高中数学-圆锥曲线试题(含答案)

高考圆锥曲线试题精选

一、选择题：（每小题5分，计50分）

22

1、（2008海南、宁夏文）双曲线★一耳"=1的焦距为（）

A.3应B.4夜C.3逐D.4G

T2

2.（2004全国卷I文、理）椭圆一+/=1的两个焦点为Fi、F2.过FI作垂直于X轴的

4

直线与椭圆相交，一个交点为P，则|理|=（）

6/T7

A.—B.v3C.-D.4

22

3.（2006辽宁文）方程2/-5工+2=0的两个根可分别作为（）

A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率

C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率

4.（2006四川文、理）直线y=x-3与抛物线V=4x交于A、B两点，过A、B两点向

抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为（）

（A）48.（B）56（C）64（D）72.

22

5.（2007福建理）以双曲线^--上=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）

916

:

A-10x+9=0B.s+y--10x4-16=0

C.x：+y：+10x+16=gD.x-+y-+10x+9=C

6.（2004全国卷IV理）已知椭圆的中心在原点，离心率e=,，且它的一个焦点与抛物线

2

y2=_4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）

2222o7

XyXV2121

A.---F--=IB.----1----=IC.----Fy=ID.---Fy=I

438624

7.（2005湖北文、理）双曲线二-二=l（"加HO）离心率为2,有一个焦点与抛物线=4x的

mn

焦点重合，则me的值为（）

x216y2

8.（2008重庆文）若双曲线-----4=1的左焦点在抛物线y?=2px的准线上，则p的值为（

3p-

（A）2（B）3（C）4（D）4也

2222

9.（2002北京文）已知椭圆”1+J=1和双曲线工■-当=1有公共的焦点，那么

3/5n-2m23n2

双曲线的渐近线方程是（）

“4屈4屈c4•行

A.x=±---yBD.V=±----XC,x=±——yD.V=±——X

2244

10.（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程—+2=1与℃+=0（4>/>>0）的曲

线大致是（）

二、填空题：（每小

题5分，计20分）

11.（2005上海文）D

若椭圆长轴长与短

轴长之比为2,它的一个焦点是（2后,0）,则椭圆的标准方程是.

12.（2008江西文）已知双曲线=一4=1（0＞0/＞0）的两条渐近线方程为y^±—x,

ab3

若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.

22

13.（2007上海文）以双曲线上--？一=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的

45

抛物线方程是.

14.（2008天津理）已知圆C的圆心与抛物线V=4%的焦点关于直线y=x对称.直线

4x—3y—2=0与圆C相交于A,B两点,且1Aq=6，则圆C的方程为.

三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）

22

15.（2006北乐文）椭圆C:—+表"=1（。＞。＞0）的两个焦点为F„R,点P在椭圆C上，且

414

PFt1FtF2,\PFt|=-,|PF2|=y.（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线/过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线/

的方程..

16.（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（6,0）

（1）求双曲线C的方程；（2）若直线/:y=Zx+正与双曲线C恒有两个不同的

交点A和B,且5晨方＞2（其中。为原点）.求k的取值范围.

17.（2007安徽文）设尸是抛物线的焦点.

（1）过点尸（0,-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（II）设4、8为抛物线G上异于原点的两点，且满意豆.丽=0,延长4尺跖分别交抛物线G于点

C,D,求四边形4腼面积的最小值.

18.（2008辽宁文）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0,-百），（0,百）的距离之和等于

4,设点P的轨迹为C.（I）写出C的方程；

（□）设直线y=Ax+l与C交于48两点.k为何值时。AJ.08?此时网的值是多少？

19.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2-^=l上的两点，点N（l,2）是线段AB的中点

（1）求直线AB的方程；

（2）假如线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什

么？

20.（2007福建理）如图，已知点F（1,0）,直线I:x=-l,P为平面上的动点，过P作直线I的

垂线，垂足为点Q，且丽,•丽=万而。⑴求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线I于点M,,v

已知MA=；.；AF，求的值。

“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）

一、选择题：（每小题5分，计50分）

题号12345678910

答案DCAAAAACDA

二、填空题：（每小题5分，计20分）

11.—+^-=1；12.工-空=1.13./-12%.14,x2+（y-l）2^10.

802044-------------------------

三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）

15..解：（I）因为点P在椭圆C上，所以2a=|「耳|+归闾=6,a=3.

在RtAPFR中，|片尸21=北桃『-阀广=2后,故椭圆的半焦距c=右，

22

从而分=/一/=4,所以椭圆C的方程为j+J=：L

94

（II）解法一:设A,B的坐标分别为（xi,yD、（X2,y2）•

已知圆的方程为（x+2）2+（y-l）2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1）.

从而可设直线/的方程为y=k(x+2)+l,

代入椭圆C的方程得(4+9A2)x2+(36/c2+18k)x+36k2+36k-27=0.

