平面汇交力系与平面力偶系课件

平面汇交力系合成与平衡的几何法

平面汇交力系合成与平衡的解析法平面力对点之矩的概念及计算平面力偶理论习题与思考题2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法

设如图2.1(a)所示为作用于任一刚体上的力F1、F2、F3、F4，它们的作用线交于点A，组成一平面汇交力系。由力的可传性，将各力沿其作用线移至汇交点A，如图2.1(b)所示。根据力的三角形法则，将各力依次合成，即从任意点a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，则虚线ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再从点c作矢量cd代表力矢F3，则ad表示FR1和F3的合力FR2；最后从点d作de代表力矢F4，则ae代表力矢FR2与F4的合力矢，亦即原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如图2.1(c)所示，其作用线通过汇交点A。实际作图时，不必画出虚线所示的中间合成力FR1和FR2，只需把各分力矢首尾相连，形成一个不封闭的多边形abcde，则第一个力矢F1的起点a向最后一个力矢F4的终点e作ae，即得合力矢FR。各分力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。这种求合力的几何作图法称为力多边形法则。由图2.1(d)可见，若改变各力矢的作图顺序，所得的力多边形的形状则不同，但是这并不影响最后所得的封闭边的大小和方向，即不会影响合成或简化的最终结果。但应注意，各分力矢必须首尾相连，环绕力多边形周边的同一方向，而合力矢则逆向封闭力多边形。图2.1平面汇交力系的几何合成

将上述方法推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线过力系的汇交点。可用矢量式表示为:2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

若力系中各力的作用线沿同一直线，则称此力系为共线力系。在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为:

(矢量和)2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法(代数和)

【例2.1】同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图2.2(a)所示，已知三钢索的拉力分别为：F1＝500N，F2＝1000N，F3＝2000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。图2.2合成钢索拉力解：(1)先确定力的比例尺如图2.2所示。(2)应用多边形法，将力F1、F2和F3首尾相接后，再从F1的起点a至F3的终点d连一直线，此封闭边ad即合力矢FR(见图2.2(b))。(3)用直尺和量角器即可确定合力矢FR的大小和方向：FR＝2840N，FR与F1的夹角为(与x轴夹角为)。最后将结果在原图中标出(见图2.2(a))

平面汇交力系的合成结果是一个合力。显然，如果力系处于平衡，则力系的合力必须等于零。反之，若合力等于零，则力系必处于平衡。故平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。即：在几何法中，平面汇交力系的合力是由力多边形的封闭边表示的。因此，要使合力等于零，则封闭边的长度必须为零，即力多边形的起点和终点重合，这种情况称为力多边形自行封闭。可见，平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。

求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后量得所要求的未知量；也可根据图形的几何关系用三角公式计算出所要求的未知量。二、平面汇交力系平衡的几何条件2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法【例2.2】水平梁AB的中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成角，支承情况如图2.3(a)所示。试求固定铰链支座A和活动铰链支座B各点所受的反力(梁的自重不计)。图2.3水平梁AB的受力分析解：(1)取梁AB为研究对象。(2)画受力图。作用在梁AB上的力有：主动力P；活动铰链支座B的反力FB，方向垂直于支承面；固定铰链支座A的反力FA，方向待定。现在梁AB只受三个力作用而平衡，故由三力平衡时的汇交定理知，FA的作用线必通过P和FB的交点D，如图2.3(b)所示。所得的力系是平面汇交力系。(3)应用平衡的几何条件画力P、FA和FB的闭合三角形。为此先画已知力P，然后从过力P的始端E和末端F分别作直线平行于FA和FB得交点G，于是得力三角形EFG，顺着E→F→G→E的方向标出箭头，使其首尾相连，则矢量和就分别表示力FA和FB的大小和方向(见图2.3(c))。(4)求得结果。由三角关系得(方向如图所示)一、力在直角坐标轴上的投影设力F作用于刚体上的A点(如图2.4所示)，在力F作用的平面内建立坐标系Oxy，由力F的起点A和终点B分别向x轴作垂线，得垂足a和b，这两条垂线在x轴上所截的线段再冠以相应的正负号，称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。力在坐标轴上的投影是代数量，其正负号规定：若由a到b的方向与x轴的正方向一致时，力的投影为正值，反之为负值。同理，从A和B分别向y轴作垂线，得垂足a‘和b’，求得力F在y轴上的投影Fy。设和分别表示力F与x、y轴正向的夹角，则由图2.4可得：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.4力在直角坐标轴上的投影

