新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题一小题专攻第三讲复数平面向量微专题3平面向量的数量积

微专题3平面对量的数量积常考常用结论设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．(1)a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)|a|＝＝.(4)cosθ＝＝.1.[2024·辽宁辽阳一模]已知两个单位向量a，b满意a＋b与a－7b垂直，则a·b＝()A．B．－C．D．－2．[2024·山东淄博二模]已知向量a，b满意a·b＝10，且b＝(6，－8)，则a在b上的投影向量为()A．(－6，8)B．(6，－8)C．D．3．[2024·山西晋中三模]设向量a与向量b的夹角为θ，定义a与b的向量积：a×b是一个向量，它的模＝|a||b|sinθ.若m＝(1，0)，n＝(－1，)，则|m×n|＝()A．－1B．1C．－D．(1)[2024·吉林东北师大附中模拟]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则·＝()A．B．C．D．3.(2)[2024·河南郑州一模]如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则·的取值范围是________．技法领悟求平面对量的数量积的方法：(1)定义法；(2)基向量法，基底应是已知模长和夹角的向量；(3)坐标法：①已知向量坐标，②建立合适的坐标系，运用坐标法求解．[巩固训练3](1)[2024·河南安阳三模]已知正方形ABCD的边长为1，O为正方形的中心，E是AB的中点，则·＝()A．－B．C．D．1(2)[2024·山东省试验中学一模]若平面对量a，b，c满意|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，则|b＋c|的最小值为________．微专题3平面对量的数量积保分题1．解析：依题意可得·(a－7b)＝＝0，即1－a·b－＝－a·b－＝0，则a·b＝－.故选B.答案：B2．解析：因为向量b＝(6，－8)，且a·b＝10，那么|b|＝＝10，所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝·＝.故选D.答案：D3．解析：∵|m|＝＝1，|n|＝＝2，∴cosθ＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝，∴|m×n|＝|m||n|sinθ＝.故选D.答案：D提分题[例3]解析：建立如图所示直角坐标系：则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x，y)，＝(2，1)∵AE⊥BD，∴⊥且∥，∴，解得，∴E＝＝，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以O，由A(0，1)，所以＝，·＝×1＋＝.故选D.(2)解析：由线段EF的中点为点B，得出＝－.·＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－9.当点P位于点A或点C时，||取最大值8.当点P位于AC的中点时，||取最小值，即||min＝8sin＝4，∴||的取值范围为，∴·的取值范围为[39，55].答案：D(2)[39，55][巩固训练3](1)解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，E，O，所以＝＝，所以·＝＝.故选C.(2)解析：在平面直角坐标系内，令a＝(1，0)，设b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，由a·b＝1，得x1＝1，由a·c＝－1，得x2＝－1，由b·c＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即y1y2＝1，b＋c＝(x1＋x