高中数学 向量（上）

第十三讲向量

©本讲概述

向量问题一般在联赛一试中以填空题的形式出现，其难度略高于高考，题目小巧灵活.对参加联赛的

同学来说，这是一道必拿分的问题.此外，利用向量方法来证明平几问题也是一种重要的方法，最典型的

是，2001年联赛二试第一道的平几问题（见例8）,当年很少有同学做出.但是，用向量方法来处理，问题

就显得简单多了.

首先我们给出向量方面的一些基础知识：

1.向量的有关概念

⑴向量

既有大小又有方向的量叫做向量.始点为A终点为8的向量记做通.在不计始点终点的情况下，也

可以记做a（或小写的黑体字母a）.

⑵向量的模

向量A月的大小，即线段他的长度叫做向量的模，记作|印方|.

⑶相等的向量

若两个向量具有相同的模和方向（始点与终点不必相同），则它们相等.

⑷特殊的向量

模为1的向量叫做单位向量；模为o的向量叫做零向量，零向量记为0,是惟一的方向不确定的向量;

设尸是坐标平面内任意一点，O是坐标系的原点，则向量。户叫做产的位置向量.

2.向量的运算

⑴向量的加减法

向量的加法可以按平行四边形法则进行，也可以按三角形法则进行.向量的减法一般按三角形法则进

实数m与向量a的乘积，〃。是一个向量，它的模为|"?。|=|"小|"|.当加＞0时，〃口与a同向；当切=0

时，ma的方向不确定；当时，，与。反向.特别地，如果aH。，则-La就是和。同方向的单位向

\a\

量，（-l）a=-a叫做。的反向量.-a与a互为反向量.

⑶向量的数量积

两个向量£、万的数量积（或者称为点积或内积）定义为£4=|£|•⑻泣,耳，其中表示向量

£和向量B之间正方向的夹角.向量的数量积和物理中力做的功与力、位移的关系是一致的.特别的，

―2-•一一

a=a-a=\a\.

⑷向量的向量积

两个向量3、5的向量积（或者称为叉积或外积）定义为日*5=|£|•历|6出（£石）仄，其中［是一个同时

垂直于£和区的单位向量，且E、£、B之间遵循右手法则）.向量的向量积的模（|£x5|）的几何意义为以

£、B为邻边的平行四边形的面积.

⑸向量的混合积

三个向量£、E、2的混合积定义为（£x到4.向量的混合积的几何意义为其运算结果是以£、B、c

为相邻的棱形成的平行六面体的体积.

3.平面向量的坐标表示

设在基底,I，e?)下，对在卜］,«2)所确定的平面上，向量a可以分解为a=x-q+y-e?.此时，向量a即

坐标(X,)，)确定的点P的位置向量。户，从而可以用坐标(x,y)表示向量入特别的，如果(3,公)是正交基

底，即4.与最是垂直的，那么它们可以构成平面直角坐标系.空间向量也有对应的坐标表示，我们将在学

习空间解析几何初步的时候进一步地认识该类向量.

4.平面向量的坐标表示下的数量积

如果向量£的坐标表示为(X1,yj，向量B的坐标表示为(々。2)，则£/=(',%>(%,%)=中2+乂%.

5.向量运算的基本性质

⑴加法满足交换律、结合律，即有a+B=B+”，a+伍+c)=(a+B)+c；

⑵数乘满足分配律，A^a+bj=Aa+Ab,(A+//)a=Aa+pa,；

⑶数量积满足交换律和分配律，ah=b-a,(Aa)-b=2(a-b),(b+c)-a=b-a+c-a；

(4)夕卜积满足以下规律，axb=-bxa,axa=0,ax(h+c)=axh+axc,ax(hxc)=(a-c)b—(a-b)c.

思考:(a+b)-(c+d)=a-c+a-d+b-c+b-d是否成立？(eB)・c=a-(5-c)是否成立？

6.几个重要结论

⑴不共线的四点A、B、C、。组成平行四边形的充要条件是4月=而或A月=-8.

⑵两个向量入B共线(或称线形相关)的充要条件是存在不全为零的两个实数加、”，使根£+川=0,

若两个向量a、B不共线，S.ma+nb=6,则〃z=〃=0.

⑶两个向量£、B共线的充要条件是£-坂=±|£|•防I(或£xB=6).