又由图2.4可知，力F可分解为两个分力Fx、Fy，其分力与投影有如下关系：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

故力F的解析表达式为

反之，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy，则该力的大小及方向余弦为

应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外，仅在直角坐标系中力在坐标轴上投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。一、平面汇交力系合成的解析法

设一平面汇交力系如图2.5所示，在由几何法所得的力多边形ABCDE的平面内建立直角坐标系Oxy，封闭边AE表示该力系合力矢FR，在力的多边形所在位置将所有的力矢都投影到x轴和y轴上。得：由图2.5可知：

ae=－ba+bc+cd+de即FRx=F1x+F2x+F3x+F4x同理FRy=F1y+F2y+F3y+F4y2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

FRx=ae，F1x=－ba，F2x=bc，F3x=cd，F4x=de图2.5解析法合成平面汇交力系将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

这就是合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。用解析法求平面汇交力系的合成时，首先在其所在的平面内选定坐标系Oxy。求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，由合力投影定理得：则合力矢的大小和方向余弦为：(2.8)2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

【例2.3】试用解析法重解例2.1。

解：建立如图2.6所示直角坐标系。根据合力投影定理，有：由式(2.9)得合力的大小方向为：

解得：图2.6解析法合成钢索拉力

(2.9)三、平面汇交力系平衡的解析条件

从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力FR等于零，即2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

要使上式成立，必须同时满足

上式表明，平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式(2.10)称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，因而可以求解两个未知量。(2.10)

【例2.4】起重架可借绕过滑轮B的绳索将重P＝20kN的重物匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮(如图2.7(a)所示)，滑轮B用AB和BC两杆支撑，设两杆的自重及滑轮B的大小、自重均不计。试求杆AB、BC所受的力。解：(1)取研究对象。杆AB和BC都是二力杆，假设均受拉力，如图2.7(c)所示。如将杆AB和BC作用于滑轮B的力求出，则两杆所受的力即可求出(互为作用力与反作用力)，同时重物的重力与绳索的拉力也都作用于滑轮上，故取滑轮连同销钉B为研究对象。(2)画受力图。重物通过绳索直接加在滑轮的一边。在其匀速上升时，拉力FT＝P，而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即FT‘＝FT。此外杆AB和BC对滑轮的约束力为FBA与FBC。因不计滑轮B的大小，故诸力组成一个平面汇交力系(见图2.7(b))。(3)列平衡方程。取坐标系Bxy如图2.7(b)所示，选取坐标轴。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.7起重架受力分析【例2.5】连杆机构CABD由三个无重杆铰接组成，在铰链A、B处有F1、F2作用，如图2.8(a)所示。该机构在图示位置，试求力F1与F2的关系。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

由①②

其中，P=FT=20kN，代入上列方程求得

FBA=54.64kN，FBC=－74.64kN

(4)关于解的讨论。图2.7(b)中待求力FBA和FBC的指向是假定的，当由平衡方程求得某一未知力之值为负时，表示原先假定的该力指向与实际方向相反。所以本题中FBC为负值，其实际指向与图示相反，即杆BC实际受压力；而杆AB则受拉力。

