第12节 指数函数及指数型函数 教学案- 高三数学一轮复习

指数函数及指数型函数(讲案)

【教学目标】

本节内容目标层级是否掌握

★☆☆☆☆☆

指数函数概念

★★☆☆☆☆

指数函数定义域

指数函数值域、最值

★★★★☆☆

指数型复合函数单调性

★★★★☆☆

指数比较大小、方程与不等式

★★★★☆☆

指数函数奇偶性

一、指数函数概念

【知识点】

1.定义：一般地，形如y=a\a>0月々中1)形式的函数叫做指数函数，其中a是底数，指数x是自变量。

2.指数函数形式上的严格性：在指数函数的定义表达式中，优的系数必须是1,指数必须是x,而且不等

含有其它项。其它形式都不是指数函数，例如：y=2ax,y=«'+,,y=ax+i都不是指数函数。

3.指数函数,y=ax(a>0且a*1)过定点(1,0),因为a°=1(«*0)。

4.指数函数y=a\a>0且a丰1)的单调性由底数a决定，a>1时单调递增；0<a<1时，单调递减。

【例题讲解】

★☆☆例题1.下列一定是指数函数的是()

A.y=a"B.y=x"(a>0,aw1)C.(；)"D.y={a-1)ax

答案：C

解析：根据指数函数的定义即可

★☆☆练习1.下列函数不是指数函数的是()

A.)’=2"'B.丫=3一"Qy=4"Dy=23A

答案：A

解析：根据指数函数的定义即可

★☆☆练习2.下列函数是指数函数的是()

A,y=(-3)、B.尸3川c,j=-3v+,D.>=3-'

答案：D

解析：根据指数函数的定义即可

★☆☆例题2.函数y=(a-2)2优是指数函数，则a=.

答案：3

解析：根据指数函数的定义可得a=3

★☆☆练习1.函数/(九)=(2。-1)、是指数函数，则实数。的取值范围是.

答案：(1,l)u(l,+a))

解析：根据指数函数的定义即可

★☆☆练习2.函数y=/(x)是指数函数，且/⑵=9,则/(无)=.

答案：3工

解析：根据指数函数的定义设/(x)=ax(a>0),/(2)=a2=9,a=3

★☆☆例题3.函数/(%)=-2(a>0,a*1)的图象恒过的点为()

A.(-1,-DB.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,-2)

答案A

【解答】解：令*+1=。.贝！|x=T,/(-D=-l,

所以函数/(X)=优"-2(。＞0,ax1)的图象恒过的点为(T，-D

★☆☆练习1.函数/*)=优t(a＞0,a71)的图像恒过定点A,下列函数图像不过点A的是()

A.y—A/1—xB.y=|无一21C.y—2'—1D.y=2—x

答案：A

解析：定点为(1,1)带入验证即可

★☆☆练习2.函数y=ax+5+1(。＞0,ar1)中，不论a取何值，函数图像均经过一个定点P,则定点P的

坐标为.

答案：(-5,2)

解析：x=-5带入可将a约掉可得过定点(-5,2)

★☆☆例题4.若函数/(x)=/+27+机(。＞1)过点(1,10),贝即=.

答案：9

解析：将点。‘°)带入函数即得,所以加=9

★★☆练习1.函数＞=小(。＞°且"I)的图像恒过定点A若点A在直线，“+股」1=。，(，"＞0,"＞。)上贝*+:

的最小值为.

答案：4

解析：由题知，…=L(心。，〃＞。).

11(11Azm

—F-=—I"一•(/??+/?)=2d----1—＞24-2./-------=4

所以mnnJmnn当且仅当〃？=〃时取〃一〃

知识点要点总结:

1.判断一个函数是指数函数的方法

指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：

(I)底数是大于0且不等于I的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)a'的系数必须为1；

⑷指数函数不会是多项式，如y=优+1不是指数函数.

2.已知某函数是指数函数求参数值的方法

(1)令底数大于0且不等于1,系数等于1列出不等式与方程.

