2023年第一学期《数学建模》试题卷及答案

2023-2023第一学期《数学建模》选修课试题卷姓名：学号：成绩：10页10页5分，共15分)模型模型是所争论的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只依据试验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或试验或铸造机器零件等用的模子。数学模型当一个数学构造作为某种形式语言〔既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合〕解释时，这个数学构造就称为数学模型。抽象模型二、简答题〔每题总分值8分，共24分〕模型的分类依据模型替代原型的方式，模型可以简洁分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子构造模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。数学建模的根本步骤种必要的信息。模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，无视问题的次要方面。把问题化为数学问题。模型求解：利用的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。果是否稳定。模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际状况进展比较看是否符合实际；模型应用：所建立的模型必需在实际中才能产生效益。数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们承受科学治理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。三、解答题〔总分值20分〕F题(9n+5,9n+1)某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540AB为$540万.经过相当一段时期业务状况,觉察每过一周,各公司的支付基金在流通A10％BBA,A$260,B司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?假设金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作特地调动来避开这种情形?解：设此后第KABAk单位：万美元)，那么此刻有：Ak+1=0.9Ak+0.12BkBk+1=0.1AK+0.88Bkk=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280AkBk112〔单位：万美元〕BAkBkBk200？利用线性代数的学问将差分方程组写成矩阵的形式Ak+10.90.12AkBk+1=0.10.88Bk其中A0260B0= 280 是初始值，利用矩阵对角化方法可以求解。.四、综合题〔21分〕M.(7n+3,7n+5,7n+6)度为hO飞机的水平速度始终保持为常数u.出于安全考虑，1飞机垂直加速度的最大确定值不得超过g10

g1.s处开头降落，试确定出飞机的降落曲线.2.s所能允许的最小值.答：论文题目；飞机着陆问题论文摘要〔不得超过300字：飞机着陆问题是争论飞机在降落时的关键问题，这关系着飞机上乘客的安全问题，故而为削减飞机降落期间的问题，从而提出此论文。关键词〔不得少于三个：飞机着陆问题，垂直速度，水平速度，飞行距离论文正文：问题提出；如今飞机已经成了人们日常旅行的交通工具之一，所以需要解决飞机的安全着陆，那么怎样才能安全呢？问题分析4个隐蔽的假定条件，因此我承受三次抛物线〔方程假设如下〕来模拟飞机的降落曲线模型假设〔0〕=0，f〔0〕=0；〔l〕=h，f〔l〕=0；远小于重力加速度。模型设计：设飞机开头降落时距离落点的水平距离为l k机高为h(m〔场的地面高度取作0。飞机在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；模型的解法与结果假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：依据上述所得到的条件求出方程中的四个待定系数abcd运行环境下输入如下公式：输入：f=a*x^3+b*x^2+c*x+dD[f,x]输出： 即为f(x)f’(x)输入：运行后得到如下解：把上述解代入f〔x〕，则运算后即可得到f〔x〕的表达式如下：2hf〔x〕=-l3

3hlx3 + x2l2代入具体数据进展验证并画出飞机的降落曲线15km，在Mathmatica运行环境下输入：争论飞机降落时的铅直加速度先争论飞机铅直加速度应满足的条件：求导法，可求出飞机在点〔x，y〕处的铅直速度为：dydy*dxuf”(x)dx dx dt我们以v

运行环境下输入：yv[x]uD[f,x]y

v[x]u(y

l2

6hx2)l3〔x，y〕处的铅直加速度如下：d2y

ddy

”x*dx

dt2

dtdt dx dt〔x，y〕处的铅直加速度：a[x]u*D[u(y

l2

6hx2l3

),x]输出：a

[x]u2(6hy l2

12hx )l3模型的优缺点及改进的方向:飞机降落问题的主要在于分析其水平速度和垂直速度，在考虑风速的状况下最好的计算出其降落的条件，距离。参考文献数学建模案例精选朱道元等编著北京：科学出版社，2023五、复述题〔21分〕R.(3n+2〕模型假设：对椅子和地面应当做一些必要的假设：形。地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会消灭连续〔没有像台阶那样的状况〕，即地面可视为数学上的连续曲面。对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。假设1明显是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，由于假设地面高3是要排解这样的状况：地面上与椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，消灭深沟或凸峰〔即连续变化的〕，致使三只脚无法同时着地。模型构成:中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。首先要用变量表示椅子的位置。留意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点、正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的转变，于是可以用旋转角度这一变量表1-1ABCDACX轴重合，椅θABCDA’B’C’D’的位置，所以对对角线ACxθ表示椅子的位置。θ的函数。虽然椅子有四个脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两A、Cf〔θ〕，B、D两脚与地面之和为2，fg3，椅子在θ，f〔θ〕g〔θ〕中至少有一个、f(θ)>0.这样，转变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：f〔θ〕和g〔θ〕是θ的连续函数，对于任意θ，f〔θ〕*g〔θ〕=0，且g〔0〕=0，f〔0〕>0.则存在θ0，使f〔θ0〕=g〔θ0〕=0.θf〔θ〕、g〔θ〕，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简洁、准确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。模型求解：上述命题有多种证明方法，这里介绍其中的一中90°〔π/2〕，ACBDg〔0〕=0f〔0〕>0可知g〔π/2〕>0f〔π/2〕=0.h〔θ〕=f〔θ〕-g〔θ〕.h〔θ〕>0h〔π/2〕<0.fgh也是连续函数.θ0〔0<θ0<π/2〕h〔θ0〕=0，即f〔θ0〕=g〔θ0〕=0.由于这个实际问题格外的简洁和直观，模型的解释和验证就略去了。J-S试题分以下几局部完成论文题目；论文摘要〔不得超过300字〕关键词〔不得少于三个〕论文正文：问题提出〔按你的理解对所给题目做更清楚的表述；问题分析〔型；模型假设〔有些假设须作必要的解释；模型设计〔对消灭的数学符号必需有明确的定义