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

图2.8连杆机构受力分析解：这是一个物体系统的平衡问题。从整个机构来看，它受四个力F1、F2、FCA、FDB作用，不是平面汇交力系(图2.8(a))，所以不能取整体作为研究对象求解。要求解的未知力F1与F2分别作用于铰A、铰B上，铰A与铰B均受平面汇交力系的作用，所以应该通过分别研究铰A与铰B的平衡来确定F1与F2的关系。(1)取铰A为分离体。铰A除受未知力F1外，还受有二力杆AC和AB的约束反力FAB和FBA(均设为压力)，其受力图如图2.8(b)所示。因为与所求无直接关系的力FCA可不必求出，故选取x轴与FBA垂直。由平衡方程

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

(2)取铰B为分离体。其受力图如图2.8(c)所示(FDB设为压力)。选取x轴与反力FDB垂直，由平衡方程比较①、②两式，并注意到FAB=FBA，解得②

通过以上分析和求解过程可以看出，在求解平衡问题时，要恰当地选取分离体，恰当地选取坐标轴，以最简捷、合理的途径完成求解工作。尽量避免求解联立方程，以提高计算的工作效率。这些都是求解平衡问题所必须注意的。

2.3平面力对点之矩的概念及计算

一、力对点之矩(力矩)

力使物体绕某点转动的力学效应称为力对该点之矩，简称为力矩。以扳手旋转螺母为例(如图2.9(a)所示)，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，故一般用正负号表示转动方向。因此在平面问题中，力对点之矩定义如下：力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负号通常规定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。力对点之矩以符号Mo(F)表示，记为：图2.9用扳手拧螺母2.3平面力对点之矩的概念及计算

由图2.9(b)可见，力F对O点之矩的大小也可以用三角形OAB的面积的两倍来表示，即其中，为三角形OAB的面积，如图2.9(b)所示。显然，当力的作用线过矩心时，则它对矩心的力矩等于零；当力沿其作用线移动时，力对点之矩保持不变。力矩的单位常用牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)。二、合力矩定理在计算力系的合力矩时，常用到所谓的合力矩定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点之矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。即：

(2.13)(2.12)

按力系等效概念，上式易于理解，且式(2.13)应适用于任何有合力存在的力系。如图2.10所示，已知力F，作用点A(x，y)及其夹角。欲求力F对坐标原点之矩，可按式(2.13)，通过其分力Fx与Fy对O点之矩而得到，即：或2.3平面力对点之矩的概念及计算

(2.14)

若将式(2.14)代入式(2.13)，即可得合力FR对坐标原点之矩的解析表达式，即图2.10力F的力矩(2.15)【例2.6】试计算图2.11(a)中力F对A点之矩。解：可以用三种方法计算力F对A点之矩MA(F)。(1)由力矩的定义计算。先求力臂d。由图中几何关系有：所以：2.3平面力对点之矩的概念及计算

图2.11求力F对A点之矩(2)根据合力矩定理计算。将力F在C点分解为两个正交的分力Fx和Fy(如图2.11(a)所示)，则：

由合力矩定理可得(3)先将力F移至D点，再将F分解为两个正交的分力Fx

、Fy(如图2.11(b)所示)，其中Fx通过矩心A，力矩为零，由合力矩定理得2.3平面力对点之矩的概念及计算

综上可见，计算力矩常用下述两种方法：(1)直接计算力臂，由定义求力矩。(2)应用合力矩定理求力矩。此时应注意：①将一个力恰当地分解为两个相互垂直的分力，利用分力取矩，并注意取矩方向；②刚体上的力可沿其作用线移动，故力可在作用线上任一点分解，而具体选择哪一点，其原则是使分解后的两个分力取矩比较方便。一、力偶与力偶矩在日常生活和工程实际中，我们往往同时施加两个等值、反向而不共线的平行力来使物体转动。例如，汽车司机用双手转动方向盘(如图2.12(a)所示)、工人用扳手和丝锥攻螺纹(如图2.12(b)所示)、用两个手指拧动水龙头(如图2.12(c)所示)等。等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，如图2.13所示，记作(F，F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。2.4平面力偶理论图2.12方向盘、丝锥、水龙头受力示意图(a)

(b)

(c)

