甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题【含答案解析】

高二年级期中考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数值的定义算出，由导数的几何意义，即为在点处的切线的斜率.【详解】，则根据导数值的定义：，由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为.故选：B2.设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出对称点和中点坐标，由两点间距离公式计算．【详解】点C，D关于面对称,则有，由中点坐标公式得的中点的坐标为，所以．故选：C．3.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.【详解】连接，如图，因为是的中点，所以.故选：B4.已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.【详解】，由得或，故函数在上单调递增；由得，故函数在上单调递减，故函数的最大值为．故．又，，故当时，函数取得最小值为-37．故选：D.5.设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可.【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，解得取值范围为，故选：B．6.如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标.【详解】设，交于点，连接，因为正方形与矩形所在平面互相垂直，点在上，且平面，又平面平面，平面，所以，又，所以平行四边形，故，所以是的中点，因为，所以，所以.故选：C7.已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可.【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则令，可得，所以，即，又平面，所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，又，所以点到平面的距离为，即直线与平面之间的距离为.故选：B8.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，采用换元法，将问题转化为有两个不同的零点问题，分离参数，从而将问题转化为直线与的图象有两个不同交点，数形结合，可得答案.【详解】由题意得,令，，该函数在R上为单调增函数，且，故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，令即直线与的图象有两个不同交点，又，当时，递增，当时，递减，则，当时，，作出其图象如图：由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，故选：A.【点睛】方法点睛：解决函数有两个不同的零点的问题，要将函数式变形为，实质是采用换元法，令，将问题转化为有两个不同的零点，然后分离参数，利用导数判断函数单调性，数形结合，解决问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项}符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）．A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义判断．【详解】两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，A错；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B正确；两个平面法向量平行，则这两个不重合的平面平行，C错．两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，D正确．故选：BD．10.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.是平面的一个法向量D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.【详解】对于A，由于，分别是的中点，所以平面平面，所以平面，故A正确；对于B，，故，，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；对于C，由，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；对于D，，点到平面的距离为，故D正确.故选：ACD．11.已知函数，下列说法正确的有（）A.曲线在处的切线方程为B.的单调递减区间为C.的极大值为D.方程有两个不同的解【答案】AB【解析】【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.【详解】的定义域为，.A选项，，所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.B选项，令解得，所以在区间，单调递减，B选项正确.C选项，在区间，单调递增，所以有极小值，无极大值，C选项错误.D选项，的极小值为，当时，；当时，，方程有一个解，D选项错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间中三点，设，若，且，则向量______【答案】或【解析】【分析】根据向量共线、模等知识求得.【详解】，，由于，所以存在实数使，所以，所以或.故答案为：或13.如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.【答案】【解析】【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为平面，平面，则，同理可知，所以，.故答案为：.14.某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入______千元【答案】1【解析】【分析】由题意列收益函数，然后利用导数法求得最大值，即可得解.【详解】设投入经销商品的资金为千元，则投入经销商品的资金为千元，所获得的收益千元，则，可得，当时，可得，函数单调递增；当时，可得，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以当投入商品的资金为4千元，投入商品的资金为1千元时，此时总收益最大为千元.故答案为：1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．（1）试用，，表示向量；（2）若，求MN的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【小问1详解】解：，∴；【小问2详解】解：，，，，，即MN的长为.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，EPC上一点，且．（1）求证：平面PBC；（2）求证：平面BDE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.【小问1详解】证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，因为，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因为，平面PBC．所以平面PBC．【小问2详解】证明：由（1）可得，，．设平面BDE的法向量为，则，即令，得，，则是平面BDE的一个法向量，因为，所以，因为平面BDE，所以平面BDE．17.如图，在直三棱柱中，，为的中点．（1）求点到平面的距离.（2）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）.（2）．【解析】【分析】(1)证明后，建立空间直角坐标系，然后利用点到面的距离公式；(2)通过法向量，算出二面角的余弦值.【小问1详解】在中，由余弦定理得:，，．又平面，以为原点，为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．，．设平面的法向量为，不妨取，点到平面的距离．【小问2详解】设平面的法向量为，.且取，则，则平面的法向量为．设平面的法向量为，，且，取，则．则，，平面与平面所成角的余弦值为．18.已知函数在点处的切线方程为．（1）求函数的单调区间，（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是（2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.【小问1详解】由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；【小问2详解】因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，经检验，，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．19.已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.【小问1详