2023年上海大同中学高二下期中数学试卷及答案

高中PAGE1高中2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过两点直线的倾斜角为，那么__________.2直线与直线平行，则__________.3.过点与半径最小的圆的方程为___________.4.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.5.若双曲线两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.6.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______.7.过点作直线与圆：相切，则直线的一般式方程是_________.8.设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.9.若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________10.从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________.11.直线与曲线的公共点的个数是___________．12.已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是__________（结果用表示）二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是（）A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆15.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（）A.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔B.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄C.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔D.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄16.已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为；②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则；③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是.其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个三､解答题（本题满分48分）17.已知的三个顶点，，.（1）求直线的方程；（2）求面积.18.已知圆经过，圆.（1）求圆的标准方程；（2）若圆与圆相切，求的值.19.已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值.20.已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，①求的取值范围；②若是关于轴对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.21.已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R．（1）求周长；（2）当垂直于x轴时，求直线的方程；（3）记与的面积分别为、，求的最大值．

2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过两点直线的倾斜角为，那么__________.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.【详解】依题意，直线的斜率，又，则，解得，所以.故答案为：12.直线与直线平行，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】法一：两直线平行，则；法二：两直线平行，，则,故答案为：.3.过点与半径最小的圆的方程为___________.【答案】【解析】【分析】由圆心到直线的距离d、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R最小，则需d最小，d最小是0,此时圆的圆心为AB的中点，圆的直径为AB，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C，圆的半径为R，圆心到直线AB的距离为d,则，由已知得，要使半径R最小，则需d最小，d最小是0，此时圆的圆心为AB的中点，圆的直径为AB，圆的方程是，即，故填：．【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题.4.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若双曲线两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.【答案】【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是，，再据，得出与的关系，代入渐近线方程即可．【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距，∴，，又，∴∴渐近线方程是，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题．6.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______.【答案】【解析】【分析】由椭圆方程为，可得椭圆的右焦点坐标为，由抛物线方程为可得其焦点为，由题意有，再求解即可.【详解】解：由椭圆方程为：，则，则椭圆的右焦点坐标为，又抛物线的焦点坐标为：，又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则，解得，故答案为.【点睛】本题考查了椭圆焦点坐标的求法及抛物线焦点坐标的求法，重点考查了运算能力，属基础题.7.过点作直线与圆：相切，则直线的一般式方程是_________.【答案】【解析】【分析】由题意判断直线的斜率存在，设直线的方程为：，化为一般式，再由圆心到直线的距离等于半径，即可解得.【详解】由题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，即.又直线与圆：相切，圆心，半径为，，化简得，.直线的一般式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8.设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.【答案】##【解析】【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得.【详解】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案：9.若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________【答案】【解析】【详解】试题分析：设弦两端点为，.因为是A,B的中点，所以，将A,B两点代入椭圆方程得，，两式相减得，整理得，即．考点：中点弦问题10.从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】设和过点的与两条渐近线的平行线方程，联立方程组求出交点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】设，过点分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点，则直线和的方程分别为和，由方程组，同理可知另一个交点为，则，则，设直线倾斜角为，则，可得，所以四边形的面积为.故答案为：.11.直线与曲线的公共点的个数是___________．【答案】3【解析】【详解】试题分析：当x≥0时，曲线的方程为当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．12.已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是__________（结果用表示）【答案】【解析】【分析】设，根据两点间距离公式表示，由直线倾斜角的大小得出，并结合向量共线的关系进行计算得出结果.【详解】设，，由点在双曲线上得，即.则，同理，，如图，由直线倾斜角为可知，，，，设，则，，，.故答案为：.二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为时的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案.【详解】两条直线的斜率分别是.当两条直线的夹角为时,则有：或.因此“”是“直线与直线的夹角为”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键.14.平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是（）A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆【答案】B【解析】【分析】由题意可知，动点到两个定点的距离的和为6,又两个定点的距离为6，即得结论.【详解】设点，动点满足，，又，，所以动点的轨迹是线段.故选：.【点睛】本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题.15.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（）A.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔B.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄C.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔D.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄【答案】A【解析】【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断.【详解】因为，，又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，因为，所以，即，即，所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.故选：A.16.已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为；②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则；③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是.其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】【分析】对于①②令，可得的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成.【详解】①由于，，令，，解得，所以“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为，故①正确；②由①得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则，故②错误；③由于，设，，所以点到原点的距离，当时，点到原点的距离取到最大值3，故③正确；④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为.所以.故④错误.故选：C.三､解答题（本题满分48分）17.已知的三个顶点，，.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程；（2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为，，所以，所以，化简可得.【小问2详解】点到直线的距离，，则.18.已知圆经过，圆.（1）求圆的标准方程；（2）若圆与圆相切，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可；（2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可.【小问1详解】设圆，因为圆过三点，则，所以，所以，即；【小问2详解】圆化为标准方程为，因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且，则有，解得.19.已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）设，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，则当时，当时，，所以20.已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，①求的取值范围；②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）（2）①；②证明见解析，【解析】【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出方程；（2）设直线，，联立直线与双曲线方程，消元、得到、及；①根据且得到方程组，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解.【小问1详解】由题意可得，所以双曲线的标准方程为；【小问2详解】设直线，联立消去整理可得，则，又，，①因直线与双曲线交于两支，所以且，即；②设，令，则，所以直线过定点.21.已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R．（1）求的周长；（2）当垂直于x轴时，求直线的方程；（3）记与的面积分别为、，求的最大值．【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义直接可以得出答案；（2）根据题意可得P，的坐标，进而得到直线的方程，与椭圆方程联立，可求得的坐标，进而得到直线的方程；（3）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将，的纵坐标用表示，进而可得，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值．【小问1详解】由椭圆的方程可得，可得，可得a＝