(2)解不等式与方程求出参数的值.

3.求指数型函数过顶点时，;将旨数看作一个整体，令其等于0即可。

提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件.

二、指数函数的定义域

【知识点】

1.定义：函数y=a\a>。且a+1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数.

2.单调性：指数函数y=a'(a>0且a丰1)的单调性由底数”决定，a>1时单调递增；0<a<1时，单调

递减。

【例题讲解】

★☆☆例题1.已知集合A/={九|x<l},N={x|3'>l}，则/cN=

A.0B.(0,1)C,(-8,0)D.

答案：B

解析：解不等式取交集即可

★☆☆练习1.已知集合4={已3'<1},5=3%+1>0},则AcS=

A.(Y,DB.(-oo,0)C.(-1,0)D.(-1,1)

答案：C

解析：解不等式取交集即可

★☆☆例题2.函数y=J1—(；)'的定义域是()

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.[0,+oo)D.(-oo,0]

答案：C

解析：解不等式取交集即可

★☆☆练习1.函数外幻=2'+与三的定义域为()

A.[-2,2]B.[-2,0)u(0,2]C.(-oo,-2]u[2,+oo)D.(-2,0)u(0,2)

答案：A

解析：解不等式取交集即可

★☆☆练习2.设函数/(x)=34-4*,则函数/(?的定义域为()

A.(-oo,4]B.(-°°，；]C.(0,4]D.(0,；]

答案：A

X

解析：f(x)的定义域为(-8,1]所以7W1,xW4

4

★☆☆例题3,求函数f(x)=>/4X3V+1-27-32X的定义域.

答案：[1,2]

解析：4x3t+l-27-32jr>0，令r=3',则一/+12/-2720，即尸-⑵+2720，解得3W/W9,

所以1WXW2

★☆☆练习1.函数/(x)=上一，的定义域是()

A.(-2，+°°)B.[-1,+<»)C.(-00,-1]D.(-<»,-2]

答案：B

解析：解不等式即可

三、指数函数的值域、最值

【例题讲解】

★☆☆例题1.集合4={幻丁=7^7^},3={>|〉=2'/>0},则4门8=()

A.O2]B.d,2]C,[1,2]D.d,4w)

答案：B

解析：A集合为[0,2],B集合为(1,+8)取交集即可

★☆☆练习1.已知集合4={划丁=7^1},3={m^=2*},则Ac3=()

A.(l,+oo)B.[l,+»)C,(0,+co)D.(0,1)

答案：B

解析：A集合为n,yo),B集合为(0,+8)取交集即可

X|

★☆☆练习2.设集合用={幻'；—20},N={y|y=(；)x,xN0},则MDN=()

\-x2

A.[0,1]B.{0}C,(0,1)D.[0,1)

答案：C

解析：A集合为[(),1),B集合为((),1]取交集即可

★☆☆例题2.函数y=的值域为()

A.I-,+°°)B.(-℃>,—]C.(-oo,2]D.(0,2]

答案：D

y=(J)，％

解析：y=f—2A-的值域为[-l,+00)，所以.2的值域为(°，2]

★☆☆练习1.已知函数/(x)={''：<、八，则/(-2)=_______函数/W的值域为一

x+l,x>0

答案：—(0,+oo)

4

解析：第一空带入即可，第二空画图可得

★★☆练习2.函数y=9'-2・3、+2(-14x41)的最小值是()

13

A.65B.—C.-1D.1

答案：D

解析：令f=3"则卜仁3,y="-2f+2,外加=武1)=1

★★☆练习3.已知函数/O)=(^)v+l,-2<x<2,则函数y=/(%)+的最大值是(

A.7B.8C.21D.22

答案：B

解析:由题意得，y=/(x)+〃2x)=(；产+(；),+2,

因为一(X)的定义域为-2,2],所以丁=/(幻+/(2尤)的定义域为[一1」，

令"(J],则fe[g,2],y=/+f+2,当，=2时,Wax=8

★★☆例题3.已知函数/(x)=，，若必促凡加eR,使得/(加)+2〃2_3〃=2忘，则实数

(1)\x<0

〃的取值范围为()

