高中数学《命题》导学案

■,第一章常用逻辑用语

DIYIZHANG1.1命题及其关系

1.1.1命题

卜课前自主预习

3!基础导学

i.命题的概念

(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以也判断真假的陈述句.

f真命题：判断为国真的语句.

⑵分类〈

【假命题：判断为何假的语句.

2.命题的形式

在数学中，命题常写成“四若P，则屋'的形式.通常，我们把这种形式的

命题中的〃叫做因命题的条件,q叫做画命题的结论.

H知识拓展

1.理解命题的概念需要注意的三个方面

(1)并非任何语句都是命题，只有那些能判断真假的陈述句才是命题；

(2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题；

(3)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语

句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然看成命题.

2.全面掌握命题的形式

(1)“若p,则只是命题的一种形式，另外，“如果p,那么"只要p,

就有也是常见的命题形式；

(2)将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时，大前提应保持不变,

改写后仍作为大前提，不要写在条件p中；

(3)在命题形式改写前后，命题的真假性不发生变化；

(4)还有一些命题不能写成“若p,则/'的形式，如“某些三角形没有外接

圆”.

H自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)语句“陈述句都是命题”不是命题.()

(2)一个命题要么是真命题，要么是假命题，二者必居其一.()

(3)“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p,则形式的命

题.()

答案⑴义(2)7(3)7

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)下列语句是命题的是,其中是真命题的是(只填序号).

①1g0.01=-2；

②函数y=2x+l是一次函数；

③若。+人为偶数，则〃分别为偶数；

④好人一生平安！

(2)命题“8>10”是命题(填“真”或“假”).

(3)若a与b是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件是

，结论是.

答案⑴①②③①②⑵假(3)a与人是无理数乃是无理数

卜课堂互动探究

探究1命题的判断

例1判断下列语句是否是命题，并说明理由.

(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？

(2)x2+4A：+5>0(xeR)；

(3)JT+3x—2=0；

(4)一个数不是正数就是负数；

(5)4是集合｛1,2,3,4｝中的元素；

(6)求证y=sin2r的最小正周期为兀.

［解］(1)是疑问句，不是命题.

(2)是命题.因为当xGR时，f+4x+5=(x+2)2+l〉0恒成立，可判断真假,

所以是命题.

(3)不是命题.因为语句中含有变量x,在没给定x的值之前，无法判断语句

的真假，所以不是命题.

(4)是陈述句，且能判断真假，所以是命题.

(5)是陈述句，且能判断真假，所以是命题.

(6)是祈使句，不是命题.

拓展提升

判断一个语句是否是命题的三个关键点

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是

命题.

(2)含义模糊不清，无法判断真假的陈述句不是命题.

(3)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若

能，就是命题，若不能，就不是命题.

【跟踪训练1】判断下列语句中是不是命题，并说明理由.

(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列；

(2)函数在定义域上是减函数吗？

(3)一个整数不是质数就是合数；

(4)3必不是整数；

(5)若sina=sin/?(a,夕WR),则。=夕或a+4=兀；

(6)空间中与同一条直线平行的两条直线互相平行.

解(2)是疑问句，不是命题.

(1),(3)(4),(5),(6)都是陈述句，都可以判断真假，所以都是命题.

探究2命题的结构形式及真假判断

例2把下列命题改写成''若p,则的形式，判断命题的真假，并说明理

由.

⑴当时,a>b.

(2)在△ABC中，当A>60。时，必有sinA>坐；

(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；

(4)直线y=x与圆(x—iy+(y+l)2=l相切.

［解］⑴若居〉/,则a>。，假命题.例如，当“=-3,6=1时,〃*,但

a>b不成立.

(2)在△ABC中，若A〉60。，则sinA吟假命题.例如，当A=150。时，A>60。,

但siiL4=T，不满足sirt4>乎.

(3)若两个向量相等，则它们一定是共线向量，真命题.当两个向量相等时，

它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量.

(4)若直线的方程为>=*,圆的方程为。-1)2+。+1)2=1,则直线与圆相切,

假命题.圆心(1,一1)到直线>=*的距离为。=啦>1,所以直线与圆相离.

［条件探究］如果把例2(2)中“60。”改为“3”，“坐”改为“sinB"，怎样解答

呢？

提示用正弦定理和大角对大边判断命题的真假.

