2023-2024学年广东省深圳市名校高一上学期期中考试联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列元素的全体可以组成集合的是（）A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生〖答案〗C〖解析〗由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合.故选：C.2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B.锐角三角形的三个内角都相等C.锐角三角形的三个内角都不相等 D.锐角三角形的三个内角不都相等〖答案〗D〖解析〗命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．故选：D．3.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得所以.故选：B4.设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由题意，充分性：若，则为等腰三角形.必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.故选：A.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意可得，解得且．故选：C．6.的最小值为（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．故选：A.7.若为奇函数，则（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得．故选：C.8.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A.220元 B.240元 C.250元 D.280元〖答案〗C〖解析〗依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中，不正确的有（）A.对角线垂直的四边形是菱形B.若，则C.若两个三角形相似，则它们面积之比等于周长之比D.若，则方程有实根〖答案〗ABC〖解析〗A选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误;B选项，当，时，，则B错误.C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误.D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确.故选：ABC．10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，即为图中所示；对于B选项，应为如下图：对于C选项，应为如下图：对于D选项，即为图中所示.故选：AD．11.若，，则下列判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗A：若，则，，错误.B：若，则，正确.C：若，则，，正确.D：若，则，即，得，正确.故选：BCD．12.已知函数满足对任意恒成立，则（）A. B.C. D.函数的图象关于直线对称〖答案〗ACD〖解析〗对于A：令，得，则，所以A正确；对于B：令，则，令，得，即，所以B错误；对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得，令，得，又为偶函数，所以，C正确；对于D：由C可知为偶函数，所以为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确，故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上，13.用符号“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．〖答案〗〖解析〗因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以.故〖答案〗为：.14.比较大小：____________.（请从“”“”“”中选择合适的符号填入横线中）〖答案〗〖解析〗由，，因为，可得，所以.故〖答案〗为：.15.某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；②只报名舞蹈的有36人；③只报名声乐的有20人；④报名两门课程的有14人.其中，所有正确结论的序号是____________.〖答案〗②③④〖解析〗如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，则，解得，所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人，报名两门课程的有人.故〖答案〗：②③④.16.设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，由，可得，解得，故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，命题．（1）判断是全称量词命题，还是存在量词命题；（2）若均为真命题，求的取值范围．解：（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，所以是存在量词命题．因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词，所以是全称量词命题．（2）若为真命题，则，解得．若为真命题，则，解得．因为均为真命题，所以的取值范围为．18.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由题意可得.当时，.故.（2）因为，所以，则解得，即a的取值范围为.19.已知．（1）若与均为正数，求的最大值；（2）若与均为负数，求的最小值．解：（1）因为与均为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为．（2）因为与均为负数，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．20已知函数满足．（1）求的〖解析〗式；（2）求函数在上的值域．解：（1）由，得，通过消元可得．（2）由题意可得，因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以在上的值域为．21.某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（）方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个.方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）.解：（1）方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），则，因为，，所以，即，所以采用方案二，花费更少.（2）由（1）可知，令，，，因为，所以，所以差值S的最小值为，当且仅当，，，，即，时，等号成立.所以两种方案花费的差值S的最小值为32元.22.已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明．（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增．（3）若函数在上是增函数，求的取值范围．（1）解：是奇函数．证明：由题意可知的定义域为，关于原点对称．因为，所以是奇函数．（2）证明：设，且，则．因为，所以，所以，即，故在上单调递增．（3）由题意可得，当，即时，在上是增函数．当，即时，，设方程的两根为，且，则在上是增函数．令，则，解得．综上所述，的取值范围为．广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列元素的全体可以组成集合的是（）A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生〖答案〗C〖解析〗由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合.故选：C.2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B.锐角三角形的三个内角都相等C.锐角三角形的三个内角都不相等 D.锐角三角形的三个内角不都相等〖答案〗D〖解析〗命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．故选：D．3.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得所以.故选：B4.设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由题意，充分性：若，则为等腰三角形.必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.故选：A.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意可得，解得且．故选：C．6.的最小值为（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．故选：A.7.若为奇函数，则（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得．故选：C.8.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A.220元 B.240元 C.250元 D.280元〖答案〗C〖解析〗依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中，不正确的有（）A.对角线垂直的四边形是菱形B.若，则C.若两个三角形相似，则它们面积之比等于周长之比D.若，则方程有实根〖答案〗ABC〖解析〗A选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误;B选项，当，时，，则B错误.C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误.D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确.故选：ABC．10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，即为图中所示；对于B选项，应为如下图：对于C选项，应为如下图：对于D选项，即为图中所示.故选：AD．11.若，，则下列判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗A：若，则，，错误.B：若，则，正确.C：若，则，，正确.D：若，则，即，得，正确.故选：BCD．12.已知函数满足对任意恒成立，则（）A. B.C. D.函数的图象关于直线对称〖答案〗ACD〖解析〗对于A：令，得，则，所以A正确；对于B：令，则，令，得，即，所以B错误；对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得，令，得，又为偶函数，所以，C正确；对于D：由C可知为偶函数，所以为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确，故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上，13.用符号“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．〖答案〗〖解析〗因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以.故〖答案〗为：.14.比较大小：____________.（请从“”“”“”中选择合适的符号填入横线中）〖答案〗〖解析〗由，，因为，可得，所以.故〖答案〗为：.15.某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；②只报名舞蹈的有36人；③只报名声乐的有20人；④报名两门课程的有14人.其中，所有正确结论的序号是____________.〖答案〗②③④〖解析〗如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，则，解得，所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人，报名两门课程的有人.故〖答案〗：②③④.16.设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，由，可得，解得，故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，命题．（1）判断是全称量词命题，还是存在量词命题；（2）若均为真命题，求的取值范围．解：（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，所以是存在量词命题．因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词，所以是全称量词命题．（2）若为真命题，则，解得．若为真命题，则，解得．因为均为真命题，所以的取值范围为．18.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由题意可得.当时，.故.（2）因为，所以，则解得，即a的取值范围为.19.已知．（1）若与均为正数，求的最大值；（2）若与均为负数，求的最小值．解：（1）因为与均为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以