高考数学一轮复习专题训练：平面向量（含详细答案解析）

第6单元平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，向量，，因为，则，即，解得．故选C．2．已知向量，，且，则的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【答案】B【解析】因为，，所以，因为，则，解得，所以答案选B．3．已知向量，满足，，与的夹角为，则为（）A．21 B． C． D．【答案】B【解析】，，，故选B．4．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量在向量方向上的投影为，故选B．5．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数，使得，说明向量，共线，当，同向时，成立，当，反向时，不成立，所以充分性不成立．当成立时，有，同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件．故选B．6．已知非零向量，，若，，则向量和夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设向量与向量的夹角为，，由，可得，化简即可得到，故答案选B．7．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得，又，，所以，故选D．8．设D为所在平面内一点，，若，则（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因为D为所在平面内一点，由，可得，即，则，即，可得，故，则，故选D．9．在四边形中，，，，那么四边形的形状是（）A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对【答案】C【解析】，，，，四边形是梯形，答案选C．10．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得，因为G为△ABC的重心，M满足，所以，，所以，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以，设，代入可得，即，又因为，即，，且，解得，所以，可得，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比，所以与的面积之比为．故选D．12．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上投影为，即，，，又，，，，本题正确选项B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量和向量垂直，则_______．【答案】5【解析】向量和向量垂直，，解得，，，本题正确结果5．14．已知向量，，若，则________．【答案】9【解析】因为，所以，解得m=9，故填9．15．已知向量，向量为单位向量，且，则与夹角为__________．【答案】【解析】很明显，设向量的夹角为，则，，，据此有，且，，向量与的夹角为，则，，综上可得：与夹角为．16．在直角坐标系中，已知点，若点满足，则＝_____．【答案】【解析】因为，所以为的重心，故的坐标为，即，故．填．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为向量，，则，则．（2）因为向量，，则，若，则，解得．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，，设，．（1）用向量表示向量，，；（2）若，，与的夹角为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，，又，，故，，．（2），故答案为．19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足．若，，表示，并求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，．可得，，∴．（2）因为，，所以，所以，因为，所以，的最大值．20．（12分）设向量，其中．（1）求的取值范围；（2）若函数，比较与的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∴．21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且．（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1），整理得，∵，∴，∵，∴．（2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记，，试以为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用来表示向量，；（2）若，且，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，，∴，．（2）由（1）可知：，，∴，∵且，∴，∴，∴，∴．第6单元平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量，，若，则（）A． B． C．4 D．2【答案】B【解析】因为向量，，若，则，解得，故选B．2．已知向量，，若，则（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】因为，，所以，又，所以，即，解得．故选B．3．平面向量与的夹角为，，则（）A． B．12 C．4 D．【答案】D【解析】由题意可得，故选D．4．设非零向量，满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：，即，整理得，，本题正确选项A．5．已知，，，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：，向量在方向上的投影为，本题正确选项B．6．向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是（）A． B． C．且 D．【答案】C【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，，得．向量，共线时，，得．此时．所以且．故选C．7．如图，边长为2的正方形中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以．故选D．8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由题意可知，P为AC的中点，，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为，所以．故选B．9．已知中，为的重心，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得，且，，所以．10．已知向量，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故的最小值为．故选A．11．已知平面向量，满足，，且，为的外心，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，为等腰直角三角形，为的外心，为中点，且，，，．本题正确选项A．12．在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时．故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为_____．【答案】【解析】由向量数量积的几何意义可得，在方向上的投影为，故答案为．14．已知两个单位向量，，满足，则与的夹角为_______．【答案】【解析】由题意知：，，，，，本题正确结果．15．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，若，则______．【答案】【解析】在矩形中，，，可以以，的方向为轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以，，，，点为的中点，故，设，，，．16．在平行四边形中，已知，，，若，，则__________．【答案】【解析】由题意，如图所示，设，，则，，又由，，所以为的中点，为的三等分点，则，，所以．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设，已知，，，．（1）若，且，求的值；（2）若，求证：．【答案】（1）；（2）见证明．【解析】（1）当时，，，∵，∴，解得．（2），∵，∴，∴．18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设，．（1）若是的中点，用分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1），．（2）由题意知，，且，则，所以．（3）与（2）解法相同，可得，设与的夹角为，则，因为，所以与的夹角为．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，，，．（1）当时，求的值；（2）设函数，求的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得：，．（2），设，则，又，则，，，，当时，；当时，，的值域为．20．（12分）已知向量，，且．（1）求以及的取值范围；（2）记函数，若的最小值为，求实数的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）易得．因为，又，所以，所以．（2）依题意，得．令，由（1）知，，则有．①当，即时，有，解得，此与矛盾；②当，即时，有，解得（舍）；③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数．21．（12分）已知平面向量，，，其中．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若，，，求的值．【答案】（1）增区间为；（2）的值为或．【解析】（1），由，得，又∵，∴函数的增区间为．（2）由，得，又因为，