A.(一8,一；)52,+8)B.(-00,-2)u(g,+G0)

C.［一(,2］D,-2,；

乙乙_

答案:C

解析：当xNO时，y(x)=x+l+-^--2>2V2-2,

x+1

而当尤<0时，/U)>1,

故函数/(x)的值域为［2/-2,+8);

而/(M+2"-3〃=2后，所以/。")=-2〃2+3〃+2行22夜-2,

故2〃2—3〃―240,解得-

★★☆练习1.设函数f(x)=\'-,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则

-x+5,x>2

2"+2"+2’的取值范围是()

A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)

答案：B

解析：画出函数/(x)的图象如图所示.

结合图像可得4<c<5，故16<2'<32.

所以18<2"+2"+2,<34.选B.

...1

★☆☆例题4.函数/⑴=二一的定义域为值域为.

3'-1-1

答案：（―00,0）50,1）51,小）（f,-1）50,；）5；,小）

解析：略

★☆☆练习1.已知函数/（x）=2'+2川6-2,—1,求函数的定义域与值域.

答案：定义域（-8,4],值域（7[6]。

解析：略

四、指数型复合函数单调性

【知识点】

与指数函数有关的复合函数的单调性

形如函数y=的单调性，它的单调区间与/（幻的单调区间有关：

⑴若。>1,函数/（x）的单调增（减）区间即函数y=的单调增（减）区间；

（2）若0<。<1,函数/（%）的单调增（减）区间即函数y=的单调减（增）区间.即洞增异减".

【例题讲解】

★☆☆例题1.求函数/（用=3庐姿4的定义域、值域及单调区间.

答案：定义域是（-8,1]54,心）.值域是[1,+00）；单调减区间是（-00,1],单调增区间是[4,小）.

解析：定义域解不等式即可，值域根据复合函数求值域，单调区间同增异减

z[\x2+2x+5

★☆☆练习1.已知函数y=g,求其单调区间及值域.

答案：在（一8'-1）上是增函数，在（-L”）上是减函数，值域为〔’81_

解析：值域根据复合函数求值域，单调区间同增异减

/1、-F+2X

★☆☆练习2.函数y=上为增函数的区间是（）

A.[-1,-K>o）B.（―℃,—1]C.[l,+oo）D.（—oo,l]

答案：C

解析：复合函数单调区间同增异减

★☆式例题2.若函数y=|3、-11在（-oo«]上单调递减，则k的取值范围为.

答案：（-8,0]

解析：画图即可

★☆☆练习1.设,XGR,那么/a）是

A.奇函数目在（0,+oc）上是增函数B.偶函数且在（0,+oc）上是增函数

C.奇函数且在（（）,+8）上是减函数D.偶函数且在（o,+8）上是减函数

答案：D

解析：通过图像，x带绝对值为右翻左，画图即可

Y-1

★★☆练习2.已知函数/（%）=j-,下面说法正确的有（）

A.的图像关于原点对称

B./(x)的图像关于)‘轴对称

C./(x)的值域为(T1)

D.V%,%eR,且x产马,''——口"<0恒成立

玉一工2

答案：AC

解析：对于选项A,〃x)=Fl,定义域为R,则丹=-"x),则/(x)是奇函数，

图象关于原点对称；

对于选项B,计算/(1)=星=§,/(-1)=^—=--*/(!)，故/*)的图象不关于y轴对称；

-----1-1

2

*—172

对于选项C,/(x)=^j=l--，令l+2x=fje(l,+oo),y=f(x)=l--,

2

易知，故/*)的值域为(T1)；

1——tw(—1,1)

2*_]22

对于选项D,/(%)=—^-=1--—，令1+2*=/,/€(1,”),y=f(x)=l—,

2+11+2t

2

函数f=l+2'在R上单调递增，且y=l-:在re。,”)上单调递增，

根据复合函数的单调性，可知/(幻=1-在R上单调递增，

1+2

fM-fM<0

故V%，/SR,且犬户*2,王一/不成立.

