备考2025届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第6讲双曲线

第6讲双曲线1.[2024遂宁月考]已知双曲线x2m－y2m+6＝1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2A.x22－y24＝1 B.xC.x2－y28＝1 D.x22解析由题意，得2m＝m+6，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为x22－y22.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（D）A.双曲线的一支B.椭圆或圆C.双曲线的一支或椭圆或圆D.双曲线的一支或椭圆解析两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D.3.[2024深圳外国语学校月考]已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若A是BF2的中点，且BF1⊥BFA.y＝±23x B.y＝±22xC.y＝±3x D.y＝±2x解析连接AF1，设｜AB｜＝｜AF2｜＝m，则｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝m＋2a，BF1=BF2-2a=2m-2a，｜BF1｜2＋｜BA｜2＝｜AF1｜2，|BF1|2＋|BF2|2=|F1F2|2，即（2m－2a）2＋m2＝（m＋2a）2①，（2m－2a）2＋4m2＝4c2②，由①可得m＝3a4.[2024山西名校联考]双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A为C左支上一动点，直线AF2与C的右支交于点B，且｜AB｜＝3a，△ABF1与△BF1F2的周长相等，则｜F1F2｜＝（A.233 B.433 C.2解析点A在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a.因为△ABF1与△BF1F2的周长相等，所以AB+AF1+BF1=BF1+BF2+F1F2=BF1+AF2=AB+F1F2，则有｜F1F2｜＝2｜AB｜＋｜AF1｜－｜A5.[2024济南摸底考试]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若｜AB｜的最小值为4，则△ABFA.8 B.12 C.16 D.24解析因为双曲线的离心率为2，所以e2＝1＋b2a2＝2，得a＝b.当弦AB与实轴垂直时，｜AB｜的值最小，所以2b2a＝4，所以a＝b＝2.由双曲线的定义得｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋4a＝｜AB｜＋4a，所以△ABF2的周长为2｜AB｜＋4a，因为a＝2，｜AB｜的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋46.[2024惠州市一调]设O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为3，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，则A.62 B.2 C.3 D.解析由题意，不妨设a＝1，则c＝3，b＝2，所以｜PF2｜＝b＝2，｜OP｜＝a＝1，cos∠POF2＝33，所以cos∠POF1＝－cos∠POF2＝－33.由余弦定理可得，｜PF1｜2=｜OF1｜2＋｜OP｜2－2｜OF1｜·｜OP｜·cos∠POF1＝3＋1－2×3×1×（－33）＝6，所以｜PF1｜＝6，所以｜PF7.[全国卷Ⅰ]设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（BA.72 B.3 C.52 解析解法一设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝12×6＝故选B.解法二设点P的坐标为（xP，yP），因为｜OP｜＝2，所以xP2＋yP2＝4，把xP2＝4－yP2代入双曲线方程得｜yP｜＝32，所以S△PF1F2＝12｜F1F2｜·｜yP｜，由题意可知｜F1F8.[2024武汉部分学校调考]过双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A.3 B.5 C.132 D.解析如图，连接OT，由题意可知，OT⊥AF，｜OT｜＝a，又｜OF｜＝c，所以｜FT｜＝b，所以cos∠OFT＝bc.因为FA＝3FT，所以｜FA｜＝3b.设F'为双曲线E的右焦点，连接AF'，由双曲线的定义得｜AF'｜＝3b－2a.在△AFF'中，由余弦定理得（3b－2a）2＝（3b）2＋（2c）2－2×3b×2c×bc，所以a2－3ab－c2＋3b2＝0，又c2＝a2＋b2，所以2b＝3a，所以ba＝32，所以e2＝1＋b2a2＝1＋94＝9.[多选/2024江西九校联考]已知双曲线C过点（3，2）且渐近线方程为y＝±33x，则下列结论正确的是（ACA.C的方程为x23－y2B.C的离心率为3C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D.直线x－3y－1＝0与C有两个公共点解析对于A，由双曲线的渐近线方程为y＝±33x，可设双曲线方程为x23－y2＝λ，把点（3，2）代入，得93－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线C的方程为x23－y对于B，由a2＝3，b2＝1，得c＝a2＋b2＝2，所以双曲线C的离心率为23＝对于C，曲线y＝ex－2－1过定点（2，0），（2，0）为双曲线C的右焦点，故C正确；对于D，双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，直线x－3y－1＝0与双曲线的一条渐近线平行，如图，故直线x－3y－1＝0与C有一个公共点，故D错误.故选AC.10.[2024福州市一检]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2.