DM⊥AB时，DM最小，则△DMN的周长、面积有最小值，故②④正确；由△AMD≌△CND，得四边形AMDN的面积为△ACD的面积，计算△ACD即可判断③错误从而得出答案．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAC＝∠DAC＝∠C＝45°，AD＝CD，∠ADC＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠ADC＝∠MDN，∴∠ADM＝∠CDN，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN，∴△DMN是等腰直角三角形，故①正确；当DM⊥AB时，DM最小，则△DMN的周长、面积有最小值，故②④正确；∵△AMD≌△CND，∴四边形AMDN的面积为△ACD的面积，∵AB＝AC＝4，∴△ABC的面积为4×4÷2＝8，∴△ACD的面积为4，∴四边形AMDN的面积为定值4，故③错误；∴正确的有①②④，共3个，故选：B．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，证明△AMD≌△CND是解题的关键．10、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小值，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．填空题11、等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17．【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、6，能组成三角形，周长＝5+5+6＝16，5是底边长时，三角形的三边分别为5、6、6，能组成三角形，周长＝5+6+6＝17，综上所述，这个等腰三角形的周长是16或17．故答案为：16或17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．12．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为2．【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，根据S△ABC＝S△AOB+S△AOC，可得OE+OF的值．【解答】解：连接OA，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，又∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，∴，∴OE+OF＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．如图，△ABC是等边三角形，AC＝AD，连接BD，∠BCD＝110°，则∠ADB的度数为20°．【分析】设∠CAD＝x．用x表示出∠ADC，∠ADB，求出∠BDC＝30°，再利用三角形内角和定理求出∠DBC，可得结论．【解答】解：设∠CAD＝x．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵AD＝AC．∴AD＝AC＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣60°﹣x）＝60°﹣x，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣x﹣（60°﹣x）＝30°，∵∠BCD＝110°，∴∠DBC＝180°﹣110°﹣30°＝40°，∴∠ADB＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣40°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．14、如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】B【分析】根据全等三角形的判定分别求出以AB为公共边的三角形，以CB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．【解答】解：如图所示，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个三角形和原三角形全等．以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．15．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AE＝（AB+AD）；②∠ADC+∠B＝180°；③CD＝CB；④SACE﹣SBCE＝SACD．其中正确的是①②③④．【分析】①在AE取点F，使EF＝BE．利用已知条件AB＝AD+2BE，可得AD＝AF，进而证出2AE＝AB+AD；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC＝∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠ADC+∠B＝180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD＝CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF＝CB，从而CD＝CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC．【解答】解：①在AE取点F，使EF＝BE，∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，∴AE＝（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④．故答案是：①②③④．【点评】本题考查了三角形综合题，需要掌握角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．16．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是12．【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．故答案为：12．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．三．解答题（共4小题，共36分）17、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B＝∠C．118、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，如果点B，C，D在同一条直线上．那么BD与CE有怎样的关系呢？请说明理由。【分析】求出AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．【解答】证明：BD＝CE．BD⊥CE．∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD＝AE，AB＝AC，又∵∠EAC＝90°+∠CAD，∠DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．倒角证明BD⊥CE．省略【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC．919、如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．版权所有【专题】数形结合；分类讨论．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角