2X_i3

★☆☆例题3.已知函数/(%)=菽石(加>0),且/(2)=,

(1)求加的值，并指出函数y=/(力在R上的单调性(只需写出结论即可)；

(2)证明:函数”X)是奇函数；

(3)若/(4)+/(2加一3)<(),求实数机的取值范围.

答案：（1）2,“X）在R上为增函数；（2）证明见解析；（3）（-3,1）.

302—13

解析：（1）因为〃2）=w，所以1—=-,即苏=4,

5nt'+\5

因为加＞0,所以m=2.

2X-]2

函数/（X）=77—7=1-在R上为增函数•

2+12+1

2X—1

（2）由（1）知/（x）=VJ•定义域为（』用）.

，一%-11_7~x—1

对任意）,都有/（一力；^K（X）・

乙7ILrXI乙=5乙^TI71=—/

所以函数/（X）是奇函数，

（3）不等式/（/叫+/（2加-3）＜0割介于

/（叫＜-/（2帆-3）,

因为函数“X）是奇函数，

所以/（/叫＜/（3-2加），

又因为函数“X）在R上为增函数，

所以〃/＜3—2加，BPm2+2m-3＜0.

解得-3＜m2＜1.

所以实数〃2的取值范围为（-3,1）.

★☆☆练习L已知〃x）=a"（aX）且"1）的值域为U+s）则〃T）与/⑴的关系是

A./（-4）=/（I）B./（-4）＞/（1）C.D,不能确定

答案：B

解析：+，函数的值域为口'十°°）'二。〉]由于函数/（x）=/T在（T,+8）上是增函数，

且它的图象关于直线》=-1对称，可得函数在（一°°，一1）上是减函数.

再由川)=/(-3)，可得/(-4)>/(1)

1\ax2-4x+3

-

(3)

(1)若4=1,求“X)的单调区间；

(2)若“X)的最大值为3,求实数"的值；

答案：(1)单调递减区间是(2,例),单调递增区间是(F,2);(2)1.

1,

解析：(1)当。=1时/(尤)=(§)1川，

令g(x)=A?-4x+3,

由于g(x)在(F，2)上单调递减，在(2,+8)单调递增，

而y=《)'在R上为减函数，

所以在(-8,2)上单调递增，在(2,+。。)上单调递减，

即函数fM的单调递减区间是(2,+oo),单调递增区间是(-00,2).

(2)令/i(x)=-4x+3,贝!]/(%)=,

因为的最大值为3,所以〃(x)的最小值为-1,

当。=()时，/(x)=《尸*3,无最大值；

a>0

当〃w()时，有3。一4।,解得〃=1,

、a

所以当。=1的最大值为3时.

z[xttr2-4x4-3

★★☆练习1.已知函数

(1)若4=1,求/(*)的单调区间；

(2)若/(X)的最大值为3,求实数"的值；

(3)若/(x)的值域是((),+8),求实数。的值

答案：(1)函数/(x)的单调递减区间是(2,+8),单调递增区间是(一8,2)(2)a=l(3)0

解析：(1)当。=1时，/(x)=g),

令g(x)=炉―4尤+3,

由于g(x)在(-8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

而丫=(3)为减函数，

所以/(X)在(-8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

即函数/(X)的单调递减区间是(2,+8),单调递增区间是(-8,2)。

/]、力(X)

(2)令h(x)=ax2-4x+3,则/(x)=—,

为/(x)的最大值为3,所以/7。)的最小值为-1,

当aWO时，〃(x)无最小值；

当a>()时，力(%)有最小值，在对称轴处取得，解得a=1,

所以当/&)的最大值为3时，实数a的值为1。

[xax2-4JT+3

[-的值域为(0,+00),

应使〃(x)=--4x+3的值域为R。

当a=()时，值域为R,符合题意；。。()时，不符合题意。

故当/(x)的值域是(0,4w)时,实数a的值为0.