X+X

斗丁上er,.।l2IS/：2+9Z4

因为4,B关于点M对称.，所以」----=----------=-2.

24+9d

QQ

解得&=］,所以直线/的方程为y=］（x+2）+1,

即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）

（II）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y-l）2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1）.

设A,8的坐标分别为（xi,yi）,（X2,yz）.由题意X1HX2且

2222

…=1，①事”②

由①-②得（-f），+%）+（%-%）（%+必）=o③

94

因为A、B关于点M对称，所以Xi+X2=—4,力+丫2:2,

代入③得之二"■=§,即直线/的斜率为所以直线/的方程为丫-1=9（x+2）,

占一々999

即8x—9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）

22

16.解：（I）设双曲线方程x为二一y彳二1（。>0,人>0）.

ab

2

由己知得。=JIc=2,再由+〃=2、得〃=1.故双曲线C的方程为鼻■—/=1.

2

22

（II）将y=代入?一>2=1得（］-3k）x-6V2^-9=0.

l-3k2/0,

由直线/与双曲线交于不同的两点得4广

A=（6y/2k）2+36（1-3:2）=36（1-A:?）>0.

即％2*!且炉<].①

3

6以-9

设44，%），仇4，兀），则XA+X&=l-3k2，XaXb-1—3/

由。4OB>2得以4+yAya>2,

2

而*内8+yAyB=xAxB+(%4+^2)(kxB+V2)=(k+l)x4xfl+近k(x人+)+2

八-9信，6叵kc31+7

=u/j22+1)-------+Y2k--+2=-z-.

l-3)t721—313k1

四上2>2,即-3>+9>o,解此不等式得l<r<3.②

342—13A:2-13

由①、②得-<Zr2<1.

3

故k的取值范围为（一1,一千）口（三』）.

17.解：（I）设切点Q（x0,今）.由），=5，知抛物线在Q点处的切线斜率为自，

2,2

故所求切线方程为^一£=/。一%）,即y=/x—字.

2

因为点P（0,-4）在切线上，所以一4=一手,4=16,/=±4.所以切线方程为丫=±2『4.

（11）设4（不，%）,。*2，乃）.由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k>0.

因直线AC过焦点F（0,1）,所以直线4c的方程为y=kx+l.

\y=kx+\,.

点A,C的坐标满意方程组《，消去y,得――4kx-4=0,

[x-=4%

—_+x,=4k,

由根与系数的关系知《12

[x}x2—-4.

-4)2+(y-%)2=Jl+TJ(X|+w)2-4X]%2=4(1+k2).

因为AC，8。，所以BO的斜率为从而8。的方程y=」x+l.

同理可求得忸£>|=4(1+(-；)2)=

SABCO=||^C||BD|==8(^+2+-1)>32.

乙KK

当k=l时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.

18.解：(I)设P(x,y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,—g),(0,行)为焦点,

长半轴为2的椭圆.它的短半轴8=厅乙帚'=1,故曲线C的方程为f+?=l.

L+£=1

(II)设4如必)，BQ2,y2),其坐标满意4-

[y=kx+\.

2k

消去y并整理得(公+4)/+2丘一3=0,故%+々=一产一,%3•

kL+4F+4

OA±OB,即％入2+,必=0.而%%=22%%2++々)+1，

3J三

于是7

K十4A~+4Ar+4k+4

所以左=±；时，xxx2+y1y2=0,故OA_LO3.

1412

当女=±]时，王+冗2=孑行，x\x2=_py

17

22

\AB\=\l(x2-x])+(y2-yi)=J(1+/2)(”X])2,

3

-T-.\2/\2A4".4x34X13

而((入2-九i)=(x+x\)-4XjX=—y+4x-^-

22172

所以|A用=*L

19.解：(1)依题意，可设直线方程为y=k(x—1)+2

2

代入x‘一]=1,整理得(2—k)X2—2k(2—k)x—(2—k)2—2=0①

9b(9—1,)

记A(xi,yJ,B(X2,y，，则也、X2是方程①的两个不同的实数根，所以2—1?」0,且x】+x2=

由N(l,2)是AB中点得g(xi+x2)=1

k(2—k)=2—k)解得k=l,所易知AB的方程为y=x+l.

(2)将k=l代入方程①得x?-2x—3=0,解出xi=-1,X2=3,由y=x+l得yi=0,y?=4

即A、B的坐标分别为(一1,0)和(3,4)

由CD垂直平分AB,得直线CD的方程为y=—(X—1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程，整理,

得X2+6X-11=0②

记C(X3,y3),D(X4,yJ,以及CD中点为M(x。,y°),则X3、1是方程②的两个的实数根,所以

==

X3-FX.I­6,X3X，i=-11,从而Xo=5(X3+x《)=-3,yo3-x0=6

2

ICDI=yj(X3—x)；+(y：,—y>=(2(XLx>—y/21(x:1+x4)—4x：tx-i-4y/10

22