2025届新高考数学冲刺精准复习数列的综合应用

2025届新高考数学冲刺精准复习数列的综合应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】能用不等式及其他相关知识解决数列的综合问题，能在

具体情境中识别等差数列、等比数列.【考情概述】情境中的数列问题一般以选择题和填空题为主，难

度中等偏上；数列与不等式等知识的综合问题通常以解答题为主，

难度中等.

知识梳理本章数学思想（1）

函数与方程：对等差、等比数列建立关于首项、公差或公比等

“基本量”的方程或方程组，将所研究的问题归结为依托“基本量”求

解的问题.（2）

特殊与一般：根据数列的前几项，猜想、归纳出数列的通项公式

或前

n

项和公式，根据部分项的特征与性质归纳出数列一般项的特征与

性质.体会“归纳→猜想→验证”的数学方法.（3）

转化与化归：能通过构造辅助数列、运用化归与换元等方法，将

一般的数列问题转化为用等差数列、等比数列模型进行求解的问题；能

将与数列有关的运算求值问题转化为方程（组）的求解问题；能将有关

数列求和的问题转化为用倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项

相消法等方法求解的问题；能将数列的单调性问题转化为相邻项大小关

系的不等式的问题或函数的单调性问题.

常用结论1.判断：（1）

（RA选二P54小结5改编）设

a

，

b

为正数，则

a

，

b

的等差中项

不小于它们的等比中项.

（

√

）（2）

常数列既是等差数列又是等比数列.

（

✕

）

（4）

设数列{

an

}的前

n

项积为

Tn

，则

an

＝

√✕√✕回归课本2.（RA选二P24练习第4题改编）集合

A

＝{

m

｜

m

＝3

n

＋1，

n

∈N*，

且

m

＜100}中所有元素的和为（

D

）A.5050B.4753C.1716D.16163.（RA选二教参P84本章学业水平测试题第1题）1个蜂巢里有1只蜜蜂.

第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了

5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂都

归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为（

B

）A.55986B.46656C.216D.36DB4.（多选）设{

an

}为等比数列，{

bn

}为等差数列，且

b

1＝0.若数列{

cn

}

的前三项依次是1，1，2，且

cn

＝

an

＋

bn

，则下列结论正确的是

（

AD

）A.

an

＝2

n

－1B.

bn

＝

n

－1C.500是数列{

cn

}中的项D.数列{

cn

}的前10项和为978AD5.（RA选二教参P79目标检测设计第4题改编）记

Sn

为等差数列{

an

}的

前

n

项和，

S

9＝－

a

5.若

a

3＝4，则等差数列{

an

}的通项公式为

an

＝

⁠

；若

a

1＞0，则满足

Sn

≥

an

的

n

的最大值为

.

10

－2

n

10

考点一

等差数列与等比数列的综合问题例1设{

an

}是等差数列，其前

n

项和为

Sn

（

n

∈N*），{

bn

}是等比数

列，公比大于0，其前

n

项和为

Tn

（

n

∈N*）.已知

b

1＝1，

b

3＝

b

2＋2，

b

4＝

a

3＋

a

5，

b

5＝

a

4＋2

a

6.（1）

求

Sn

和

Tn

；

（2）

若

Sn

＋（

T

1＋

T

2＋

T

3＋…＋

Tn

）＝

an

＋4

bn

，求正整数

n

的值.

[对点训练]1.设等比数列{

an

}满足

a

1＋

a

2＝4，

a

3－

a

1＝8.（1）

求等比数列{

an

}的通项公式.解：（1）

设等比数列{

an

}的公比为

q

（

q

≠0）.由

a

1＋

a

2＝4，得

a

1＋

a

1

q

＝4①.由

a

3－

a

1＝8，得

a

1

q

2－

a

1＝8②.联立①②，解得

a

1＝1，

q

＝3.所以等比数列{

an

}的通项公式为

an

＝3

n

－1.（2）

记

Sn

为数列{log3

an

}的前

n

项和.若

Sm

＋

Sm

＋1＝

Sm

＋3，求

m

的值.

2.已知数列{

an

}是等差数列，其前

n

项和为

Sn

，

a

2＝2，

S

9＝45，数列

{

bn

}满足

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋…＋

anbn

＝（

n

－1）·2

n

＋1.（1）

求数列{

an

}，{

bn

}的通项公式；

（2）

对于数列{

an

}，{

bn

}，在

ak

与

ak

＋1之间插入

bk

个2（

k

∈N*），

组成一个新数列{

dn

}，求数列{

dn

}的前2023项和

T

2023.解：（2）

因为

an

＝

n

，所以在数列{

dn

}中，从项

a

1开始到项

ak

为止，

共有

k

＋20＋21＋…＋2

k

－2＝（

k

＋2

k

－1－1）项.当

k

＝11时，11＋210－

1＝1034＜2023；当

k

＝12时，12＋211－1＝2059＞2023.所以数列{

dn

}的

前2023项包括

a

1，

a

2，…，

a

11及2023－11＝2012（个）2.所以

T

2023＝

（1＋2＋…＋11）＋2012×2＝4090.考点二

数列与函数、不等式的综合

（1）

求数列{

an

}的通项公式；

总结提炼

1.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略（1）

已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性

质、图象研究数列问题.（2）

已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数

列的通项公式、前

n

项和公式、递推公式等对式子化简变形.注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函

数，在解决问题时要注意这一特殊性.2.数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式

的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的

不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为最值问题来解决.3.已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，点（

n

，

Sn

＋3）（

n

∈N*）在函数

y

＝3×2

x

的图象上，等比数列{

bn

}满足

bn

＋

bn

＋1＝

an

（

n

∈N*），其前

n

项和为

Tn

，则下列结论正确的是（

D

）A.

Sn

＝2

Tn

B.

Tn

＝2

bn

＋1C.

Tn

＞

an

D.

Tn

＜

bn

＋1D[对点训练]

（1）

Sn

＜2；

（1）

求{

an

}，{

bn

}的通项公式；

考点三

数列在实际问题中的应用例3（2023·湖南模考）在流行病学中，基本传染数

R

0是指在没有外力

介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人

数.

R

0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触

过程中传染的概率决定.对于

R

0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要

隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传

染数

R

0＝3，平均感染周期为7天（初始感染者传染

R

0个人为第一轮传

染，经过一个感染周期后这

R

0个人每人再传染

R

0个人为第二轮传

染……），则感染人数由1增加到1000大约需要的天数为（参考数据：

36＝729，45＝1024）（

B

）BA.35B.42C.49D.56总结提炼

解决具体情境中数列问题的步骤第一步：读懂题意，整理情境中的事情变化的过程；第二步：提取信息，用数学语言或数学关系表达事情发展变化的过

程；第三步：构建模型，依据提取的数学关系，构建等差数列或等比数列

或递推关系的模型；第四步：求解模型，利用数列的相关知识，求解相应问题，如求特定

项、通项公式、前

n

项和等.[对点训练]6.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂

成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个.按照此规律，6小时后

存活

个细胞，至少经过

小时后存活的细胞个数超过1000.65

10

（1）

设第

n

年该设备的维护费为

an

元，求数列{

an

}的通项公式.

7.某科技创新公司在第一年年初购买了一台设备，该设备的第1年的维

护费为20万元，从第2年到第6年，每年的维护费增加4万元，从第7年开

始，每年维护费为上一年的125％.

对接高考（2023·天津卷）已知{

an

}是等差数列，

a

2