五、指数比较大小、方程与不等式

【知识点】

指数比较大小，底数相同时，利用指数函数的单调性；指数相同时，利用幕函数单调性。

【例题讲解】

★☆☆例题1.已知。=己产,》=（1严，则。_"（填或">"）

33

答案：〉

解析：根据指数函数>=（1）*

3为减函数求得

☆练习1.已知a=0.4°3,b=0.3°3,c=O.304,则（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】解析：0.3。3>0.3°<,即b>c>0,而且=（丝）。即〃>>，

b0.33

：.a>b>c

故选：B.

★☆☆练习2.若a=0.5°6,6=0.6°5,c=2°5,则下列结论正确的是（）

A.b>oaB.oa>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】ft?：0<O,506<0.5°5<O,605<0.6°=1,

：.0<a<b<\,

又•.•2°s>2°=1,:.c>\,

:.c>b>a,

故选：D.

42

★★☆例题2.已知a=2*。=43c=25?贝（J（）

A.h<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析因为a=2,为=4'=2工，所以q>b；又因为a=2^=4^,c=25*=5、，所以。<c

★★☆练习1.已知。=21〃=3"。=5F，则()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<h

【答案】D

32

【解析】解：・・・苏=(2“5=23=8,〃=(3^5=32=9,

:.b>a>\,

1

・.・0<5-3<5°=1,..Ovcvl,

:.c<a<h,

故选：D.

★★☆练习2.设4=(2)。5,b=(-)M,C=(-)M,则(

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】解：•♦•0<(3严<(3。=1,.•.o<a<l，

:.c>b>ay

故选：A.

★☆☆例题3.若偶函数/(x)满足/(x)=2V-4(%>0),则不等式于(x-2)>0的解集为

答案：(—8,0)u(4,田)

解析：利用偶函数/(x)=/(Ix|)已经指数函数性质.

★☆☆练习1.已知函数/(x)=(J—+-)x3(«>0且a01).

ax-\2

(1)讨论/(x)的奇偶性;

(2)求a的取值范围，使/(X)>0在定义域上恒成立.

答案：(1)偶函数；(2)(l,^o)

解析：(1)略(2)函数为偶函数，只需要x>0时/(x)>0，即一^+:〉。在x>0时成立。

ci—12

★☆☆练习2.不等式<4的解集为.

处案•GL2)

口东•

解析：解不等式即可

★★刈列题4:已知函数/(x)=a'+b(a>Q,a^1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+。=.

3

独崇——

口菜•,2

解析：讨论a与1的大小关系，解得a=g/=-2

★★☆练习L已知函数f(x)=(g)",a为常数，且函数的图象过点(-1,2).

⑴求a的值；

(2)若g(x)=4-*—2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.

答案：(1)1;(2)-1

解：(1)略.(2)-1

(2)解方程47-2=27,令『=2-*,/一，-2=0,解得f=2或1=一1(舍去)

所以f=2T=2,x=-l

六、指数函数奇偶性

【知识点】

1.函数奇偶性常用结论

⑴如果函数/(X)是偶函数，那么/(x)=/(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

⑶在公共定义域内有：奇士奇=奇，偶±偶=偶，奇、奇=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇.

2.掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

(1)若/(X)是偶函数，那么/(x)=/(|x|).

(2)若奇函数在x=()处有意义，则/(())=0.

3.指数函数构成的奇偶函数

奇函数：/(%)==^4,/(%)^

a+\a-1

偶函数：f(x)=a'+ax

【例题讲解】

★☆☆例题1.已知函数/(力=3'-可，贝!|/(x)()

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是减函数

答案：B

f(-6=3-，--3'=-/(%)口］

解析：，所以函数是奇函数，且3'是增函数，<31是减函数，

根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B.