点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称.若｜AF｜＝2b，则解析依题意，l1的方程为y＝bax.因为原点O与B关于直线AF对称，所以AF⊥l2，如图，设AF与l2的垂足为P，则｜FP｜＝b.因为｜AF｜＝2b＝2｜FP｜，所以点F，A关于直线l2对称，∠FOP＝∠AOP，又l1，l2关于y轴对称，所以∠FOP＝∠AOx，所以l1的倾斜角为13×180°＝60°，故ba＝tan60°＝3，所以离心率e＝1+11.已知双曲线x216－y24＝1的左、右焦点分别为F1（1）若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程.解析（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80，②由①②得mn＝8.∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×∴h＝25即M点到x轴的距离为25（2）设双曲线C的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－∵双曲线C过点（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4或∴双曲线C的方程为x212－y12.[2024兰州检测]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满意BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D.若∠ADO＝∠AOD，则双曲线A.2 B.2 C.3 D.3解析设A（x1，y1），P（x2，y2），AP的中点为M，连接OM，则M（x1＋x22，y1＋y22）.由x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差得（x1－x2)(x1＋x2）a2＝（y1－y2)(y1＋y2）b2，整理得x1＋x2y1＋y2＝a2b2·y1－y2x1－x2，所以1kOM＝a2b2·kPA，即kOM·kPA＝b2a2＝e213.[多选]在直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：x2a－y2a2-a+4＝1（a＞0）的焦点到渐近线的距离不大于a+3，点A，A.Γ的离心率为定值B.4x＋y＝0是Γ的一条渐近线C.Γ的两条渐近线的夹角的正切值为4D.｜AB｜的最小值为2解析选项A，不妨设F为Γ的右焦点，则F（a2+4，0），Γ的一条渐近线的方程为a2－a+4x－ay＝0，由题意得a2－a+4×a2+4a2+4≤a+3，整理得a2－2a＋1≤0，即（a－1）2≤0，所以a＝1，（另解：由双曲线的焦点到其渐近线的距离等于所以Γ：x2－y24＝1，所以Γ的离心率e＝1+41＝5，为定值，故A正确；选项B，由Γ：x2－y24＝1，得Γ的渐近线方程为2x±y＝0，故B错误；选项C，设Γ的渐近线2x－y＝0的倾斜角为α，则tanα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×21－22＝－43，所以tan（π－2α）选项D，易知｜AB｜≥2a＝2，（点拨：双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0故D正确.故选ACD.14.[多选/2024南昌市模拟]已知双曲线C：x2－y2＝2，O是坐标原点，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则下列说法正确的是（AB）A.双曲线的离心率为2B.存在点M，使得四边形OAMB为正方形C.直线AB，OM的斜率之积为2D.存在点M，使得｜MA｜＋｜MB｜＝3解析对于A，双曲线的标准方程为x22－y22＝1（等轴双曲线），∴a＝b＝2，∴c＝a2＋b2＝2，∴e＝对于B，渐近线方程为y＝±x，如图，不妨设点A在渐近线y＝x上，点B在渐近线y＝－x上，由OA⊥OB，MA⊥OA，MB⊥OB，知四边形OAMB为矩形.取M（2，0）（右顶点），则由点到直线的距离公式得｜AM｜＝｜2－0｜2＝1，同理可得MB=1,∴MA=MB对于C，当M为（2，0）时，kOM＝0，直线AB的斜率不存在；当点M的横坐标不是2时，设M（x0，y0）（x0＞2），直线MA的方程为y－y0＝－（x－x0），与y＝x联立，可解得x＝x0＋y02，y＝x0＋y02，∴A（x0＋y02，x0＋y02），同理可得B（对于D，设M（x0，y0）（x0≥2），由点到直线的距离公式知｜MA｜＋｜MB｜＝｜x0－y0｜＋｜x0＋y0｜2≥｜x0－y0＋x0＋y综上，选AB.15.[2024新高考卷Ⅰ]已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积.解析（1）将点A的坐标代入双曲线方程得4a2－1a化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故双曲线C的方程为x22－y2由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，故x1＋x2＝－4kb2k2－1，xkAP＋kAQ＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝kx1＋b－1x1－2＋kx2＋b－1x2－故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k）（－整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.（2）不妨设直线PA的倾斜角为θ（0＜θ＜π2），由题意知∠PAQ＝π－2θ所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝2tanθt解得tanθ＝2或tanθ＝－22由y1－1x1－所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝因为tan∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