⑷两个向量”、〃垂直的充要条件是“•〃=().

7.用向量法解决平面几何问题

向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形相辅地用代数方法研究几何问题，即把几何代数

化.由于可以通过建立坐标系研究向量，所以解析几何方法从本质上是一种特殊的向量方法.作为处理几

何问题的一种工具，向量方法兼有儿何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性.

⑴使用向量的第一步，是要在图中选定基底.一旦确定了基础向量，在整个问题的解决过程以此为依据而

进行计算.

⑵在确定点的位置时，经常用向量的线形关系(这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中)来解决.

⑶在处理垂直关系、长度关系以及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决.

8.向量形式的三角形四心性质以及判定定理

G是A4BC的重心oGA+GB+GC=6；

，是A48C的垂心。HAHB=HBHC=HCHA；

O是AABC的外心<=>0A=OB=0C：；

/是A48C的内心m-晅国-.匕曰(马-卫］.

［\AB\\AC\)\BC\)(|CA|\CB\)

补充性质定理：

重心：对任意点P,PG=^(PA+PB+PC);

垂心：对非直角三角形情形有tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=6；

外心：sm2AOA+sin2BOB+sm2COC=6;

内心：sinA-OA+sinB-OB+sinC-OC=6或a♦OA+b-OB+c-OC=0.

欧拉定理的引理：若O是AABC的外心，H是AABC的垂心则+0月+OC.

欧拉定理：若O是AABC的外心，，是AABC的垂心，G是AABC的重心则历=1两

3

©例题精讲

【例1】点。为A4BC的外心，连B0延长交外接圆于点D.

⑴用茄、无表示皮;

⑵若高AF、CG交于点H,试用而、08>6?表示西.

⑶证明欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心三点共线（欧

拉线），且重心到垂心的距离是重心

到外心距离的2倍

【例2】用向量的方法证明三角形的三条高交于一点.

已知：&4BC中，AD.BE、CF分别为边BC、CA、AB上的高.

求证：AD.BE、C尸交于一点.

【例3】设。是A4BC的外接圆圆心，力是边AB的中点，E是A4C£>的中线的交

点，证明：如果AB=AC,则0E_LCD

【例4】求所有的正实数对m8满足的关系，使得存在直角ACDE及

其斜边QE上的点A、B,满足笳二痛二屈且AC=mBC=h.

【例5】证明：cos(a-p)-cosacos/?4-sinsin0(余弦的和角公式).

【例6】证明：如果三角形的重心与其边界的重心重合，则它是等边三角

形.（美国纽约数学竞赛）

BC

D

【例7】设尸是正三角形AA8C所在平面上一点，求证：PA<PB+PC.

【例8】（92年联赛）设A444是圆0的内接四边形，乜,〃2，“3，”4依次是三角形

A424A4，“44，544，的44的垂心，求证：4,心，&，七四点共圆，并求其圆心。

【例9】（2001年联赛）如图，/ABC中，0为外心，三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点

M,FD和AC交于点N。求证：（1）0B±DF,0C1DE；（2）OH±MN0

A

M

【例10】在矩形4BC。的外接圆弧AB上取一个不同于顶点A、B的点M,点P、Q、

R、S是M分别在直线A。、AB、BC与CO上的投影.证明，直线PQ和RS

是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点.

©大显身手

1.证明：。是平面上的一定点，A、B、C上平面上不共线的三个点,

(ABAC

动点P满足OP=OA+A,2>0,则点P位于

[\AB\\AC\)

N84C的平分线上.

2.在AABC内，设。及E是8C的三等分点，

尸、G分别是AC、43的中点.线段EG与。尸交于求证:

EH患并求该比值・

HG

3.若。是AA8C的外心，”是AA8C的垂心，A48C需要满足什么条件，才能使乜4=。4.

4.AABC中，A、B、C所对的边长分别是〃、b、c,求证;

⑴cosA=U^——(余弦定理).

2bc

(2)上=，(正弦定理).

sinBsinC

5.G是AA3c所在平面内一点，GA+GB+GC=6,求证：G是A48C的重心.

6.设O点在AA3C内部，且有方+2砺+3觉=6,则A43C的面积与AA0C的面积的比为

()

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A.2B.-C.3D.-