，、2，、

☆练习1.设aeR,〃x)=a-万v(xeR)，若"X)为奇函数，则。=.

【答案】1

解析：0属于定义域，奇函数/(())=0。

☆例题2.已知定义在R上的奇函数/(%)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=屋-a-*+2(a>0,“r1).若

g(2)=a，则/(2)=.

15

【答案】-

4

【解析】f(2)+g(2)=a2-a-2+2,f(-2)+g(-2)=a2-a2+2,-f(2)+g(2)=a2-a2+2，贝[]

15

28(2)=4=2〃所以。=2,"(2)=为2-2<尸=8、=]1，所以/(2)=了

★★☆练习1.已知奇函数y=如果/(x)=/(a>0,且。Hl)对应的图像如图所示，

lg(x),%<0

答案：D

解析：根据奇函数关于原点对称，补出负半轴图像，再根据图像翻折得到答案D

一2"+h

★★★例题3.定义域为R的函数AM=西工是奇函数.

(1)求岫的值.

(2)若对任意的reR,不等式，(产-〃)+/(2/_汴0恒成立，求左的取值范围.

答案：(1)«=2,h=\(2)3

/(x)=Z^1A〃0)=H=0

解析：(1)•二*+”是奇函数，2+a，解得6=1.

11

⑴二2+1-2+1--耳+1

从而有i+a,又由〃1)=-4-1)知777一不7,解得”=2.

小)=芈,+，

(2)由(1)知'2*222』，

由上式易知/("在(f，2)上为减函数，又因/("是奇函数，

从而不等式/心小心一卜。等价于/*2,卜一心

因f(X)是减函数，由上式推得r-2t>-^+kt

,k<-L

即对一切YR有3产从而判别式解得3.

★★☆练习1.已知f(x-)=-^-(a'-a-^(a>0,awl)。

Cl—1

(1)判断/(X)的奇偶性；

(2)讨论的单调性；

(3)当xw[-L1]时，»恒成立，求匕的取值范围。

答案：(1)奇函数(2)单调递增(3)(fT

解析：(1)函数定义域为R,关于原点对称，又以-x)=-f(x)

故/*)为奇函数

(2)当«>1时，。2-1>°，产出为增函数，产小为减函数,

从而产'为增函数，故/*)为增函数；

当0<"1时，/T<°，产优为减函数，尸小为增函数，

从而产为减函数，故/⑴为增函数。

综上，时，/⑶在定义域内单调递增。

(3)由⑵知/(*)在犬上为增函数，，在区间ER上为增函数。

../(-1)</«</(1),/(xU=/(-1)=-1

二要使/(x)泌在H』上恒成立，只需任一1

即。的取值范围为(FT.

【课后练习】

【巩固练习】

★☆☆1.求下列函数的定义域、值域.

y

(1)y=--；(2)y=4v-2'+l.

1+3

3

答案：(1)定义域为R；值域为(0,1)；(2)定义域为R;值域为［-,+<«).

4

解析：(1)分离常数(2)换元法

742

★☆☆2.已知。=45,b=23c=53,则a,b,e的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】C

7422

【解析】解：va=4^>43=64,8=2%（1,2）,c=53>5i>2,

又cv5，

故。>c>b.

故选：C.

★☆☆3.已知a=2%b=2°",c=（夕2,则“，b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【解析】解：•.•已知a=2°L6=2°",c=（；产=2七，而函数y=2*是R上的增函数，—1.2<0.2<0.4,

则c<a<by

故选：。.

★☆☆4.设函数“加十,若作)为奇函数’则不等式企曰的解集为()

A(0,l)8(—,ln3)C.(O,ln3)D.(0,2)

答案：C

解析：0不属于定义域，奇函数，(-幻=-/(%)。解得“=!"(x)=:(1+二二)

22(e—1)2e—1

★★☆5.定义在R上的奇函数/(x)与偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=2'-2,则函数〃(x)=g(x>2、的最

小值为.