力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代，因此力偶无合力，也不能被一个力平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶对物体的作用效果是使物体转动。力偶对物体的转动效应可以用力偶矩来度量，即用力偶的两个力对其作用面内某点之矩的代数和来度量。如图2.13所示，力偶对O点之矩Mo(F，F'

)为2.4平面力偶理论

于是可得结论：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向，通常规定以逆时针转向为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩相同，也是或kNm。从几何上看，力偶矩在数值上等于△ABC面积的两倍(如图2.13所示)。

矩心O是任选的，可见力偶的作用效应决定于力的大小、力偶臂的长短以及力偶的转向，与矩心的位置无关。因此在平面问题中，将力偶中力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号称为力偶矩，记为M(F，F')或简记为M。图2.13力偶

由于力偶对物体只能产生转动效应，而该转动效应是用力偶矩来度量的。因此可得如下的力偶等效定理。定理：作用在刚体上同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。

由这一定理可得关于平面力偶性质的两个推论：(1)力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效果。换句话说，力偶对刚体的作用与它在作用面内的位置无关，如图2.14(a)、(b)所示。2.4平面力偶理论二、力偶的等效定理图2.14力偶移转和力偶臂长度变化与力偶矩(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短时，而不改变力偶对刚体的作用，如图2.14(c)、(d)所示。由此可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短都不是力偶的特征量，力偶矩才是力偶作用效果的唯一度量。因此，常用图2.14(e)所示的符号表示力偶，其中M表示力偶矩的大小，带箭头的圆弧表示力偶的转向。由作用在物体同一平面内的若干力偶组成的力系称为平面力偶系。平面力偶系也是一种基本力系。2.4平面力偶理论三、平面力偶系的合成

设在刚体的同一平面内作用有两个力偶M1和M2，M1＝F1d1，M2＝F2d2，如图2.15(a)所示，求它们的合成结果。根据上述力偶的性质，在力偶作用面内任取一线段AB=d，将这两个力偶都等效地变换为以d为力偶臂的新力偶(F3，F3'

)和(F4，F4'

)，经变换后力偶中的力可由F3d=F1d1=M1，F4d=F2d2=M2算出。然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系(如图2.15(b)所示)。将这两个共线力系分别合成(设F3＞F4)，得：

2.4平面力偶理论图2.15平面力偶系的合成

可见，力F与F'等值、反向、作用线平行而不共线，构成了与原力偶系等效的合力偶(F，F')，如图2.15(c)所示。以M表示此合力偶的矩，得2.4平面力偶理论

如果有两个以上的平面力偶，可以按照上述方法合成。即平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各个力偶矩的代数和，可写为(2.17)

四、平面力偶系的平衡条件

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。即(2.18)

平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。【例2.7】电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图2.16所示。此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩M＝2.5kNm。试求每个螺栓所受的力。2.4平面力偶理论图2.16联轴器

解：(1)取联轴器为研究对象。(2)画受力图。作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图2.16所示。因为主动力为一力偶，平衡时螺栓的反力必构成反力偶。设4个螺栓的受力均匀，即F1=F2=F3=F4=F，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。(3)列平衡方程并求解。由解得

【例2.8】在图2.16(a)所示的结构中，各构件的自重忽略不计，在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶。求支座A和C处的约束反力。

2.4平面力偶理论图2.17曲连杆机构受力分析解：(1)取AB杆为研究对象。(2)画受力图。作用于AB杆的是一个主动力偶，A、C两点的约束反力也必然组成一个力偶才能与主动力偶平衡。由于BC杆是二力杆，FC必沿B、C两点的连线(如图2.17(c)所示)，而FA应与FC平行，且有FA＝FC(如图2.17(b)所示)。(3)列平衡方程。其中则一、思考题

1.图2.18所示的平面汇交力系的各力多边形，各代表什么意义？

2.5习题及思考题

(a)(a)

(b)

(c)

(d)

