数学（选修12）练习5.1.1合情推理（一）归纳活页作业5

活页作业(五)合情推理(一)——归纳1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．27 B．28C．32 D．33解析因为数列的规律是5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，所以x－20＝12.故x＝20＋12＝32.答案：C2．观察下列图形：……由此规律，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A．59颗 B．60颗C．87颗 D．89颗解析设第n个图形中“☆”的个数为an，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，an＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).故第30个图形比第27个图形中的“☆”多eq\f(30×31,2)－eq\f(27×28,2)＝87(颗)．答案：C3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由此可归纳出：若函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f′(x)()A．为偶函数B．为奇函数C．既为奇函数又为偶函数D．为非奇非偶函数解析(x2)′＝2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(x4)′＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(cosx)′＝－sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；……我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．答案：B4．对于大于1的自然数m的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”，23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析由题意，从23到m3，共有从3开始的连续奇数2＋3＋4＋…＋m＝eq\f(m＋2m－1,2)(个)，59是从3开始的第29个奇数．当m＝7时，从23到73，共有从3开始的连续奇数eq\f(7＋27－1,2)＝27(个)．当m＝8时，从23到83，共有从3开始的连续奇数eq\f(8＋28－1,2)＝35(个)．故m＝8.答案：C5．根据三角恒等变换，可得如下等式：cosθ＝cosθ；cos2θ＝2cos2θ－1；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ；cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ.依此规律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________.解析由所给的三角恒等变换等式可知，各系数与常数项的和是1，即32＋m＋n－1＝1，故m＋n＝－30.答案：－306．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝________.解析该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1127．已知在数列{an}中，a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)(n∈N＋)，猜想这个数列的通项公式．解∵a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)，∴a2＝eq\r(2＋a1)＝eq\r(2＋2cos\f(π,3))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,6)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,6))＝2coseq\f(π,6).a3＝eq\r(2＋a2)＝eq\r(2＋2cos\f(π,6))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,12)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,12))＝2coseq\f(π,12).a4＝eq\r(2＋a3)＝eq\r(2＋2cos\f(π,12))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,24)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,24))＝2coseq\f(π,24).∴猜想{an}的通项公式为an＝2coseq\f(π,3×2n－1).8．在平面内，观察凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数随着边数增加的变化规律，由此猜想凸n边形有几条对角线．解凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；……于是猜想：凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条，即凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N＋)．1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，……则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92解析由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：B2．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如下图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去，那么第2013次互换座位后，小兔的座位对应的编号是()A．1 B．2C．3 D．4解析第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象．又2013＝503×4＋1，故第2013次互换座位后的座位情况就是第1次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是1.答案：A3．如下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为eq\f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两个数的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，则第7行第5个数(从左到右)为________.eq\a\vs4\al(\f(1,1),\f(1,2)\f(1,2),\f(1,3)\f(1,6)\f(1,3),\f(1,4)\f(1,12)\f(1,12)\f(1,4),\f(1,5)\f(1,20)\f(1,30)\f(1,20)\f(1,5),……)解析设第n行第m个数为a(n，m)．由题意知a(6,1)＝eq\f(1,6)，a(7,1)＝eq\f(1,7)，∴a(7,2)＝a(6,1)－a(7,1)＝eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＝eq\f(1,42)，a(6,2)＝a(5,1)－a(6,1)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)，a(7,3)＝a(6,2)－a(7,2)＝eq\f(1,30)－eq\f(1,42)＝eq\f(1,105)，根据对称性，得a(7,5)＝a(7,3)＝eq\f(1,105).答案：eq\f(1,105)4．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．解析画图可知，f(4)＝5.当n＞4时，可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1，f(n－1)－f(n－2)＝n－2，……f(4)－f(3)＝3.各式相加，可得f(n)－f(3)＝eq\f(1,2)(n＋2)(n－3)．又f(3)＝2，所以f(n)＝eq\f(1,2)(n＋2)(n－3)＋2.化简整理，得f(n)＝eq\f(1,2)(n－2)(n＋1)．答案：5eq\f(1,2)(n－2)(n＋1)5．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)；sin212°＋sin272°＋sin2132°＝eq\f(3,2)；通过观察上述三等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予证明．解一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos2α＋120°,2)＋eq\f(1－cos2α＋240°,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右边．∴原式得证．6．已知函数f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3)).(1)分别计算f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2015)＋f(2016)．(2)试根据(1)的结果归纳猜想出一般性结论，并给出证明．解(1)∵f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，∴f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)＋1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)；f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(1,\f(1,3)＋\r(3))＋eq\f(1,3\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\r(3))))＝eq\f(3\r(3)＋1,3\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\r(3))))＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)；f(－2015)＋f(2016)＝eq\f(\r(3),3).(2)