_3

答案：2

解析：因为‘⑸+g(x)=2'_2,所以/(-x)+g(r)=2一'-2,又因为/(%)为奇函数g(x)为偶函数，

,、2"+2T八,71小\21

、/\r-rcg(x)=--------2h(x\x——x(2)—2x2H—、

所以-/(x)+g(x)=2-2,求得一2，所以<2>2,令，=x2/(，>o),

113

y=-t2-2t+--—

'22,当"2时取得最小值2

★☆☆6.7(x)为定义在R上的奇函数，当x2()时，fix)=2x+2x+b(b为常数),则/(-1)=.

答案-3

解析：略

★★☆7.设偶函数g(x)=在(0,+8)上单调递增，则g(a)与g(b-1)的大小关系是_______.

答案g(a)>g3—l)

解析：由偶函数得8=0,由增函数得。〉1,所以g(a)>g⑴，所以g(a)〉g(。-1)

★★☆8.若/。)=空当工是R上的奇函数，则实数。的值为/(x)的值域为.

2—1

答案1(-1,1)

?-12

解析由./•(())=()得。=1,/«=--=1---，值域为(-1,1).

2+12+1

★☆☆9.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数且当xZO时，/(©=-4+],则此函数的值域为

42

11

答案I'；,；]

44

解析：换元法求值域

【拔高练习】

★☆☆1.已知指数函数y=a\a>(),“H1)的图象过点(1g).

(/)求函数y=/。)的解析式；

(〃)若不等式满足/(2x+l)>l,求x的取值范围.

答案：(1)”=g…(2)卜》<一?

解：(I)因为指数函数y=a'(a>O，aHl)的图象过点(L?,

所以。弓…

所以指数函数的解析式为y=(》*.…

(H)由(I)得，f(2x+l)>l等价于g严>1…

因为函数y=(；)'在/?上单调递减，

所以2r+l<0,解得

综上，X的取值范围是“卜<一?.…

★★☆2.(2020・陕西安康•高一期末)定义在R上的函数/(幻满足/(x+D=2/(x)+l,当xe[0,l)时,

/。)=(2=1)(2匚2),若/(%)在+上的最小值为23,则〃=()

A.4B.5C.6D.7

答案：B

解析:①当xw[。,1)时，fix)=(2t-l)(2l-2)

=22x-3.2J+2=(2X-|)2-1,

­.-Q,x<l,.-.1,,2'<2,

当2"=g时，fMmin=-；；

②当〃=1,即xeU,2)时，有x-le[O,I],/(x-l)=(2r-'-1)2-1

t12

/(x)=2/(x-l)+l=2(2--1)+l,当2-=|时，,

③当〃=2,即x[2,3],有x—2e[0,1J,/(x-2)=(2-2-1)2-1,

f{x-1)=2/(x-2)+1=2(2'-2-^)2+,

3

f{x)=2/(x-1)+1=4(2--2--)2+2,

则2i=T时，/(x)取得最小值2；

同理可得当〃=3,即xe[3,4),/(x)的最小值为2x2+1=5,

当〃=4,即xel4,5),/(x)的最小值为2x5+1=11,

当〃=5,即XG[5,6),/(尤)的最小值为2x11+1=23.

★★★3.(2020•江苏扬州中学高一月考)已知/(%)=m(x—2间(x+m+3),g(x)=4'-2,若对任意

xeR,/(x)<0或g(x)<0,则枕的取值范围是()

B.f)J—。)D.0

答案：c

解析：因为g(x)=4”-2,当x<；时,g(x)<。恒成立，

当xN；时，g(^)>0,

又对任意xwR,/("<。或g(x)<。,

所以f(x)=加(x-2㈤(x+m+3)<0在x2；时恒成立，

则二次函数y=Mx-2M(x+m+3)图象开口只能向下，且与x轴交点都在(；，0)的左侧，

m<0

2，

2m<—

12

t