图2.18力多边形2.力F沿轴Ox，Oy的分力与力在两轴上的投影有何区别？试分别以图2.19(a)，2.19(b)所示的两种情况为例进行分析说明。或F=Fxi+Fyj对图(a)，(b)都成立吗？3.两电线杆之间的电线总是下垂，能否将电线拉成直线？输电线跨度l相同时，电线下垂h越小，电线越易于拉断，为什么？4.由力的解析表达式F=Fxi+Fyj能确定力的大小和方向吗？能确定力的作用线(点)的位置吗？5.三个力汇交于一点，但不共面，这三个力能互相平衡吗？6.力矩和力偶矩有什么相同？又有什么区别？7.一矩形钢板放在水平地面上，其边长a

=3m，b

=2m如图2.20所示。按图示方向加力，转动钢板需要P

=P'

=250N。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求这个最小力的大小。图2.19力F的投影2.5习题及思考题

8.如图2.21所示中四个力作用在刚体的A、B、C、D四点(ABCD为一矩形)，这四个力的力矢恰好首尾相接，此刚体是否平衡？若F1和F'1都改变方向，此刚体是否平衡？图2.20转动钢板图2.21刚体上的作用力

9.力偶不能与一力平衡，那么如何解释如图2.22所示的平衡现象？10.四连杆机构如图2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩为M1，作用于摇杆O2B的力偶矩为M2，若M1=－M2，此四连杆机构是否平衡？2.5习题及思考题

11.在如图2.24所示的各图中，力或力偶对点A的矩都相等，它们引起的支座反力是否相同？图2.22力偶平衡图2.23四连杆机构图2.24支座反力10.四连杆机构如图2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩为M1，作用于摇杆O2B的力偶矩为M2，若M1=－M2，此四连杆机构是否平衡？2.5习题及思考题

1.三个力的力矢起点都为点(3，3)，三力作用线分别经过下列各点：力126N经过点(8，6)，力183N经过点(2，－5)，力269N经过点(－6，3)。求力系的合力。2.如图2.25所示，一钢结构节点，在沿OA、OB、OC的方向受到三个力的作用，已知F1=1kN，F2=1.41kN，F3=2kN，试求这三个力的合力。3.如图2.26所示，圆柱形容器搁在两个滚子上，滚子A和B处于同一水平线。已知容器重G=30kN，半径R=500mm，滚子半径r=50mm，两滚子中心距离l=750mm。试求滚子A和B所受的压力。2.5习题及思考题

二、习题图2.25钢结构节点图2.25钢结构节点

4.飞机沿与水平线成θ角的直线作匀速飞行，已知发动机的推力为F1，飞机的重力为P，求如图2.27所示中飞机的升力F2和迎面阻力Q的大小。5.如图2.28所示，输电线ACB架在两电线杆之间，形成一下垂曲线，下垂距离CD=f=1m，两电线杆间距离AB=40m。电线ACB段重P=400N，可近似认为沿AB连线均匀分布。求电线的中点和两端的压力。6.绳子一端A固定在墙上，另一端跨过滑轮B并在末端悬挂重为W的物体，在绳中间有动滑轮C吊起另一重物Q=100N，如图2.29所示。已知平衡时，h=0.5m，l=2.4m。试求物体重量W是多少？7.简易起重机如图2.30所示，A、B和C为光滑铰链，物体重力P=20kN，由绞车D通过滑轮B吊起，若不计杆重、摩擦和滑轮大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。2.5习题及思考题

2.5习题及思考题

图2.27飞机升力和阻力图2.28求电线压力

图2.29滑轮悬物平衡

图2.30简易起重机

8.在如图2.31所示的压榨机BAC中，铰链B固定不动。作用在铰链A处的水平力P使压块C压紧物体D。假设压块C与墙壁间以及压块C与物体D之间均是光滑接触，压榨机尺寸h和l如图2.32所示，压块C和各杆自重均不计。试求物体D所受的力。9.液压式夹紧机构如图2.32所示，D为固定铰链，B，C，E为活动铰链。已知力F，机构平衡时角度如图2.32所示，各构件自重不计，求此时工件H所受的压紧力。2.5习题及思考题

图2.31压榨机图2.32