解在△ABC中，若A>8,则sinA>sinB,是真命题.理由如下：

在AABC中，因为A>3,所以a>。，由正弦定理得2Rsig>2RsinB(其中R是

△ABC外接圆的半径)，所以sin4>sinR

拓展提升

1.命题改写的相关策略

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁,

条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶

角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角"，结论为“这两个角相等”.

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还

要注意大前提的写法.例如，命题“在△ABC中，若a泌，则A>5”中，大前提

“在△A8C中”是必不可少的.

2.判断命题真假性的两个技巧

(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、

法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的

结论.

(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.

【跟踪训练2】把下列命题写成“若p,则/'的形式，并判断其真假.

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧.

解(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题

是真命题.

(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角

形.这个命题是假命题.

(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这

个命题是真命题.

(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，

且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.

探究3命题的应用

例3已知命题p：x2+〃zx+1=0有两个不等的负根，q：方程4x2+4("?—2)x

+l=0("?eR)无实根，求使p真且q真的m的取值范围.

J=n?2—4>0,

［解］若〃真，贝必八解得加>2；

,m>0,

若4为真，则/=16(〃?-2)2—16<0,解得1<相<3.

m>2,

p真且q真，即.故机的取值范围是(2,3).

［结论探究］若例3条件不变，而改求使p,q—真一假的机的取值范围呢？

」小甘K

m>2,

解若p真q假，贝叶.即机23；

或相与3,

〃W2,

若〃假(7真，则彳，.即1cmW2.

二使p,q一真一假的加的取值范围为(1,2］U［3,+°°).

拓展提升

(1)“若〃，则为真命题，即由p可以推出小根据题意建立相应的不等式

或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，构造运用性质、定理等的条

件.

(2)若已知命题是假命题，则命题的“对立面”就是真命题.如：①“mWT”

为假命题，则表明“机>—1”为真命题；②‘'对数函数y=log«r是增函数”是假

命题，则表明y=logaX是减函数，即0<。<1.

此种类型的题目往往是先假设所给的命题都是真命题，求出参数的取值范

围.若需求所给命题为假命题时参数的取值范围，则只需求出所给命题为真命题

时参数取值范围的补集即可.

【跟踪训练3】已知集合A={x|ax=l},B={x|x<0},若命题AClB=0是真

命题，试求实数。的取值范围.

解命题AAB=0是真命题，即AC8=0成立.

当a=0时，集合A=0,满足题意；

当aWO时，集合A=［x尤=：；,若AC8=0,贝弓20,解得a>0.

综上所述，实数。的取值范围为{。口20}.

I濒球加

1.判断一个语句是不是命题的一般步骤

(1)看语句的格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题，而疑问句、祈

使句、感叹句等都不是命题.

(2)看该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合

已学过的公理、定理，必须是明确的，不能模棱两可.

2.判断命题真假常用的方法

(1)直接法

数学中的定义、公理、公式、定理等都是真命题，可以依据它们判断一个命

题是否为真命题.

(2)举反例法

通过构造反例来否定一个命题的正确性，是判断一个命题为假命题的常用方

卜随堂达标自测

1.下列语句是命题的是()

A.今天天气真好啊！B.你怎么又没交作业？

C.x>2D.x>2

答案D

解析A是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B是问句，不能判

断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D

中x有范围，可以判断真假，因此是命题，且是假命题.

2.命题“同位角相等，两直线平行”的条件是,结论是

________.()

A.同位角相等两直线平行

B.两直线平行同位角相等

C.同位角平行

D.相等平行

答案A

解析该命题写成“如果……，那么……”的形式为“两条直线被第三条直

线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”.故命题的条件是“同位角相

等”，结论是“两直线平行”.

3.若M,N是两个集合，则下列命题中真命题是()

A.如果MUN,那么

B.如果MAN=N,那么M=N

C.如果那么MUN=M

D.如果MUN=N,那么

答案A

解析用集合的定义理解.

4.下列命题：

①y=/+3为偶函数；②0不是自然数；③{xWN|0a<12}是无限集；④如果

a-b=O,那么a=0或)=0.其中是假命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析①是真命题；②是假命题，因为0是自然数；③是假命题，因为{xe

N|0a<12}={l,2,…，11}是有限集；④是假命题，因为。山=0时，有。=0或5

=0或al.b.

5.将下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断其真假.

(1)正〃(〃23)边形的n个内角全相等；

(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除；

(3)方程%2—x+1=0有两个实根.

解(1)若〃(〃23)边形是正多边形，则它的〃个内角全相等.真命题.

(2)若一个整数的末位数字是。或5,则这个数能被5整除.真命题.

(3)若一个方程是f—x+lu。，则它有两个实数根.假命题.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人

王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是()

A.红豆生南国B.春来发几枝

C.愿君多采撷D.此物最相思

答案A

解析“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐

代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多

采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.

2.下列命题为假命题的是（）

A.Iog24=2

B.直线x=0的倾斜角是方

C.若a>b,则%；

D.若直线平面a,直线。_1_平面尸，则a〃尸

答案C

解析A,B,D正确，C错误.例如2>—2,但是l〉

2—2

3.下列命题中是真命题的是（）

A.若3dA,3dB,则AC6={3}

B.若f+x—Zn。，则X=1

C.若函数,外幻二%2—尤，则人x）有最小值一（

D.若log2X<1,贝x<2

答案C

解析A是假命题，{3}N（ACB）；

B是假命题，若r+x—2=0则x=1或一2；

C是真命题，,*X）=/—x=Q—J>—Hx）min=/g

D是假命题，logzx<1=Mog2X<log22=>0<x<2.

4.给出下列命题：

①且aWO时，必有方=c

②如a〃8时，必存在唯一实数见使

③a,b,c互不共线时，必与c不共线

④a与〃共线且c与b也共线时，贝Ia与c必共线

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析对于①，由a/=QC且得0（万一c）=0,未必有b=c；对于②,

若）=0时，不成立；对于③，如图△ABC中，E,尸分别为AB,AC的中点，

—>—>—►—>—>

AB=a,AC=b,则C8=AB—AC

—1—1

又因为即c=-'（a—5），故③不正确；

④若方=0时，a与c不一定共线.故选A.

5.已知机，〃是两条不同直线，a,尸，/是三个不同平面，下列命题中正确

的是（）

A.若"z〃a,〃〃a,则〃?〃〃

B.若a_Ly,4_L>,则a〃夕

C.若机〃a,m//P，则a〃夕

D.若m^La,/J_a,则m//n

答案D

解析若加〃a,n//a,则〃z,〃相交、平行、异面均可，A错误；若a_L7,

4_1_7,则a,夕可平行，也可相交，B错误；若机〃a,m///3,则a,夕可平行，

也可相交，C也错误；若〃_La,则加〃〃（线面垂直的性质定理）.故选D.

6.下列命题中假命题的个数为（）

--»--）

①多边形的外角和与边数有关；②在△ABC中，若A88c>0,则△ABC是锐

角三角形；③二次方程//+2x—1=0有两个不相等的实根；④函数兀v）在区间

[a,句内有零点,则刎处）<0.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析因为/=4+4/>0,故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.

二'填空题

7.下列语句是命题的有.

①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x,y都是无理数，则x+y

是无理数；④若直线/不在平面a内，则直线/与平面a平行；⑤60x+9>4；⑥

求证小是无理数.

答案①③④

解析根据命题的定义进行判断.因为②是疑问句，所以②不是命题；因为

⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句，所以不是命

题.故填①③④.

8.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数式X）=10g3X的图象与g（X）的图象关于原点对称，则g（X）=.

答案一10g3(—X)(X<O)

解析设g(x)上任意一点坐标为P(x,y),则点P关于原点的对称点坐标为

Pi(-x,—y),点Pi在函数_/U)=log3尤的图象上，将对称点Pi坐标直接代入7U),

即得g(x)=—log3(—x)(x<0).

9.对于△ABC,有如下命题：

①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形；

②若siiL4=cosB,则△ABC为直角三角形；

③若sin2A+sin2B+cos2C<l,则△ABC为钝角三角形.

其中正确命题的序号是.(把你认为所有正确的都填上)

答案③

JT

解析①若sin2A=sin23,则2A=28,或2A+28=兀，即A=B或C=],故

△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确；

②若sirb4=cosB,例如NA=100°和NB=10°,满足sinA=cosB,但△ABC

不是直角三角形，故②不正确；

22

③由sinM+sinfi+cosC<1可得sin21A+sin2jB<sin2C,

由正弦定理可得/+〃<廿，

再由余弦定理可得cosC<0,